พิสูจน์ได้ง่ายสำหรับภาษาที่ไม่มีบริบทถูกปิดภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบวนรอบ

วงจรกะ (ที่เรียกว่าหมุนหรือผัน ) ของภาษาถูกกำหนดให้เป็น\} ตามวิกิพีเดีย (และที่นี่ ) ภาษาที่ไม่มีบริบทถูกปิดภายใต้การดำเนินการนี้โดยมีการอ้างอิงถึงเอกสารจาก Oshiba และจาก Maslov มีหลักฐานง่าย ๆ ของความจริงข้อนี้?{ y x ∣ x y ∈ L $L$$\{ yx \mid xy \in L \}$

สำหรับภาษาทั่วไปการปิดตัวจะถูกกล่าวถึงในแบบฟอร์มนี้เป็น " พิสูจน์ว่าภาษาปกติถูกปิดภายใต้ตัวดำเนินการรอบ "

คุณสามารถลองใช้ pushdown ออโตมาตะได้ เมื่อได้รับการผลักอัตโนมัติหุ่นยนต์สำหรับภาษาต้นฉบับเราสร้างหนึ่งสำหรับการเปลี่ยนวงจร ออโตมาตาใหม่ทำงานในสองขั้นตอนซึ่งสอดคล้องกับและส่วนของคำว่า (โดยที่อยู่ในภาษาดั้งเดิม) ในระยะแรกเมื่อใดก็ตามที่หุ่นยนต์ต้องการที่จะปรากฏขึ้นที่ไม่ใช่เทอร์มินัลก็สามารถผลักดันที่ไม่ใช่เทอร์มินัล ; แนวคิดคือในตอนท้ายของสเตจแรกสแต็กจะมีสัญลักษณ์ที่พบในสแต็กหลังจากอ่านโดยออโตเมติกดั้งเดิม ในขั้นตอนที่สอง (สวิตช์ไม่ใช่แบบไม่กำหนดค่า) แทนการกดไม่ใช่ขั้วx y x x y A A ′ x $y$$x$$yx$$xy$$A$$A'$$x$$A$เราได้รับอนุญาตให้ปรากฏไม่ใช่ขั้วA'หากออโตมาตาดั้งเดิมสามารถสร้างสแต็คได้เมื่ออ่านดังนั้นจะสามารถสร้างสแต็กใหม่ทั้งหมดได้$A'$$x$

แก้ไข: นี่คือรายละเอียดเพิ่มเติมบางส่วน สมมติว่าเราได้รับ PDA ที่มีตัวอักษร , ชุดของสถานะ , ชุดของการยอมรับสถานะ , ไม่ใช่เทอร์มินัล , สถานะเริ่มต้นและชุดของการเปลี่ยนที่อนุญาต แต่ละการเปลี่ยนแปลงที่อนุญาตคือแบบฟอร์มซึ่งหมายความว่าเมื่ออยู่ในสถานะเมื่ออ่าน (หรือซึ่งในกรณีนี้เป็นการเปลี่ยนผ่านฟรี) ถ้าบนสุดของสแต็กคือ (หรือซึ่งหมายถึงสแต็กว่างเปล่า) จากนั้น PDA สามารถ (เป็นรูปแบบที่ไม่ได้กำหนดไว้) ย้ายไปยังสถานะแทนที่Q F Γ Q 0 ( Q , , , Q ' , α ) Q ∈ = ε ∈ Γ = ε Q $\Sigma$$Q$$F$$\Gamma$$q_0$$(q,a,A,q',\alpha)$$q$$a \in A$$a = \epsilon$$A \in \Gamma$$A = \epsilon$$q'$$A$กับ *$\alpha \in \Gamma^*$

