อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดสำหรับการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดในกราฟคืออะไร?

ในกราฟที่ไม่มีการถ่วงน้ำหนักและไม่มีทิศทางด้วย vertices และ edge เช่นวิธีใดที่เร็วที่สุดในการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดในกราฟ สามารถทำได้เร็วกว่า Floyd-Warshall ซึ่งเป็นแต่เร็วมากต่อการทำซ้ำหรือไม่?$V$$E$$2V \gt E$$O(V^3)$

ถ้ากราฟนั้นถูกถ่วงน้ำหนักล่ะ?

เนื่องจากนี่เป็นกราฟที่ไม่ถ่วงคุณจึงสามารถเรียกใช้Breadth First Search (BFS) จากทุก ๆ จุดยอดในกราฟ การวิ่งของ BFS แต่ละครั้งจะให้ระยะทางที่สั้นที่สุด (และเส้นทาง) จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสุดยอดอื่น ๆ ความซับซ้อนของเวลาสำหรับหนึ่ง BFS คือเนื่องจากในกราฟของคุณ การรันด้วยคูณจะให้ความซับซ้อนของเวลา$v$$O(V + E) = O(V)$$E = O(V)$$V$$O(V^2)$

สำหรับกราฟน้ำหนักแบบถ่วงน้ำหนักอัลกอริทึมของจอห์นสันที่แนะนำโดย Yuval นั้นเร็วที่สุดสำหรับกราฟแบบกระจาย มันต้องใช้เวลาซึ่งในกรณีของคุณจะออกมาเป็นV) สำหรับกราฟที่ไม่ระบุทิศทางแบบถ่วงน้ำหนักคุณสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมของ Dijkstraจากแต่ละโหนดหรือแทนที่ขอบที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยขอบสองทิศทางที่ตรงข้ามกันและเรียกใช้อัลกอริทึมของจอห์นสัน ทั้งสองอย่างนี้จะให้เวลา aysmptotic เช่นเดียวกับอัลกอริทึมของจอห์นสันด้านบนสำหรับกรณีของคุณ นอกจากนี้โปรดทราบว่าวิธีการ BFS ที่ฉันกล่าวถึงข้างต้นใช้งานได้กับกราฟทั้งแบบกำหนดทิศทางและไม่ระบุทิศทาง$O(V^2\log V + VE)$$O(V^2\log V)$

มีขั้นตอนวิธีการจอห์นสันซึ่งเป็นเวลาการทำงานเป็นVE)$O(V^2\log V + VE)$

คุณสามารถลองสร้าง Floyd-Warshall เวอร์ชั่นที่เร็วกว่าในการฝึกแบบเบาบาง

ขั้นแรกให้เราจำได้ว่าอัลกอริทึมนี้ทำอะไร:

ให้เป็นเมทริกซ์ของระยะทาง ในตอนต้นของขั้นตอนวิธีเป็นน้ำหนักของขอบเจ ถ้าขอบนี้ไม่ได้อยู่แล้วM_$M$$M_{i,j}$$i \rightarrow j$$M_{i,j}=\infty$

อัลกอริทึมมีขั้นตอนในขั้นตอนของอัลกอริทึมสำหรับทุกคู่ของโหนดเราตั้งค่า$V$$k$$i,j$

เห็นได้ชัดว่าหากหรือดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการอัปเดต ดังนั้นในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมเราจะต้องดำเนินการประมาณเปรียบเทียบโดยที่และแสดง จำนวนขอบขาเข้าและขาออกของโหนด -th ตามลำดับ เมื่ออัลกอริธึมดำเนินไปจะมีการเติมรายการของเมทริกซ์มากขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้นขั้นตอนสุดท้ายอาจใช้เวลานานกว่านั้นมาก$M_{i,k}=\infty$$M_{k,j}=\infty$$deg_{in}(k) \cdot deg_{out}(k)$$deg_{in}(k)$$deg_{out}(k)$$k$$M$

โปรดทราบว่าเราต้องการวิธีที่มีประสิทธิภาพในการวนซ้ำเฉพาะเซลล์ที่ไม่สิ้นสุดในแถว -th และคอลัมน์ของเมทริกซ์ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยเก็บชุดของขอบขาเข้าและขาออกสำหรับทุกโหนด$k$

ปรากฏว่าขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมจะได้ประโยชน์อย่างมากจากการกระจาย ตัวอย่างเช่นกราฟที่สร้างแบบสุ่มด้วยแสดงให้เห็นว่าการวนซ้ำครั้งแรก ( ) เป็นเพียงขั้นตอนหากกราฟแยกออกเป็นชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อหลายคนแล้วเมทริกซ์จะยังคงค่อนข้างเบาบางตลอดขั้นตอนวิธีการและรันไทม์ทั้งหมดอาจจะเป็นต่ำเป็น(V) ในทางกลับกันหากกราฟมีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อเพียงหนึ่งองค์ประกอบดังนั้นการทำซ้ำครั้งล่าสุดคาดว่าจะใช้ขั้นตอนในกรณีนี้เวลาทำงานทั้งหมดอาจจะเป็น3) มีขนาดใหญ่เท่ากับรุ่นที่ไม่มีกระจัดกระจาย$E=O(V)$$k=0$$O(1)$$M$$O(V)$$k=|V|$$O(V^2)$$O(V^3)$