ตรรกะลำดับที่สองแบบโมนาดิคสำหรับ Dummies

ฉันเป็นโปรแกรมเมอร์ที่มีการจับออโตมาตะ แต่ไม่ใช่ในเชิงตรรกะ

ฉันอ่านในเอกสารว่าทั้งสองมีความสัมพันธ์กันแน่นมาก Finite Automata (DFA) ที่กำหนดอย่างชัดเจน Tree Automata และ Automatic Pushdown ที่มองเห็นได้ล้วนเกี่ยวข้องกับ Monadic Second Order Logic (MSO) แม้ว่าฉันจะเข้าใจออโตมาตะและผู้คน (ในเอกสาร) ได้พยายามอธิบายความสัมพันธ์กับ MSO ให้ฉันพวกเขามักจะมีพื้นฐานที่แข็งแกร่งในด้านตรรกะและความเข้าใจใน MSO

เมื่อฉันดูหนังสือและหลักสูตรเกี่ยวกับลอจิกพวกเขาส่วนใหญ่จะจัดการกับลอจิกลำดับแรกเท่านั้นซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างง่ายและประกอบด้วยแนวคิดเพียงไม่กี่อย่าง: ตัวแปรหรือหรือและไม่ใช่นัยสำหรับทุกคนที่มีอยู่ ฯลฯ

ใครสามารถอธิบายหรือชี้ให้ฉันไปยังทรัพยากรที่สามารถอธิบายได้:

ตรรกะลำดับที่สองคืออะไรในทางตรงกันข้ามกับตรรกะลำดับแรก
Monadic กับตรรกะที่ไม่ใช่ Monadic คืออะไร
เหตุใดจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ตรรกะลำดับที่สองที่จะเป็นแบบ monadic ที่จะตัดสินใจได้หรือทำไมคำถามนี้ผิด?
เหตุใดจึงมีลอจิกลำดับที่สองที่เป็นเอกเทศ
ความสัมพันธ์กับ DFA อย่างน้อย?

ถ้ามันเป็นทรัพยากรมันคงจะดีถ้ามันถือว่าฉันเป็นโปรแกรมเมอร์ไม่ใช่นักตรรกวิทยา ซึ่งหมายความว่าฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าฉันจะใช้มันเป็นรหัสเพราะจนกระทั่งแล้วคณิตศาสตร์ก็รู้สึกเหมือนเวทมนตร์ให้ฉัน;)

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ ที่คุณสามารถให้ฉัน ฉันจะขอบคุณมันจริงๆ

— Walter Schulze
แหล่งที่มา

"ทำไมจึงเป็นเรื่องสำคัญที่ตรรกะลำดับที่สองที่จะเป็นแบบเอกเทศที่ต้องตัดสินใจได้หรือทำไมนี่จึงเป็นคำถามที่ผิด?" ถ้าคุณให้ปริมาณมากกว่าไบนารีกริยาเช่น

จากนั้นคุณจะคว้าพลังของ First Order Logic ด้วยเพรดิเคตไบนารีเดียวซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ (แม้จะไม่มีฟังก์ชั่นของ arity> 0 และไม่มีความเสมอภาค) [Kalmar, Suranyi, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— Vor

ตรรกะลำดับที่สองคืออะไรในทางตรงกันข้ามกับตรรกะลำดับแรก

Monadic กับตรรกะที่ไม่ใช่ Monadic คืออะไร

ลอจิกอันดับที่สองเป็นตรรกะลำดับที่หนึ่งบวกปริมาณที่มากกว่าเซต ดังนั้นเช่นเดียวกับความสามารถในการบอกว่ามีองค์ประกอบโดเมนที่มีคุณสมบัติบางอย่าง ( ) คุณยังสามารถพูดได้ว่ามีชุดขององค์ประกอบของโดเมนที่มีคุณสมบัติบางอย่าง ยกตัวอย่างเช่นเราสามารถกำหนดกราฟ 3 สีได้ด้วยการพูด $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

ในคำพูดมีสีแดงเขียวและน้ำเงินเช่นนั้น

จุดสุดยอดทุกคนมีสี
และไม่มีจุดสุดยอดมีสองสี
และถ้ามีขอบระหว่างจุดยอดสองจุดจุดสองจุดนั้นจะไม่มีสีเดียวกัน

$k$ $k$ $k=1$ $1$

เหตุใดจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ตรรกะลำดับที่สองที่จะเป็นแบบ monadic ที่จะตัดสินใจได้หรือทำไมคำถามนี้ผิด?

เหตุใดจึงมีลอจิกลำดับที่สองที่เป็นเอกเทศ

สุจริตฉันไม่จำปัญหา decidability จุดสำคัญคือตรรกะลำดับที่สองเต็มรูปแบบช่วยให้คุณวัดปริมาณการเรียงลำดับเชิงเส้นของโดเมน

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

$D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(ฉันเดาว่าหากโดเมนของคุณไม่มีที่สิ้นสุดคุณอาจต้องระบุเพิ่มเติมว่าลำดับเชิงเส้นไม่ต่อเนื่องและมีองค์ประกอบน้อยที่สุดจากนั้นคุณก็รู้ว่ามันมีส่วนเริ่มต้นที่ isomorphic กับจำนวนธรรมชาติและควรเป็น พอ.)

$\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

ความสัมพันธ์กับ DFA อย่างน้อย?

$\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

$k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

$j$ $Q_1, \dots, Q_k$
$Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
ตำแหน่งสุดท้ายอยู่ในสถานะที่ยอมรับได้

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

ตอนนี้ฉันไม่จำหลักฐานการสนทนา (ว่าทุกอย่างที่กำหนดได้ใน MSO สามารถรับรู้ได้โดยหุ่นยนต์ที่เหมาะสม) ถ้าฉันมีเวลาฉันจะดูมันและโพสต์ภาพร่าง

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— David Richerby
แหล่งที่มา

เพิ่มคำแนะนำของฉันสำหรับการสนทนา รอการอนุมัติโดย @DavidRicherby

— Hendrik

ขอบคุณสำหรับการตอบรับที่ดี ฉันยังคงประมวลผลทั้งหมดนี้และทำงานผ่านมันค้นหาคำศัพท์คิดว่าฉันจะใช้สิ่งนี้ได้อย่างไรในเวลาเดียวกันฉันคิดว่าหมายเลข 3 เป็นคำถามที่ผิด บางทีมันควรจะเป็นเพราะเหตุใดความสัมพันธ์ระหว่างออโตมาตะและตรรกะจึงสำคัญซึ่งถูกกล่าวถึงในบทความมากมาย?

— Walter Schulze

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยม!

— คลาส