PDA ที่ใหม่ที่มีใหม่ที่ไม่ใช่ขั้วสำหรับแต่ละ\ ทุก ๆ สองรัฐและมีสองรัฐA) สถานะเริ่มต้น (สถานะเริ่มต้นจริงถูกเลือกแบบไม่กำหนดขึ้นในหมู่พวกเขาผ่าน ∈ แกมมาQ , Q ' ∈ Q ∈ แกมมา∪ { ε } ( Q , Q ' , 1 ) , ( Q , Q ' , 2 , $A'$$A \in \Gamma$$q,q' \in Q$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,q',1),(q,q',2,A)$ -transitions) เป็น ( Q , Q , 1 ) สำหรับแต่ละช่วงการเปลี่ยนภาพ ( q , a , A , q ′ , α )มีการเปลี่ยนที่สอดคล้องกัน ( ( q $\epsilon$$(q,q,1)$$(q,a,A,q',\alpha)$และ ( ( q , q ″ , 2 , B ) , a , A , ( q ′ , q ″ , 2 , B ) , α ) มีการเปลี่ยนอื่น ๆ เช่นกัน$((q,q'',1),a,A,(q',q'',1),\alpha)$$((q,q'',2,B),a,A,(q',q'',2,B),\alpha)$

สำหรับแต่ละช่วงการเปลี่ยนภาพมีการเปลี่ยนภาพ( ( q , q ″ , 1 ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 1 ) , B ′ A ′ α )ที่B ∈ แกมมา∪ { ε }และε '$(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,B',(q',q'',1),B'A'\alpha)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$ε สำหรับทุกรัฐสุดท้าย Q ∈ Fมีการเปลี่ยน ( ( Q , Q " , 1 ) , ε , , ( Q 0 , Q " , 2 , ε ) , )ที่ ∈ แกมมา∪ { ε }$\epsilon' = \epsilon$$q \in F$$((q,q'',1),\epsilon,A,(q_0,q'',2,\epsilon),A)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$

สำหรับการเปลี่ยนภาพทุกครั้งมีการเปลี่ยนภาพ( ( q , q ″ , 2 , A ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , B ′ α )ที่∈ แกมมา∪ { ε } สำหรับทุกการเปลี่ยนแปลง$(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$((q,q'',2,A),a,B',(q',q'',2,A),B'\alpha)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$ , มีการเปลี่ยน ( ( q , q ″ , 2 , B ) , a , A ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , ϵ )โดยที่ B ∈ แกมมา∪ { ε } สำหรับการเปลี่ยนแปลงทุกครั้ง ( q , $(q,a,\epsilon,q',A)$$((q,q'',2,B),a,A',(q',q'',2,A),\epsilon)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$มี "ช่วงการเปลี่ยนภาพทั่วไป" ( ( q , q ″ , 2 , C ) , a , B ′ A , ( q , q ″ , 2 , C ) , ϵ ) ; สิ่งเหล่านี้ถูกนำมาใช้เป็นลำดับของการเปลี่ยนผ่านสองสถานะใหม่ระดับกลาง การเปลี่ยนแปลง ( q , a , ϵ , q ′$(q,a,A,q',B)$$((q,q'',2,C),a,B'A,(q,q'',2,C),\epsilon)$กับ | α | ≥ 2ได้รับการจัดการในทำนองเดียวกัน สำหรับการเปลี่ยนภาพทุกครั้ง ( q , a , A , q ′ , A )มีการเปลี่ยนภาพ ( ( q , q ″ , 2 , A ) , a , B , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , B ) , ที่ B $(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$|\alpha| \geq 2$$(q,a,A,q',A)$$((q,q'',2,A),a,B,(q',q'',2,A),B)$ } ช่วงการเปลี่ยนภาพ ( q , a , A , q ′ , A α )ได้รับการจัดการในทำนองเดียวกัน ในที่สุดก็มี แต่เพียงผู้เดียวสุดท้ายรัฐฉและการเปลี่ยน ( ( Q , Q , 2 , ) , ε , ε , F , ε )$B \in \Gamma' \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',A\alpha)$$f$$((q,q,2,A),\epsilon,\epsilon,f,\epsilon)$

