การเรียงลำดับพีชคณิตที่มีองค์ประกอบไม่ตรงกับดัชนี± M

ฉันเพิ่งถูกถามถึงปัญหานี้ในการสัมภาษณ์อัลกอริทึมและไม่สามารถแก้ไขได้

กำหนดสองค่า N และ M คุณต้องนับจำนวนพีชคณิตของความยาว N (โดยใช้ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง N) ซึ่งความแตกต่างที่แน่นอนระหว่างตัวเลขใด ๆ ในการเปลี่ยนแปลงและตำแหน่งในการเปลี่ยนแปลงไม่เท่ากับ M

ตัวอย่าง - ถ้า N = 3 และ M = 1 ดังนั้น 1 2 3 และ 3 2 1 คือการเรียงสับเปลี่ยนที่ถูกต้อง แต่ 1 3 2 ไม่ถูกต้องเนื่องจากหมายเลข 3 อยู่ที่ตำแหน่ง 2 และความแตกต่างคือ = M

ฉันลองใช้การเขียนโปรแกรม NxM Dynamic แต่ไม่สามารถเกิดซ้ำได้ซึ่งไม่นับการทำซ้ำ

สิ่งแรกที่ฉันจะถามเมื่อได้รับคำถามนี้จะเป็น

คุณต้องการอัลกอริทึมเวลาพหุนามหรือไม่?

แล้วฉันหวังว่าคำตอบคือ 'ไม่' ฉันสงสัยว่าปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

วิธีธรรมชาติในการแก้ไขปัญหานี้คือการพิจารณาการวางตำแหน่งของหมายเลขแรกและได้รับสูตรแบบเรียกซ้ำเพื่อวางหมายเลขอื่น วิธีนี้ใช้ได้ผลกับกรณี (เช่นการนับจำนวนการเรียงความ) เนื่องจากมันไม่สำคัญว่าคุณจะวางตำแหน่งแรกไว้ที่ใดเนื่องจากมีตำแหน่ง 'ผิดกฎหมาย' เพียงหมายเลขเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งวิธีการนี้นำไปสู่ปัญหาย่อยอิสระ$M=0$

สำหรับมันไม่ง่ายอย่างนั้นตอนนี้เราสามารถมีตำแหน่งที่ผิดกฎหมายได้2ตำแหน่งสำหรับตัวเลขบางตัว ตำแหน่งใดในตำแหน่งเหล่านี้ยังคงอยู่ในโปรแกรมย่อยนั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาของโปรแกรมย่อย การพิจารณาจำนวนตำแหน่ง 'ผิดกฎหมาย' นั้นไม่เพียงพอเนื่องจาก 'โซ่' ของตัวเลขที่ใช้ตำแหน่งที่ผิดกฎหมายจะต้องกำหนดโครงสร้างของปัญหาย่อยของปัญหาย่อยนั้น ดังนั้นวิธีการนี้จะนำไปสู่ปัญหาย่อยดังต่อไปนี้:$M>0$$2$

ให้เซต , เซตB ⊆ Nทั้งขนาดที่มากที่สุดNและจำนวนธรรมชาติM , นับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบบนกราฟสองส่วน( A , B , E )โดยที่( a , b ) ∈ Eถ้าเพียง แต่ถ้า| a - b | ≠ M$A \subseteq \mathbb{N}$$B \subseteq \mathbb{N}$$N$$M$$(A,B,E)$$(a,b)\in E$$|a-b|\neq M$

ปัญหานี้ดูยาก แนวทางเดียวของปัญหานี้ที่ฉันเห็นคือการรวม / แยกซึ่งจะไม่นำไปสู่อัลกอริทึมเวลาพหุนาม

เราสามารถพิจารณาแนวทางที่ไม่พึ่งพาการวนซ้ำของตัวเลข แต่ฉันไม่รู้ว่าคุณจะทำอย่างไร (โดยเฉพาะในระหว่างการสัมภาษณ์!)

แน่นอนว่าทั้งหมดนี้เป็นเพียงการเก็งกำไรและยังเป็นไปได้ที่เคล็ดลับที่ชาญฉลาดสามารถแก้ปัญหาเวลาพหุนามได้ แต่ฉันหวังว่าฉันจะโต้แย้งได้อย่างน่าเชื่อถือว่าเคล็ดลับนี้ต้องฉลาดมากแน่นอน

บางทีอาจเป็นไปได้ที่จะแสดงความกระด้าง NP โดยการลดปัญหานี้เป็น # 2-SAT ('โซ่' ของตัวเลขที่ใช้ตำแหน่งที่ผิดกฎหมายดูเหมือนจะเป็นตัวเลือกที่ไม่สำคัญที่สามารถจับคู่กับการเลือกค่าความจริง) แต่ ฉันไม่ได้เห็นวิธีที่ชัดเจนในการทำเช่นนี้ ณ ตอนนี้

---

ในกรณีที่ผู้สัมภาษณ์พึงพอใจกับอัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลฉันเพียงแค่สร้างวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยการปรับอัลกอริทึมการย้อนรอยแบบเรียกซ้ำเพื่อสร้างการเปลี่ยนแปลงเพื่อยกเว้นกรณีนี้โดยเฉพาะ

เป็นไปได้หรือไม่ที่คุณจำรายละเอียดเฉพาะที่ผิดหรือตีความคำถามผิด

ในคำอธิบายของคุณองค์ประกอบในตำแหน่งขถูก จำกัด ให้- ข≠ ± M แต่ถ้าพวกเขาก็มีความหมายที่แตกต่างกันถูก จำกัด : - ข≠ M , แล้วปัญหาจะปรากฏเวไนย$a$$b$$a-b \ne \pm M$
$a-b \ne M$

