มีแนวคิดสองอย่างสำหรับ "ทัวริงที่สมบูรณ์" ในตรรกะหรือไม่?


10

แบบจำลองการคำนวณสองแบบสามารถแสดงให้เสร็จสมบูรณ์หากแต่ละแบบสามารถเข้ารหัส Universal Simulator สำหรับอีกแบบหนึ่งได้ สอง logics สามารถแสดงให้เสร็จสมบูรณ์หากการเข้ารหัสของกฎของการอนุมาน (และอาจเป็นจริงถ้าปัจจุบัน) ของแต่ละคนจะแสดงเป็นทฤษฎีบทของอื่น ๆ ในการคำนวณสิ่งนี้นำไปสู่ความคิดตามธรรมชาติของทัวริงที่สมบูรณ์และวิทยานิพนธ์ทัวริงของโบสถ์ อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าความสมบูรณ์แบบเชิงตรรกะของตรรกะนำไปสู่แนวคิดใด ๆ ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติของความสมบูรณ์ทั้งหมดของคุณภาพที่คล้ายคลึงกัน

เนื่องจากความสามารถในการคำนวณและความสามารถในการคำนวณมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดดังนั้นฉันจึงคิดว่ามันไม่มากเกินไปที่จะพิจารณาว่าอาจมีแนวคิดในตรรกะที่เป็นคู่ธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบของทัวริง สิ่งที่ชอบ: มีทฤษฎี "จริง" ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในตรรกะหากว่ามีฟังก์ชันที่คำนวณได้ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้โดยแบบจำลองการคำนวณ คำถามของฉันคือใครเคยศึกษาเรื่องนี้บ้าง? การอ้างอิงหรือคำหลักบางคำอาจมีประโยชน์

โดย "จริง" และ "คำนวณ" ในย่อหน้าก่อนหน้าฉันหมายถึงแนวคิดที่ใช้งานง่าย แต่ไม่สามารถระบุได้ในที่สุด ยกตัวอย่างเช่นใครบางคนสามารถแสดงให้เห็นว่าความละเอียดของลำดับ Goodstein เป็น "จริง" แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน Peano เลขคณิตโดยไม่ต้องกำหนดแนวคิดของ "จริง" อย่างเต็มที่ ในทำนองเดียวกันมันสามารถแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นการคำนวณที่ไม่ซ้ำแบบดั้งเดิมโดยไม่ต้องกำหนดแนวคิดของการคำนวณแบบเรียกซ้ำ ฉันสงสัยว่าถึงแม้ว่าพวกเขาจะมีแนวความคิดเชิงประจักษ์ในท้ายที่สุดบางทีแนวความคิดอาจเกี่ยวข้องกันได้ดีพอที่จะเชื่อมโยงแนวคิดของความสมบูรณ์


โพสต์ที่น่าสนใจ ฉันสงสัยว่าเราจะแสดง "มีฟังก์ชันที่คำนวณได้ที่ไม่ใช่แบบเรียกซ้ำโดยไม่กำหนดแนวคิดของการคำนวณแบบเต็มที่" ก่อนอื่นเราไม่ควรกำหนดแนวคิด "คำนวณ" เพื่อใช้กับมันได้หรือไม่? หรือฉันกำลังพลาดอะไรอยู่?
fade2black

PR(x)=Px(x)+1RP

x(x)

คุณไม่สามารถนิยามคำถามนี้ได้
DanielV

ตรวจสอบประเภททฤษฎี Homotopy
Pål GD

คำตอบ:


1

ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมคุณพูดว่า "ความจริง" คือนิยามไม้ท้ายที่สุดที่มีความหมายที่แม่นยำสำหรับสิ่งที่มันหมายถึงสูตรที่สั่งซื้อครั้งแรกที่จะเป็นจริง

สิ่งที่มีเอกลักษณ์ในกรณีของการคำนวณคือสำหรับคำจำกัดความใด ๆ (ดุร้ายเท่ากับความฝันของคุณ) สำหรับ "แบบจำลองการคำนวณ" ในที่สุดคุณก็สามารถเชื่อมโยงมันเข้ากับชุดของฟังก์ชั่นได้ ดังนั้นคุณสามารถเปรียบเทียบแบบจำลองที่แตกต่างกันตามธรรมชาติและในการแก้ไขหนึ่ง (ขึ้นอยู่กับเหตุผลเชิงประจักษ์บางอย่างเช่น "มันเป็นตัวแทนที่ดีของการคำนวณในโลกแห่งความเป็นจริง") คุณสามารถโทรหารุ่นอื่น ๆ ฟังก์ชั่น.

อย่างไรก็ตามคุณจะเปรียบเทียบ logics ที่ต่างกันได้อย่างไร ดูเหมือนว่าไม่มีคุณสมบัติตามธรรมชาติที่คุณสามารถแนบกับตรรกะโดยพลการและใช้เพื่อเปรียบเทียบกับระบบอื่น ๆ คุณอาจจะสามารถแก้ไขตรรกะเช่นตรรกะของคำสั่งแรกและถามเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของระบบสัจพจน์ สมมติว่าคุณทำงานใน ZFC และเชื่อว่ามันประกอบด้วยสัจพจน์ธรรมชาติที่เป็นตัวแทนของโลก ทีนี้เมื่อได้รับระบบสัจพจน์ที่แตกต่างคุณสามารถถามว่าพวกเขามีทฤษฎีเดียวกันหรือไม่และเรียกระบบนี้ว่าสมบูรณ์หรือไม่ในกรณีที่คำตอบคือใช่ ฉันคิดว่าความแตกต่างจากกรณีการคำนวณคือเพื่อความสามารถในการคำนวณมีความเห็นพ้องกันมากขึ้นว่า "รูปแบบพื้นฐาน" ควรเป็นอย่างไร เหตุผลสำหรับฉันทามตินี้คือโมเดลการคำนวณที่เป็นอิสระจำนวนมากถูกแสดงในภายหลังว่ามีความเท่าเทียมกัน


1
มีหลายวิธีในการเปรียบเทียบ logics ดูเหมือนว่าคุณไม่ทราบ
Andrej Bauer

เดาฉันควรจะระมัดระวังมากขึ้น สนใจที่จะให้คำตอบที่แม่นยำยิ่งขึ้น?
Ariel
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.