กริดครอบคลุมด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เรามีตารางเรามีคอลเลกชันของรูปสี่เหลี่ยมในตารางนี้แต่ละรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถแสดงเป็น -by-ไบนารีเมทริกซ์Rเราต้องการครอบคลุมกริดด้วยสี่เหลี่ยมเหล่านั้น $N_1 \times N_2$ $N_1$ $N_2$ $R$

เวอร์ชันการตัดสินใจของชุดนี้ครอบคลุมปัญหา NP-complete หรือไม่

อินพุต: คอลเล็กชันของรูปสี่เหลี่ยมบนกริด (ขนาดอินพุต: ) และ $\mathcal{C}=\{R_1,R_2,\dots,R_L\}$ $N_1N_2L$ $K \in \mathbb{N}^+$
เอาท์พุท: เซตย่อยกับและที่มีแต่ละเซลล์อย่างน้อยหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าครอบคลุมมัน $\mathcal{S}\subset\mathcal{C}$ $|\mathcal{S}|\leq K$ $\mathcal{S}$

ฉันพบว่ากรณี 1D ( ) สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยการโปรแกรมแบบไดนามิก: ปกที่ดีที่สุดใด ๆ จะเป็นสหภาพของ $N_2=1$

ครอบคลุมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาย่อยของการครอบคลุมเซลล์แรก $N_1-n_1$
สี่เหลี่ยมผืนผ้า 1D เช่นช่วงเวลาซึ่งครอบคลุมเซลล์ที่เหลืออยู่ $n_1$

ฉันไม่คิดว่า DP จะทำงานกับปัญหา 2D ได้: สำหรับปัญหา 1D คุณมีปัญหาย่อยจะแก้ปัญหา แต่สำหรับ 2D คุณมี subproblems จำนวน (โครงตาข่ายตะวันออกเฉียงเหนือ) เส้นทางบนตาราง) $N_1$ $\binom{N_1+N_2}{N_2}$

ฉันคิดว่าปัญหาอาจเป็นปัญหา แต่ฉันไม่แน่ใจ (แม้ว่ามันจะดูยากกว่า P) และฉันก็ไม่ประสบความสำเร็จในการค้นหาการลดจำนวนชื่อพหุนามจากปัญหาสมบูรณ์แบบ (3-SAT, Vertex Cover, ... )

ความช่วยเหลือหรือคำใบ้ยินดีต้อนรับ

complexity-theory np-complete set-cover

— Yann
แหล่งที่มา

คำแนะนำ: มองหาการลดลงของ Vertex Cover ที่เราสร้างโดยกริดของบล็อกแต่ละอันจะเป็นองค์ประกอบเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 แต่ละแถวของบล็อกสอดคล้องกับขอบและจะมี 2 บล็อกที่ออกแบบมาเป็นพิเศษที่สอดคล้องกับจุดปลายของมัน สำหรับแต่ละจุดยอดจะมีความสูง -, width-1 สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ผ่านคอลัมน์กลางของคอลัมน์ของบล็อค 3 คูณ 3 ที่สอดคล้องกับจุดยอดนั้น วิธีที่คุณสามารถบังคับรวมของการใด ๆ ที่ถูกต้องปก -vertex เสียค่าใช้จ่ายตรง ? (คุณจะต้องใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอื่น ๆ )

| E |

$|E|$

| V |

$|V|$

3 | E |

$3|E|$

k

$k$

| E | (| V | + 3) + k

$|E|(|V|+3)+k$

— j_random_hacker

ฉันคิดว่านี่อาจเป็นการออกกำลังกายทำการบ้านดังนั้นฉันลังเลที่จะพูดมากกว่านี้ในตอนนี้ สูตรค่าใช้จ่ายที่ฉันให้มีเงื่อนงำอยู่บ้าง โปรดทราบว่าคุณสามารถบังคับสี่เหลี่ยมอย่างน้อย 1 ในหลาย ๆ รูปแบบโดยทำให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพียงรูปแบบเดียวที่ครอบคลุมองค์ประกอบเมทริกซ์บางส่วน (กรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 มีประโยชน์เช่นกัน) FWIW ฉันลองใช้ด้วย-by-กริดแรกซึ่งการเลือกจุดสุดยอดจะสอดคล้องกับ "การข้าม" แถวและคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่สามารถหาวิธีบังคับให้คอลัมน์ -th ถูกเลือกเมื่อเลือกแถว th หรือในทางกลับกัน

