คุณสมบัติที่ถอดรหัสได้ของ reals ที่คำนวณได้

"ทฤษฎีบทของไรซ์สำหรับการคำนวณซ้ำ" - นั่นคือไม่มีคุณสมบัติที่ไม่น่าสนใจของจำนวนที่แทนด้วยความจริงที่คำนวณได้ที่ให้นั้นเป็น decidable - จริงหรือไม่?

สิ่งนี้สอดคล้องกับการเชื่อมโยงของ reals โดยตรงหรือไม่?

ใช่ทฤษฎีบทของ Rice เพื่อ reals ถือได้ใน reals ที่คำนวณได้ทุกรุ่น

ก่อนอื่นฉันจะพิสูจน์ทฤษฎีบทและข้อพิสูจน์และอธิบายสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณในภายหลัง

ทฤษฎีบท: สมมติว่าเป็นแผนที่และสอง reals เช่นนั้นและ . จากนั้นก็มีอยู่ลำดับ Cauchyดังกล่าวว่าสำหรับทุก{N}$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$$a, b \in \mathbb{R}$$p(a) = 0$$p(b) = 1$$(x_i)_i$$p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$$j \in \mathbb{N}$

พิสูจน์ เราสร้างลำดับของคู่ของ realsดังนี้: สังเกตว่าสำหรับ :$(y_i, z_i)_i$

$$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$$ $i \in \mathbb{N}$

• $p(y_i) = 0$และ$p(z_i) = 1$
• $|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
• $|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
• $|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

ดังนั้นลำดับและเป็น Cauchy และพวกเขามาบรรจบกับจุดที่พบบ่อยz_i ถ้าแล้วเราใช้เวลาและถ้าแล้วเราใช้เวลา(y_i) $(y_i)_i$$(z_i)_i$$c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$$p(c) = 0$$(x_i)_i = (z_i)_i$$p(c) = 1$$(x_i)_i = (y_i)_i$$\square$

ควันหลง:สมมติว่าและสอง reals ดังกล่าวว่าและ1 จากนั้นทัวริงทุกเครื่องจะทำงานตลอดไปหรือไม่ทำงานตลอดไป$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$$a, b \in \mathbb{R}$$p(a) = 0$$p(b) = 1$

พิสูจน์ โดยทฤษฎีบทที่มีลำดับ Cauchyดังกล่าวว่าสำหรับทุก{B} โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราอาจคิดว่าและ0$(x_i)_i$$p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$$j \in \mathbb{B}$$p(x_j) = 1$$p(\lim_i x_i) = 0$

ให้เป็นเครื่องทัวริง กำหนดลำดับโดย ลำดับถูกกำหนดอย่างดีเนื่องจากเราอาจจำลองถึง step และตัดสินใจว่ามันหยุดหรือไม่ภายในหลายขั้นตอนนั้น ถัดไปสังเกตว่าเป็นลำดับ Cauchy เพราะเป็นลำดับ Cauchy (เราปล่อยให้นี่เป็นแบบฝึกหัด) ให้y_i ทั้งหรือ :$T$$y_i$

$$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$$ $T$$i$$(y_i)_i$$(x_i)_i$$z = \lim_i y_i$$p(z) = 0$$p(z) = 1$

• ถ้าดังนั้นจะทำงานตลอดไป อันที่จริงถ้ามันหยุดหลังจากขั้นตอนแล้วเราจะมีและอื่น ๆจะขัดแย้งกับ0$p(z) = 0$$T$$j$$z = x_j$$p(z) = p(x_j) = 1$$p(z) = 0$

• ถ้าดังนั้นจะไม่ทำงานตลอดไป แน่นอนถ้ามันทำแล้วเราจะมีและอื่น ๆ , ขัดแย้ง0 $p(z) = 1$$T$$z = \lim_i x_i$$p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$$p(z) = 0$$\square$

ตอนนี้เราสามารถอธิบายได้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงทำให้ทฤษฎีบทข้าวของเรามีจำนวนจริง หลักฐานมีความสร้างสรรค์ดังนั้นพวกเขาให้วิธีการคำนวณ นี่เป็นความจริงของโมเดลการคำนวณใด ๆ และโครงสร้างการคำนวณของ reals ที่สมควรได้รับการเรียกว่า ในความเป็นจริงคุณสามารถย้อนกลับไปอ่านหลักฐานเพื่อเป็นคำแนะนำในการสร้างโปรแกรม - ทุกขั้นตอนสามารถคำนวณได้

