ถ้า P = NP ทำไมจะไม่

เห็นได้ชัดว่าถ้า${\sf P}={\sf NP}$ทุกภาษาใน${\sf P}$ยกเว้น$\emptyset$และ$\Sigma^*$จะเป็น${\sf NP}$ -complete

ทำไมสองภาษานี้โดยเฉพาะ เราไม่สามารถลดภาษาอื่น ๆ ใน${\sf P}$ให้พวกเขาด้วยการแสดงผลเมื่อยอมรับหรือไม่ยอมรับหรือไม่

เนื่องจากไม่มีสตริงในเครื่องใด ๆ ที่คำนวณมันจะปฏิเสธเสมอดังนั้นเราจึงไม่สามารถแมป Yes- อินสแตนซ์ของปัญหาอื่น ๆ กับสิ่งใด ในทำนองเดียวกันสำหรับΣ ∗ไม่มีสิ่งใดที่จะแมปไม่มีอินสแตนซ์ให้$\emptyset$$\Sigma^{\ast}$

คุณจำเป็นต้องมีการลดลงของพหุนามจากปัญหากับปัญหาBถ้าคุณต้องการที่จะพิสูจน์ว่าBคือ "ยาก" กว่า เราสร้างการลดพหุนามโดยการเปลี่ยนใด ๆ เช่นxของลงในอินสแตนซ์F ( x )ของBเช่นว่าx ∈ IFF F ( x ) ∈ B$A$$B$$B$$A$$x$$A$$f(x)$$B$$x∈A$$f(x)∈B$

ฟังก์ชันต้องและสามารถเป็นพหุนาม ถ้าP = N Pและเป็นปัญหา NP แล้วfตัวเองสามารถแก้ปัญหาของปัญหาและฝังใดx ∈เป็นบางส่วนองค์ประกอบYของBและใด ๆx ∉เป็นบางส่วนองค์ประกอบZที่ไม่อยู่ในB$f$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$f$$A$$x∈A$$y$$B$$x\notin A$$z$$B$

ถ้าเป็นทั้ง∅หรือแล้วหรือไม่สามารถอยู่ได้มิฉะนั้นเหตุผลดังกล่าวข้างต้นแสดงให้เห็นว่าเป็นหนักกว่า$B$$∅$ YZ$Σ^*$$y$$z$$B$$A$

เพียงแค่ทราบ: คำตอบก่อนหน้านี้ก็โอเค แต่คุณไม่ไกลจากการลดลงเล็กน้อยที่ถูกต้อง:

ถ้าแล้วคือคาร์ปเบลดได้กับภาษา (แผนที่เพียงในพหุนามทุกครั้งที่ถึง 1 ทุกถึง 0) ซึ่งเป็นภาษาที่กระจัดกระจาย L ∈ N P { 1 } x ∈ L x ∉ $\sf{P} = \sf{NP}$$L \in \sf{NP}$$\{1\}$$x \in L$$x \notin L$

ทิศทางการสนทนา: "ถ้าหากภาษาที่สมบูรณ์คือคาร์ปเบาบางไปเป็นชุดเบาบางแล้ว " เป็นที่น่าสนใจมากขึ้นและแน่นอนว่ามันเป็นที่รู้จักกันในชื่อของทฤษฎีบท Mahaney :P = N $\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$

ให้เป็นอย่างต่อเนื่องและถูกตั้งค่าเช่นว่าทุก , มีที่มากที่สุดสตริงของความยาวnหากเป็นสมบูรณ์แล้ว{}A n A n c n A N P P = N $c$$A$$n$$A$$n^c$$n$$A$$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$