พิสูจน์ต้นไม้ไบนารีได้มากที่สุด

ฉันพยายามพิสูจน์ว่าต้นไม้ไบนารีที่มี $n$ nodes มีไม่เกิน $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ ใบ ฉันจะทำสิ่งนี้ด้วยการเหนี่ยวนำได้อย่างไร

สำหรับคนที่ได้รับการต่อไปนี้ในคำถามเดิมเกี่ยวกับกองจะได้รับการย้ายที่นี่

— varatis
แหล่งที่มา

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าเราสามารถใช้ LaTeX ได้ที่นี่ คลิก "แก้ไข" เพื่อดูว่าฉันทำได้อย่างไร ประการที่สองฉันไม่เห็นอุปนัย คุณกำลังขว้างตัวเลขจำนวนหนึ่งรอบ ๆ นั้น แต่ไม่มีโครงสร้างการพิสูจน์และไม่เกี่ยวข้องกับกองทั้งหมด คุณสามารถปรับปรุงได้หรือไม่ และท้ายสุดการอ้างสิทธิ์ผิด: รายการที่เรียงตามคุณสมบัติของฮีปและมีเพียงลีฟเดียว คุณทิ้งสมมติฐานไว้บ้างไหม?

— Raphael

@ Kaveh แก้ไขสิ่งที่คุณมีในใจหรือไม่นั่นคือ "มากที่สุด"?

— Raphael

@ ราฟาเอล, อ่านคำถามอีกครั้ง, ฉันคิดว่ามันอาจเป็นเรื่องเกี่ยวกับกองที่โหนดภายในทั้งหมดมีลูกสองคน (ในกรณีที่คำถามดั้งเดิมมีเหตุผลและการอ้างสิทธิ์ถูกต้องหรือสิ่งที่คล้ายกัน)

— Kaveh

@ Kaveh Ah ใช่ฉันเห็นความสับสนของคุณ โหนดของฮีปมีลูกได้ไม่เกินสองคน (ดังนั้นจึงมีแท็กไบนารีทรี)

— varatis

ฉันเห็น. ด้วยการอ้างสิทธิ์ที่กำหนดขึ้นอย่างแม่นยำจึงไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานเพิ่มเติม สถานที่ให้บริการถือในความเป็นจริงสำหรับต้นไม้ไบนารีทั้งหมด

— Raphael

คำตอบ:

ฉันคิดว่าตอนนี้คำถามมีดังต่อไปนี้:

ให้ต้นไม้ไบนารีด้วย nodes พิสูจน์ว่ามันมีมากที่สุด $n$ $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ ใบ

ขอให้เราทำงานที่มีความหมายต้นไม้ )สำหรับต้นไม้ดังกล่าวให้จำนวนโหนดในและจำนวนใบใน $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ $T$ T

คุณถูกต้องในการทำเช่นนี้โดยการเหนี่ยวนำ แต่คุณจะต้องมีการเหนี่ยวนำโครงสร้างที่เป็นไปตามโครงสร้างต้นไม้ สำหรับต้นไม้สิ่งนี้มักทำในลักษณะการเหนี่ยวนำโดยสมบูรณ์เหนือความสูง $h(T)$ ของต้นไม้

สมอเรือเหนี่ยวนำมีสองส่วน ก่อนอื่นสำหรับเรามีกับ ; การเรียกร้องถือต้นไม้ไว้อย่างชัดเจน สำหรับคือเราในทำนองเดียวกันมี $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ ดังนั้นการอ้างสิทธิ์ถือสำหรับใบไม้ $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

สมมติฐานการปฐมนิเทศคือ: สมมติว่าการอ้างสิทธิ์ถือสำหรับต้นไม้ (ไบนารี) ทั้งหมดกับ , $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$ โดยพลการ แต่คงที่

สำหรับขั้นตอนการอุปนัยพิจารณาโดยพลไบนารีต้นไม้กับ 1ในฐานะที่เป็น , และ 1ในฐานะที่เป็นและก็เป็นต้นไม้ไบนารี (มิฉะนั้นจะไม่เป็น) และ $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ $h(L),h(R)\leq k$ , the induction hypothesis applies and have

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

As all leaves of $T$ are either in $L$ or $R$ , we have that

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

ความไม่เสมอภาคที่มีเครื่องหมายสามารถตรวจสอบได้โดย (วิธีที่สี่) กรณีที่แตกต่างมากกว่าว่า Nโดยพลังของการเหนี่ยวนำนี้สรุปหลักฐาน $(*)$ $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

ในแบบฝึกหัดคุณสามารถใช้เทคนิคเดียวกันเพื่อพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้:

ต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์แบบทุกความสูงมีโหนด $h$ $2^h-1$
ต้นไม้ไบนารีเต็มทุกต้นมีจำนวนโหนดคี่

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

I am a little confused by the question. If you are interested in trees with degree at most $3$ , which is what Wikipedia says you want, then we run into the problem that a single edge has $n=2$ nodes and $n=2$ leaves, but $n/2 = 1$ . Anyway, here is something close that has an easy argument.

Let $T$ be such a tree with $n$ nodes and $L$ leaves. Since $T$ is a tree, there are $n-1$ edges, and double counting them, we see that

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$ which says that

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$ and this is tight in the two-vertex example above. I guess that if you want to assume that there one root of degree two and

n \geq 3

$n\ge 3$ , then you can refine this argument to give

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$ which is what you are looking for, and this is tight when the tree is full.

— Louis
แหล่งที่มา

I guess we silently assume rooted trees here; Wikipedia does so, too.

— Raphael

Wikipedia sort of equivocates, saying: "Outside the tree, there is often a reference to the "root" node (the ancestor of all nodes), if it exists." Anyway, this argument seems worth writing down, since it is different and quite easy.

— Louis

If you read on, all edges are directed, they talk of "children" and "parents". That does not make sense in unrooted trees. In consequence, a leaf would be a node with outdegree 0.

— Raphael