(อาจมีช่วงการเปลี่ยนภาพเล็กน้อยที่ฉันพลาดและรายละเอียดบางส่วนที่ฉันไม่ได้ดูค่อนข้างยุ่ง)

จำเรากำลังพยายามที่จะยอมรับคำที่x y ที่ได้รับการยอมรับจาก PDA เดิม รัฐ( Q , Q ' , 1 )หมายความว่าเรากำลังอยู่ในขั้นตอนที่ 1, ที่รัฐQและ PDA เดิมที่รัฐQ 'หลังจากที่ได้อ่านx รัฐ( Q , Q ' , 2 , )จะคล้ายกันที่สอดคล้องกับสุดท้าย'ที่โผล่ ที่ด่าน 1 เราได้รับอนุญาตให้ผลักA $yx$$xy$$(q,q',1)$$q$$q'$$x$$(q,q',2,A)$$A$$A'$$A'$แทนการ popping เราทำอย่างนั้นไม่ใช่สำหรับแต่ละขั้วที่ผลิตในขณะที่การประมวลผลxแต่โผล่เท่านั้นในขณะที่การประมวลผลY ในขั้นตอนที่ 2 เราได้รับอนุญาตให้ปรากฏ'แทนการผลักดัน ถ้าเราทำเช่นนี้แล้วเราต้องจำไว้ว่าด้านบนของหุ้นมัน; นี้ใช้เฉพาะเมื่อไม่มีสิ่ง "ชั่วคราว" ในกองซึ่งจำลอง PDA เป็นเช่นเดียวกับด้านบนของสแต็คเป็นεหรือในรูปแบบB '$A$$x$$y$$A'$$A$$A$$\epsilon$$B'$

นี่คือตัวอย่างง่ายๆ พิจารณาหุ่นยนต์สำหรับที่ผลักดันสำหรับแต่ละxและปรากฏสำหรับแต่ละปี ออโตใหม่ยอมรับคำพูดของทั้งสองรูปแบบ: Y k x n Y n - kและx k Y n x n - k สำหรับคำพูดของรูปแบบครั้งแรก, ระยะที่ 1 ประกอบด้วยการผลักดันkครั้ง' , ระยะที่ 2 ประกอบด้วย popping kครั้ง'ผลักดัน$x^n y^n$$A$$x$$A$$y$$y^k x^n y^{n-k}$$x^k y^n x^{n-k}$$k$$A'$$k$$A'$ครั้งและ popping n - kครั้ง สำหรับคำพูดของรูปแบบที่สองครั้งแรกที่เราผลักดัน kครั้งแล้วปรากฏ kครั้งดัน n - kครั้ง 'เปลี่ยนไปขั้นตอนที่ 2 และ pop n - kครั้ง'$n-k$$A$$n-k$$A$$k$$A$$k$$A$$n-k$$A'$$n-k$$A'$

นี่คือตัวอย่างที่มีความซับซ้อนมากขึ้นสำหรับภาษาของวงเล็บที่มีความสมดุลในประเภทต่างๆ ("()", "[]", "<>") ที่ลูกหลานของวงเล็บแต่ละประเภทจะต้องอยู่ในประเภทที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น "([] <>)" ก็โอเค แต่ "()" ผิด สำหรับแต่ละ "(" เราผลักดันถ้าด้านบนของสแต็คไม่สำหรับแต่ละ ")" เรา pop ในทำนองเดียวกันB , Cเกี่ยวข้องกับ "[]" และ "<>" นี่คือวิธีที่เรายอมรับคำว่า ">) ([()] <" เราใช้คำว่า ">)" กดC ′ A ′และเปลี่ยนไปยังสเตจ 2 เราบริโภค "(" popping 'และความทรงจำด้านบนของสแต็ค เราใช้ "[()]" ผลักและ popping$A$ $A$$A$$B$$C$$C'A'$$A'$$A$ ; เมื่อกด Bเราจะทราบว่า "จริง" บนสุดของสแต็กคือ Aและอนุญาตให้ใช้วงเล็บเหลี่ยม (เราจะไม่ถูกหลอกโดย ">) (() <"); เมื่อกด Aเนื่องจากด้านบนสุดของสแต็กคือ B (ซึ่งไม่ใช่ ϵหรือของรูปแบบ X ′ ) จากนั้นเราทราบว่า Bเป็น "บนสุดของ" สแต็คที่แท้จริง "เช่นกันและอนุญาตให้ใช้เครื่องหมายวงเล็บกลมได้ ( แม้ว่าเงาบนสุดของสแต็กคือ A ) สุดท้ายเรากิน "<" และ pop C '$BA$$B$$A$$A$$B$$\epsilon$$X'$$B$$A$$C'$