ดังนั้นถ้าเรามีแผนที่คำนวณและคำนวณเช่นนั้นและจากนั้นเราสามารถใช้วิธีการคำนวณที่เกิดขึ้นจากบทพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของทฤษฎีบทและข้อพิสูจน์เพื่อสร้าง oracle oracle Halting แต่ออราเคิล Halting ไม่มีอยู่ดังนั้นทุกแผนที่ที่คำนวณได้นั้นคงที่$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$$a, b \in \mathbb{R}$$p(a) = 0$$p(1) = 1$$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

เพิ่มเติม:นอกจากนี้ยังมีคำถามเกี่ยวกับว่าทฤษฎีบทของไรซ์นั้นเกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงของ reals หรือไม่ ใช่เป็นข้อความที่เชื่อมต่อกับ reals

ให้เราสังเกตก่อนว่าแผนที่ต่อเนื่อง (เราใช้โทโพโลยีแบบแยกบน ) ตรงกับคู่ของชุดที่แยกจากกัน (ปิดและเปิด) ตั้งดังกล่าวว่าX อันที่จริงใช้และ\}) เพราะอย่างต่อเนื่องและและมีการเปิดและจะเปิดเคล็ดและพวกเขาอย่างเห็นได้ชัดครอบคลุมทั้งหมดของXในทางกลับกันคู่ใด ๆของกลุ่มที่แยกจากกันซึ่งครอบคลุมจะเป็นตัวกำหนดแผนที่ต่อเนื่อง$p : X \to \{0,1\}$$\{0,1\}$$U, V \subseteq X$$U \cup V = X$$U = p^{-1}(\{0\})$$V = p^{-1}(\{1\})$$p$$\{0\}$$\{1\}$$U$$V$$X$$(U,V)$$X$$p : X \to \{0,1\}$ที่แมองค์ประกอบของไปและองค์ประกอบของไป1$U$$0$$V$$1$

จากสิ่งนี้เราได้เรียนรู้ว่าช่องว่างถูกตัดการเชื่อมต่อถ้าและถ้ามีแผนที่ต่อเนื่องและเช่นนั้นและ (เราต้องการและเพื่อให้เราได้รับการสลายตัวที่ไม่สำคัญของ ) มีอีกวิธีหนึ่งที่จะพูดในสิ่งเดียวกันคือ: ช่องว่างเชื่อมต่อกันและถ้าหากแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดคงที่$X$$p : X \to \{0,1\}$$a, b \in X$$p(a) = 0$$p(1) = b$$a$$b$$X$$X$$X \to \{0,1\}$

ในทางคณิตศาสตร์คำนวณเรามีทฤษฎีบทพื้นฐานทุกแผนที่คำนวณอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นตราบใดที่เราอยู่ในขอบเขตของวัตถุที่คำนวณได้ทฤษฎีของไรซ์ก็กล่าวในความเป็นจริงว่ามีการเชื่อมต่อพื้นที่หนึ่ง ในกรณีของข้าวคลาสสิกทฤษฎีบทของพื้นที่ในคำถามคือพื้นที่ของฟังก์ชั่นคำนวณบางส่วน{N}$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

ไม่หรืออย่างน้อยที่สุดการพิสูจน์ก็ไม่สำคัญเพราะคุณสามารถเลือกวิธีที่เป็นไปได้ในการคำนวณของจริงและอาจเลือกได้ด้วยโครงสร้างที่มีคุณสมบัติทั้งหมดที่เลือก คุณไม่ลดการทดสอบคุณสมบัติกับปัญหาการหยุดชะงัก

นอกจากนี้ฉันคิดว่าฉันต้องการความเข้าใจที่ดีขึ้นในสิ่งที่ "ไม่สำคัญ" หมายถึง wrt คุณสมบัติของตัวเลข สำหรับทฤษฎีบทของไรซ์ "ไม่น่าสนใจ" นั้นเป็นคำที่ไม่เกี่ยวกับวากยสัมพันธ์และไม่มีนัยทางไวยากรณ์ อย่างไรก็ตามจำนวนจริงที่คำนวณได้แต่ละโปรแกรมไม่ใช่โปรแกรมเดียว แต่เป็นคลาสเทียบเท่าที่เต็มไปด้วยโปรแกรม