ความสำคัญของการเรียกซ้ำในทฤษฎีการคำนวณ

ว่ากันว่าทฤษฎีการคำนวณก็เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีการเรียกซ้ำ ทำไมถึงเรียกว่าเป็นอย่างนั้น? เหตุใดการเรียกซ้ำจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งนี้

ในปี 1920 และ 1930 คนพยายามที่จะคิดออกว่า "การคำนวณฟังก์ชั่นที่มีประสิทธิภาพ" หมายถึงอะไร (จำได้ว่าไม่มีเครื่องคอมพิวเตอร์วัตถุประสงค์ทั่วไปไปรอบ ๆ และการคำนวณเป็นสิ่งที่ทำโดยคน)

คำจำกัดความของ "คำนวณ" หลายคนเสนอซึ่งทั้งสามคนเป็นที่รู้จักกันเป็นอย่างดี:

1. แคลคูลัส$\lambda$
2. ฟังก์ชั่นวนซ้ำ
3. เครื่องจักรทัวริง

$\lambda$

ต่อมามีความพยายามเป็นที่นิยมโดยRobert Soareเพื่อเปลี่ยน "recursive" เป็น "คำนวณ" ทุกวันนี้เราพูดถึงฟังก์ชั่นที่คำนวณได้และเซตจำนวนที่คำนวณได้ แต่ตำราเรียนที่เก่ากว่าหลายเล่มและหลาย ๆ คนยังคงชอบคำศัพท์ "แบบเรียกซ้ำ"

มากสำหรับประวัติศาสตร์ นอกจากนี้เรายังสามารถถามได้ว่าการเรียกซ้ำเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการคำนวณจากมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงหรือไม่ คำตอบนั้นชัดเจนมาก "ใช่!" การเรียกซ้ำตั้งอยู่บนพื้นฐานของภาษาการเขียนโปรแกรมที่ใช้งานทั่วไป (แม้whileลูปเป็นเพียงรูปแบบของการเรียกซ้ำเนื่องจากwhile p do cเป็นเช่นเดียวกับif p then (c; while p do c)) และการขัดขวางข้อมูลพื้นฐานจำนวนมากเช่นรายการและต้นไม้เป็นแบบเรียกซ้ำ การสืบค้นซ้ำนั้นไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้ในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และในทฤษฎีการคำนวณโดยเฉพาะ

ทฤษฎีการคำนวณคือการศึกษาฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ :-)

ฟังก์ชั่นดังกล่าวมักจะถูกกำหนด (ในชุมชนนี้) เป็นฟังก์ชันที่สามารถแสดงด้วยเครื่องทัวริง

$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

มันจะเปิดออกถ้าคุณกำหนดฟังก์ชันคำนวณในลักษณะนี้ (โปรแกรม) พวกเขาจะเทียบเท่ากับชุดของฟังก์ชั่นหนึ่งสามารถได้รับโดยการใช้กฎระเบียบที่ อธิบายไว้ที่นี่ พวกเขาจะเรียกว่าฟังก์ชั่นซ้ำเนื่องจากหนึ่งในกฎสำหรับการรับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นคำจำกัดความซ้ำ (ดูกฎที่ 5 เกี่ยวกับวิกิพีเดีย)

ดังนั้นเหตุผลที่ทฤษฎีการเรียกซ้ำมีความสำคัญมากเท่ากับคำถามที่ว่าทำไมฟังก์ชันที่คำนวณได้จึงมีความสำคัญ และคำตอบหลังควรชัดเจนมาก :)