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

ฉันมีปัญหาเดียวกันกับ-by-ตะแกรง ฉันคิดว่าฉันเห็นวิธีแก้ปัญหาแบบใดที่คุณมีในใจ (ฉันไม่มีสูตรค่าใช้จ่ายเหมือนกันทุกประการ) ดูการแก้ไขของฉัน อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่การบ้าน มันเป็นปัญหาเชิงผสมที่ปรากฏในปัญหาวิศวกรรมชีวิตจริง เราแก้ปัญหาด้วย MIP แต่ฉันต้องการแน่ใจว่าปัญหาคือปัญหา NP (และไม่มีวิธีแก้ปัญหาพหุนาม) ไม่ว่าในกรณีใดถ้าคุณยืนยันว่าการแก้ปัญหานั้นถูกต้องคุณสามารถใส่คำใบ้ของคุณเป็นคำตอบและฉันจะตรวจสอบมัน (ตั้งแต่ฉันพบวิธีแก้ปัญหาด้วยความช่วยเหลือของคุณ)

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

— Yann

ใช่ว่าเกือบจะลดลงที่ฉันมีอยู่ในใจ! :) ฉันทำสี่เหลี่ยม "type 4" ของคุณอีกต่อไปเล็กน้อยที่ปลายด้านหนึ่ง: ที่คุณครอบครอง 2 เซลล์ภายในบล็อกฉันใช้ทั้งหมด 3 แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมพิเศษ "type 3" สำหรับ endblocks ฉันใช้ทั้งแถวบนสุดเพียง เช่น "พิมพ์ 2" สี่เหลี่ยมสำหรับ<b ในที่สุดฉันมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าครอบครองเซลล์กึ่งกลางด้านซ้ายและด้านล่างซ้ายในแต่ละ endblock ด้านซ้าย (พลิกตามแนวนอนสำหรับ endblock ด้านขวาแต่ละอัน) เพื่อให้คุณสามารถครอบคลุม 2 แถวด้านล่างของบล็อกทั้งหมดรวมถึงและระหว่าง endblock โดยใช้รูปแบบหรือ

a < j < b

$a < j < b$ |==|

— j_random_hacker

ฉันชอบ-by-แนวคิดการลด ด้วยสิ่งนี้แตกต่างจาก-by-การลดลงอาจมีวิธีแก้ปัญหาค่าใช้จ่ายขั้นต่ำที่ไม่สอดคล้องกับจุดสุดยอด - แต่โซลูชั่นดังกล่าวทั้งหมดสามารถเปลี่ยนเป็นโซลูชันที่คุ้มค่า (ขั้นต่ำเท่ากัน) โดยใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกับในหัวข้อสุดท้ายของคุณดังนั้นนี่ไม่ใช่ ปัญหาสำหรับการลดลง :)

| E |

$|E|$

3 | V |

$3|V|$

3 | E |

$3|E|$

3 | V |

$3|V|$

— j_random_hacker

ขอบคุณคำแนะนำของ j_random_hacker ฉันได้พบวิธีแก้ปัญหา Vertex Cover เพื่อแก้ไขปัญหา Grid:

เราทำ-by-ตารางของ 3-by-3 blocks คือ-by-ตารางที่มีจุดสั่งซื้อเป็นคอลัมน์และขอบสั่งแถว\} เราจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมในตารางนี้ (ภาพวาดด้านล่างจะช่วยให้เข้าใจรูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ ที่ใช้) $|E|$ $|V|$ $3|E|$ $3|V|$ $\{v_1,\dots,v_{N_1}\}$ $\{e_1,\dots,e_{N_2}\}$