พิจารณารูปแบบปกติ Greibach ที่จะสร้างภาษาขยับคุณจำเป็นต้องเปลี่ยนโปรดักชั่นเพียงเพื่อS → 1 ... n αและเพิ่มใหม่ที่ไม่ใช่ขั้วS 'ว่าพฤติกรรมเช่นSใช้ในการในบางกรณีการผลิตบางส่วนที่อ้างถึงส .$S \to \alpha A_1 \dots A_n$$S \to A_1\dots A_n \alpha$$S'$$S$$S$

มันเป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบ Hopcroft และ Ullman แบบคลาสสิกเรื่องIntroduction to Automata Theory (1979) ปิดภายใต้วงจรคือการออกกำลังกาย 6.4c และมีการทำเครื่องหมาย S ** ดาวคู่หมายความว่ามันเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุด (ในหนังสือ) โชคดีที่ S ระบุว่าเป็นหนึ่งในปัญหาที่เลือกด้วยวิธีแก้ปัญหา

วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ใช้ CFG ในรูปแบบปกติของ Chomsky พิจารณาต้นไม้ที่มาและโดยทั่วไปจะเปิดคว่ำ พิจารณาเส้นทาง ในแผนผังต้นฉบับ ไปทางซ้ายต้นไม้มีผลงานx 1 , x 2 , ... , x nไปทางขวา ปี1 , ปี2 , ... , Y nหมายถึงสตริงมาเท่ากับx 1 x 2 ... x $S=X_1, X_2, \dots , X_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$y_1, y_2, \dots, y_n$ 1 (อันที่จริงแล้วไวยากรณ์คือ CNF เมื่อเส้นทางยังคงดำเนินต่อไปการสนับสนุนจะอยู่ทางด้านขวาและ x i ที่เกี่ยวข้องนั้นว่างเปล่า ฯลฯ )$x_1 x_2 \dots x_n y_n \dots y_2 y_1$$x_i$

ต้นไม้คว่ำมีเส้นทางร่วมกับY n , ... , ปีที่ 2 ปีที่ 1ไปทางซ้ายและ x n , ... , x 2 x 1ไปทางขวา เพื่อผลที่มาหาY n ... Y 2 ปี1 x 1 x 2 ... x n ตามความจำเป็น.$S', \hat X_n, \dots \hat X_2, \hat X_1$$y_n, \dots, y_2 y_1$$x_n, \dots, x_2 x_1$$y_n \dots y_2 y_1 x_1 x_2 \dots x_n$

รายละเอียดการก่อสร้างทั้งหมดระบุไว้ในหนังสือ

โปรดสังเกตว่านี่เป็นการเตือนให้ระลึกถึงการแก้ปัญหา (ยอมรับ) โดย Yuval nonterminals ที่ถูกผลักแทนที่จะเป็นผุดอยู่ในลำดับที่ตรงกันข้ามกับกองซ้อน ค่อนข้างคล้ายกับคว่ำในต้นไม้