เมื่อใดที่คำ adjacency หรือ matrices เป็นตัวเลือกที่ดีกว่า

ผมก็บอกว่าเราจะใช้รายการถ้ากราฟเป็นป่าโปร่งและเมทริกซ์ถ้ากราฟหนาแน่น สำหรับฉันมันเป็นเพียงคำจำกัดความดิบ ฉันไม่เห็นอะไรมากไปกว่านั้น คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าจะเป็นทางเลือกโดยธรรมชาติเมื่อใด

ขอบคุณล่วงหน้า!

ก่อนอื่นให้ทราบว่ากระจัดกระจายหมายความว่าคุณมีขอบน้อยมากและหนาแน่นหมายถึงขอบจำนวนมากหรือกราฟเกือบสมบูรณ์ ในกราฟที่สมบูรณ์คุณมีขอบโดยที่คือจำนวนโหนด$n(n-1)/2$$n$

ตอนนี้เมื่อเราใช้การแทนเมทริกซ์เราจะจัดสรร matrix เพื่อเก็บข้อมูลการเชื่อมต่อโหนดเช่นหากมีขอบระหว่างโหนดและมิฉะนั้น0 แต่ถ้าเราใช้รายการ adjacency เราจะมีอาร์เรย์ของโหนดและแต่ละโหนดจะชี้ไปที่รายการ adjacency ที่มีเฉพาะโหนดที่อยู่ใกล้เคียงเท่านั้น$n\times n$$M[i][j] = 1$$i$$j$$M[i][j] = 0$

ทีนี้ถ้ากราฟกระจัดกระจายและเราใช้การแทนเมทริกซ์แล้วเมทริกซ์เซลล์ส่วนใหญ่ยังไม่ได้ใช้ซึ่งนำไปสู่การสูญเสียความทรงจำ ดังนั้นเรามักจะไม่ใช้การแทนเมทริกซ์สำหรับกราฟกระจาย เราชอบรายการคำคุณศัพท์

แต่ถ้ากราฟมีความหนาแน่นจำนวนของขอบจะใกล้เคียงกับ (สมบูรณ์)หรือถึงหากกราฟกำกับด้วยลูป ดังนั้นจึงไม่มีความได้เปรียบในการใช้รายการ adjacency มากกว่า matrix$n(n-1)/2$$n^2$

ในแง่ของความซับซ้อนของพื้นที่
เมทริกซ์ Adjacency: รายการ Adjacency: โดยที่คือจำนวนโหนดโหนดคือจำนวนขอบ$O(n^2)$
$O(n + m)$
$n$$m$

เมื่อกราฟเป็นต้นไม้ที่ไม่ได้บอกทิศทางดังนั้น
Adjacency matrix: รายการ Adjacency:คือ (ดีกว่า )O ( n + n ) O ( n ) n $O(n^2)$
$O(n + n)$$O(n)$$n^2$

เมื่อกราฟถูกชี้นำให้สมบูรณ์โดยมีการวนรอบตัวเองแล้ว
Adjacency matrix: รายการ Adjacency:คือ (ไม่แตกต่างกัน)O ( n + n 2 ) O ( n 2$O(n^2)$
$O(n + n^2)$$O(n^2)$

และในที่สุดเมื่อคุณใช้เมทริกซ์โดยใช้การตรวจสอบหากมีขอบระหว่างสองโหนดใช้เวลาครั้งในขณะที่มีรายชื่อถ้อยคำมันอาจจะใช้เวลาในการเชิงเส้นn$O(1)$$n$

คำตอบโดยการเปรียบเทียบง่ายๆ .. ถ้าคุณต้องเก็บน้ำ 6 ออนซ์คุณ (พูดโดยทั่วไป) ทำกับภาชนะ 5 แกลลอนหรือถ้วย 8 ออนซ์หรือไม่

ทีนี้กลับมาที่คำถามของคุณ .. ถ้าเมทริกซ์ส่วนใหญ่ของคุณว่างเปล่าทำไมต้องใช้มัน? เพียงแค่แสดงรายการแต่ละค่าแทน อย่างไรก็ตามหากรายการของคุณยาวจริงๆทำไมไม่ใช้เมทริกซ์เพื่อย่อมัน

เหตุผลที่อยู่เบื้องหลัง list vs matrix นั้นง่ายมากในกรณีนี้

PS รายการเป็นแค่เมทริกซ์คอลัมน์เดียว !!! (พยายามแสดงให้คุณเห็นว่าการตัดสินใจ / สถานการณ์เป็นไปโดยพลการ)

พิจารณากราฟที่มี nodes และ edge ไม่สนใจคำสั่งต่ำสุดเมทริกซ์บิตสำหรับกราฟจะใช้บิตไม่ว่าจะมีขอบจำนวนเท่าใดE N $N$$E$$N^2$

อย่างไรก็ตามคุณต้องการบิตจำนวนเท่าใด

สมมติว่าขอบมีความเป็นอิสระจำนวนกราฟกับโหนดและขอบเป็นE} จำนวนขั้นต่ำของบิตที่จำเป็นในการเก็บเซตนี้เป็นE}$N$$E$${N^2 \choose E}$$\log_2 {N^2 \choose E}$

เราจะสมมติโดยไม่มีการสูญเสียความเห็นที่นั่นคือครึ่งหนึ่งหรือน้อยกว่านั้นมีอยู่ หากไม่เป็นเช่นนั้นเราสามารถจัดเก็บชุดของ "non-edge" แทน$E \le \frac{N^2}{2}$

ถ้า ,ดังนั้นการแทนเมทริกซ์จึงเหมาะสมที่สุด หากใช้การประมาณของ Stirling และเลขคณิตเล็กน้อยเราจะพบ:$E = \frac{N^2}{2}$$\log_2{N^2 \choose E} = N^2 + o(N^2)$$E \ll N^2$

หากคุณพิจารณาว่าคือขนาดของจำนวนเต็มซึ่งสามารถแทนค่าดัชนีโหนดการแทนค่าที่ดีที่สุดคืออาร์เรย์ของรหัสโหนดนั่นคืออาร์เรย์ของดัชนีโหนดคู่$\log_2 N$$2E$

ต้องบอกว่าการวัดที่ดีของ sparsity คือเอนโทรปีซึ่งเป็นจำนวนบิตต่อขอบของการแสดงที่ดีที่สุด ถ้าคือน่าจะเป็นที่ขอบเป็นปัจจุบันเอนโทรปีคือ(1-P)} สำหรับ , เอนโทรปีคือ 2 (เช่นสองบิตต่อขอบในการแสดงที่ดีที่สุด) และกราฟมีความหนาแน่น ถ้าเอนโทรปีมีค่ามากกว่า 2 อย่างมีนัยสำคัญและโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันใกล้เคียงกับขนาดของตัวชี้กราฟจะกระจัดกระจาย$p = \frac{E}{N^2}$$- \log_2{p(1-p)}$$p \approx \frac{1}{2}$