ชื่อของปัญหาการเรียงลำดับใหม่ / การเรียงลำดับ?

10

คุณจะได้รับอาร์เรย์ของความยาวnแต่ละองค์ประกอบของอาเรย์เป็นของหนึ่งในคลาสคุณควรจะจัดเรียงอาร์เรย์ใหม่โดยใช้จำนวนการสลับขั้นต่ำเพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดจากคลาสเดียวกันถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกันเสมอ ตัวอย่างเช่น: ยังมีข้อตกลงที่ใช้ได้อีกสามข้อที่เหลืออยู่ $n$ $K$

\begin{aligned} [2, 1, 3, 3, 2, 2] ⟶ [2, 2, 2, 1, 3, 3], or \\ [2, 1, 3, 3, 2, 2] ⟶ [1, 2, 2, 2, 3, 3], or \\ [2, 1, 3, 3, 2, 2] ⟶ [3, 3, 2, 2, 2, 1] . \end{aligned}

$\begin{align*} &[2, 1, 3, 3, 2, 2] \longrightarrow [2, 2, 2, 1, 3, 3], \text{ or} \\ &[2, 1, 3, 3, 2, 2] \longrightarrow [1, 2, 2, 2, 3, 3], \text{ or} \\ &[2, 1, 3, 3, 2, 2] \longrightarrow [3, 3, 2, 2, 2, 1]. \end{align*}$

ปัญหานี้เรียกว่าอย่างไรในวรรณคดี มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับมันหรือไม่?

— Marko Bukal
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่แน่ใจว่าปัญหานี้มีชื่อแม้ว่าจะเป็นไปได้อย่างแน่นอน ไม่ใช่ปัญหาที่นึกออกทั้งหมดมีชื่อ

— Yuval Filmus

2

ในทางปฏิบัตินี้จะเรียกว่าการจัดกลุ่ม ฉันไม่ทราบคำศัพท์ในอัลกอริทึมแบบดั้งเดิม (แน่นอนว่ามันเป็นเรื่องที่น่าสนใจและเป็นปัญหาที่ยากมาก! การลดจำนวน swaps ให้น้อยลงทำให้รู้สึกว่า "หาการเปลี่ยนแปลงที่ดีที่สุดของกลุ่ม" ซึ่งทำให้รู้สึกว่า NP-hard-ish.)

— Raphael

ขอบคุณมากสำหรับตอนนี้ แน่นอนฉันสนใจที่จะแก้ปัญหา แต่คิดว่ามันได้ทำการศึกษาไปแล้วจึงขออ้างอิง

— Marko Bukal

6

หมายเหตุ: มันคือการพิสูจน์ความแข็งและฉันคิดว่ามีอัลกอริทึมที่ใช้งานได้จริงเช่นการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม ฯลฯ

ได้รับตัวอย่าง BIN_PACKING ที่คุณต้องการที่จะแพ็คตัวเลขเข้าไปถังขยะขนาดและเป็นที่มั่นใจได้ว่าแล้วเราสามารถออกแบบเช่น จากปัญหาของคุณดังต่อไปนี้: $K$ $n_1,\ldots,n_K$ $L$ $m_1,\ldots,m_L$ $\sum n_i=\sum m_j=N$

มีคลาส ; $K+(N+1)(L-1)$
คลาสแรกมีขนาดตามลำดับและคลาสที่เหลือแต่ละคลาสจะมีขนาด ;; $K$ $n_1,\ldots,n_K$ $N+1$
อาร์เรย์ถูกแบ่งพาร์ติชันออกเป็นช่องขนาด: ที่แต่ละช่องของขนาดเต็มไปด้วยคลาสจัดเรียงอย่างต่อเนื่องและส่วนที่เหลือจะถูกจัดเรียงโดยพลการ $m_{1}, (N + 1)^{2}, m_{2}, (N + 1)^{2}, m_{3}, \dots, (N + 1)^{2}, m_{L}$ $m_1,(N+1)^2,m_2,(N+1)^2,m_3,\ldots,(N+1)^2,m_L$ $(N+1)^2$ $N+1$

ตอนนี้การสังเกตุที่สำคัญก็คือมันไม่มีความหมายที่จะเก็บคลาสอย่างน้อยหนึ่งคลาสในช่องและไม่ได้ย้ายคลาสอื่น (เพราะจะไม่เปลี่ยนขนาดของ 'bin') ดังนั้นบรรจุถังเดิมสามารถใช้ได้ถ้าหากจำนวนขั้นต่ำของการแลกเปลี่ยนคือไม่ใหญ่กว่าNเนื่องจากBIN-PACKING นั้นเป็นที่รู้จักกันดีว่า NP-complete อย่างยิ่งปัญหาของคุณคือ NP-hard $(N+1)^2$ $N$