สำหรับแต่ละจุดยอดเราสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าประเภท 1 ซึ่งครอบคลุมคอลัมน์กลางของคอลัมน์ของบล็อกที่สอดคล้องกับจุดสุดยอดดังนั้นเราจึงมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าประเภท 1 $|V|$

แต่ละบล็อกตรงกับคู่ที่ไม่ซ้ำกัน , กับสำหรับแต่ละบล็อกเราเพิ่มสี่เหลี่ยมประเภท 2: $(e_i,v_j)$ $e_i=(v_a,v_b)$

ถ้าหรือนี่คือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3 คูณ 3 ที่ครอบคลุมทั้งบล็อก $j<a$ $b<j$
ถ้า (resp. ) นี่คือสี่เหลี่ยม 3-by-1 ที่ครอบคลุมของคอลัมน์ซ้าย (resp. ขวา) ของบล็อก $j=a$ $j=b$
ถ้านี่คือสี่เหลี่ยม 1-by-3 ซึ่งครอบคลุมแถวด้านบนของบล็อก $a<j<b$

ดังนั้นเราจึงมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของประเภท 2 สี่เหลี่ยมเหล่านั้นจะเป็นข้อบังคับในการเลือกเนื่องจากแต่ละรูปแบบจะเป็นมุมปิดด้านบน (หรือมุมบนขวา) ของบล็อกที่อยู่ด้านบนเท่านั้น $|E||V|$

ดังที่เราได้กล่าวว่าขอบแต่ละเส้นตรงกับแถวโดยมีบล็อกสองบล็อก (เรียกว่าบล็อกเอนด์) ที่สอดคล้องกับจุดสิ้นสุดของจุดยอดและตอนนี้เรามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าประเภท 3: $(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

สำหรับ endblock (resp. ) เรามีสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 ต่อ 2 ที่ครอบคลุมมุมบนขวา (resp. บนซ้าย) ของ endblock $(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

เรามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าประเภท 3 และอีกครั้งเนื่องจากเป็นหน้าที่ครอบคลุมเฉพาะมุมบนขวา (หากเป็น endblock แรก) หรือมุมบนซ้าย (หากเป็น endblock ตัวที่สอง) ที่อยู่ในนั้น $2|E|$

ทีนี้สำหรับแต่ละขอบเราสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของ type 4 ระหว่าง endblocks เรามีสอง rectangles สำหรับแถวที่สอง:

หนึ่งไปจากจัตุรัสกลางของบล็อกแรกไปที่จัตุรัสกลางซ้ายของบล็อกที่สอง
คนหนึ่งเดินจากจัตุรัสกลางขวาของบล็อกแรกไปยังจัตุรัสกลางของบล็อกที่สอง
และสี่เหลี่ยมสองอันเดียวกันสำหรับแถวที่สาม

เรามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของแบบ 4 นั้นไม่ได้บังคับทั้งหมด $4|E|$

ดังนั้นตอนนี้เพื่อครอบคลุมกริด:

$|E|(|V|+2)$ $|V|+4|E|$

เพื่อครอบคลุมสำหรับขอบที่กำหนดส่วนระหว่าง edge endblock ที่ยังไม่ครอบคลุม (แถวที่สองและสามของแถวของบล็อก) เราสามารถใช้:

สี่เหลี่ยมทั้งสี่ประเภท 4
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งประเภท 1 และสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองประเภท 4

โปรดทราบว่าในกรณีใด ๆ เราต้องมีอย่างน้อยสองรูปสี่เหลี่ยมของประเภท 4

$|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+2)$
$|E|(|V|+4) + k$ $|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+6) + |V|$ $9|V||E|$

$|E|$ $3|V|$ $|V|+4|E|$ $3|E|+k$

— Yann
แหล่งที่มา