---

ฉันทำงานจากปัญหาที่ง่ายกว่านั้นและฉันพยายามพูดคุยในแบบที่ฉันคาดหวังอาจให้อิสระในการแก้ปัญหาที่ใหญ่กว่า แต่สิ่งนี้ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมวิธีการเวียนเกิดซ้ำนั้นไม่น่าเป็นไปได้มากที่ฉันจะพูดคุยในตอนท้าย

พิจารณาฟังก์ชั่นซึ่งให้จำนวนเรียงสับเปลี่ยนของรายการองค์ประกอบที่มีข้อความ 1 ถึงNโดยที่องค์ประกอบaอยู่ในตำแหน่งb (ตำแหน่งแรกคือ 1) เป็นไปตาม- b ≠ Mและb - ≠ P$f(N,M,P)$$N$$a$$b$$a-b \ne M$$b-a \ne P$

เมื่อต้องการเห็นภาพนี้การแยกออกเป็นสองข้อ จำกัด อนุญาตให้และPเปลี่ยนข้อ จำกัด เหล่านั้นแยกกัน$M$$P$

1 2 3 4 5  M=0, restricted values for each position
. . . . .  (positions in list)
1 2 3 4 5  P=0, restricted values for each position

3 4 5      M=2, restricted values for each position
. . . . .  (positions in list)
  1 2 3 4  P=1, restricted values for each position

เพื่อความสะดวกสบายเมื่อเพื่อให้มันไม่ได้เกิดขึ้นในข้อ จำกัด พีชคณิตที่กำหนดกรัม( N , M ) = F ( N , M , P ) ในทำนองเดียวกันg ( N , P ) = f ( N , M , P )เมื่อM ≥ Nเพื่อให้มันไม่มีข้อ จำกัด ในการเรียงสับเปลี่ยน$P \ge N$$g(N,M) = f(N,M,P)$$g(N,P) = f(N,M,P)$$M \ge N$

ในกรณีพิเศษข้อ จำกัด จากMและPเทียบเท่าดังนั้นหนึ่งสามารถละเลยทำให้เราสามารถเขียนFในแง่ของกรัม : F ( N , 0 , 0 ) = กรัม( N , 0 $M=P=0$$M$$P$$f$$g$

$$f(N,0,0) = g(N,0).$$

จากสมมาตรของปัญหา:

$$f(N,M,P) = f(N,P,M)$$

$g(N,M)$$f(N,M,P)$

$M=0$$i$$j$$N-1$$j$

$j$$(N-2)$$j$

1. $i$$g(N-2,0)$

2. $\ne i$$j$$g(N-1,0)$

$$g(N,0) = (N-1) \left[ g(N-2,0) + g(N-1,0) \right]$$

$$g(1,0) = 0, \ \ g(2,0) = 1$$

นี่เป็นสูตรเรียกซ้ำที่ซ้ำซ้อนตามปกติ

ในขณะที่ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่ามีใครบางคนกำลังทำสิ่งนี้อยู่ในจุดนี้ แต่กลับกลายเป็นว่ามีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับเรื่องนี้ (ดูบทความวิกิderangementสำหรับรายละเอียด)

$$g(N,0) = \left\lfloor \frac{n!}{e} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$

$M \ge N$

$$(M \ge N) \implies g(N,M) = N!$$

$0<M<N$$M$$M$

$i$

1. $i<M$$i$$i$$g(N-1,M-1)$

2. $i>=M$$i$$i$$g(N-1,M)$

$$(0<M<N) \implies g(N,M) = (M-1) g(N-1,M-1) + (N-M+1) g(N-1,M)$$

$g$

$M+P \ge N$$N-M$$N-P$$M+P-N$$g(N,M+P-N)$

$$(M+P)\ge N \implies f(N,M,P) = g(N,M+P-N)$$

$0<M<N$$0<P<N$$M+P<N$$f$$0<M\le P<N$

$P$$N-M-P$$M$

$M$$N-M-P$$P$

อย่างไรก็ตามนี่คือที่ที่เราจะต้องจบ เนื่องจากไม่มีวิธีการส่งต่อด้วยวิธีนี้

---

$a-b \ne \pm M$

$f(N,M,P)$

$2N$$N$$\{A_1,A_2,...,A_N\}$$\{B_1,B_2,...,B_N\}$$(A_i,B_j)$$i - j = M$$(B_j,A_i)$$j - i = M$$M \ne 0$

$A$$B$

ดังนั้นเราต้องการฟังก์ชันที่ใช้เป็นกราฟข้อ จำกัด นี้และส่งออกจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่ตรงตามข้อ จำกัด

$M+P\ge N$

$0<M \le P<N$$N$$N!$

เนื่องจากมี subgraphs ที่เป็นไปได้มากมายเมื่อได้รับอนุญาตให้โซ่ฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการเรียกซ้ำโดยทั่วไปเว้นแต่จะมีความสัมพันธ์ที่ฉลาดบอกว่ากราฟข้อ จำกัด ที่ไม่ใช่ isomorphic นั้นมีค่าเทียบเท่ากับจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน

ฉันคิดว่าน่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคำถามถูกตีความผิด อาจเป็นไปได้โดยผู้สัมภาษณ์ (อาจลืมรายละเอียดคำตอบด้วยตนเอง)