— Willard Zhan
แหล่งที่มา

นี่คือสิ่งที่สวยงาม! ในกรณีที่คนอื่นพยายาม: (1) การแลกเปลี่ยนนั้นเพียงพอที่จะสร้าง "bin packing" ใด ๆ ที่เราต้องการในช่องขนาดเนื่องจากการสลับครั้งเดียวก็เพียงพอที่จะย้ายองค์ประกอบหนึ่งไปยังตำแหน่งสุดท้าย โดยไม่รบกวนองค์ประกอบที่วางไว้แล้ว (2) มีเพียง 2 สิ่งที่เป็นไปได้ที่เราสามารถลองกับความยาว - "บัฟเฟอร์โซน" ระหว่าง "ถังขยะ": เลื่อนคลาสทั้งหมดยาว -ที่ปลายทั้งสองที่อื่น (แต่ค่าใช้จ่ายนี้มีการแลกเปลี่ยนอยู่แล้วดังนั้นเราจึงไม่สามารถทำได้) หรือ "เลื่อน" ทั้งตำแหน่งหนึ่งไปทางซ้ายหรือขวา (แต่นี่หมายถึง "เลื่อน" แต่ละรายการ ...

N

$N$

m_{1}, \dots, m_{L}

$m_1, \dots, m_L$

(N + 1)^{2}

$(N+1)^2$

(N + 1)

$(N+1)$

N + 1

$N+1$

— j_random_hacker

... คลาสในบัฟเฟอร์ซ้ายหรือขวาหนึ่งตำแหน่งและแม้ว่าเราสามารถทำได้ด้วย swap เดียวต่อคลาสมีคลาสในโซนดังนั้นอย่างน้อย swaps จึงจำเป็นอีกครั้ง: เป็นไปไม่ได้) จุดนี้มีความจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ว่าทางออกของปัญหา OP ด้วยราคาแสดงถึงการบรรจุถังขยะที่ถูกต้อง (3) เนื่องจากการบรรจุในถังขยะมีปัญหา NP-complete อย่างยิ่งจึงไม่มี "no-no" ในการสร้างแกดเจ็ตจำนวนมาก (ที่นี่องค์ประกอบของอาเรย์) ตามสัดส่วนกับตัวเลขที่เข้ารหัสในอินพุตไม่ได้ที่นี่ :)

N + 1

$N+1$

N + 1

$N+1$

\leq N

$\le N$

— j_random_hacker

1

ฉันยังสงสัยว่านี่คือ NP-hard แต่ในกรณีที่ไม่มีแนวคิดในการพิสูจน์นี่คือข้อ จำกัด ด้านล่างที่คำนวณได้อย่างรวดเร็วสองสามข้อซึ่งอาจเป็นประโยชน์สำหรับการตรวจสอบการเพิ่มประสิทธิภาพของโซลูชันการแก้ปัญหาหรือตัดการค้นหาสาขาและขอบเขต .

ให้คลาสมีองค์ประกอบในการแก้ปัญหาที่ถูกต้องใด ๆ ในชั้นเรียนจะต้องเริ่มต้นที่ตำแหน่งบางญดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่ากับต้นทุนของการ "แก้ไข" ชั้นโดยพยายามที่เป็นไปได้ทั้งหมดตำแหน่งเริ่มต้นนับจำนวนไม่องค์ประกอบใน length-บล็อกเริ่มต้นที่ตำแหน่ง (แต่ละตำแหน่งเหล่านี้จะต้อง สลับ) และทำขั้นต่ำ นี้สามารถคำนวณได้สำหรับใด ๆในเวลาโดยใช้วิธีการเลื่อนหน้าต่างสำหรับ $i$ $n_i$ $i$ $j$ $L_i$ $i$ $j$ $i$ $n_i$ $j$ $L_i$ $i$ $O(n)$ $O(Kn)$ เวลาโดยรวม ขอบเขตล่างโดยรวมที่สองคือ:

ใช้เวลาไม่เกินกว่าทุกL_iแน่นสำหรับอาจจะอ่อนแอมากขนาดใหญ่K $L_i$ $K=2$ $K$
รวมทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 ปัดเศษขึ้น สิ่งนี้ถูกต้องเพราะการแลกเปลี่ยนใด ๆ สามารถแก้ไขตำแหน่งที่ไม่ถูกต้องได้สูงสุด 2 ตำแหน่ง $L_i$

ในตัวอย่างของคุณขอบเขตทั้งสองให้ 1 (0.5 สามารถปัดขึ้นในกรณีหลัง) ซึ่งแน่นอนว่าหลวม

— j_random_hacker
แหล่งที่มา