วิธีการพิสูจน์ว่าการคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์ 2x2 สองตัวไม่สามารถทำได้ในการคูณน้อยกว่า 7 ครั้ง

ในการคูณเมทริกซ์ของ Strassen เราบอกหนึ่งข้อเท็จจริงที่แปลก (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ว่าการคูณเมทริกซ์ของสอง 2 x 2 นั้นใช้เวลา 7 การคูณ

คำถาม:จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะคูณเมทริกซ์ 2 x 2 สองตัวในการคูณ 6 ครั้ง?

โปรดทราบว่าเมทริกซ์มีจำนวนเต็มเกิน

นี้เป็นผลคลาสสิกของ Winograd: คูณเมทริกซ์ 2x2

Strassen แสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังของการคูณเมทริกซ์นั้นเหมือนกับเลขชี้กำลังของอันดับเมตริกซ์ของเมตริกซ์การคูณเมทริกซ์: ความซับซ้อนเชิงพีชคณิตของ$n\times n$$O(n^\alpha)$$\langle n,n,n \rangle$$n\times n$$O(n^\alpha)$จากขอบเขตบน R ( ⟨ 2 , 2 , 2 ⟩ ) ≤ $O(n^{\log_27})$$R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$ 7

ผล Winograd ของหมายความว่า 7 Landsbergแสดงให้เห็นว่าอันดับชายแดน⟨ 2 , 2 , 2 ⟩ยังเป็น 7 และBlaser, et al ขยายเมื่อเร็ว ๆ นี้ว่าเพื่อสนับสนุนอันดับและอันดับการสนับสนุนชายแดน อันดับของเส้นขอบและอันดับการสนับสนุนคือความอ่อนแอ (= เล็กกว่า) ของอันดับที่ใช้ (ในกรณีของอันดับของเส้นขอบ) หรือที่เสนอ (ในกรณีของอันดับที่สนับสนุน) ในขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$$\langle 2,2,2 \rangle$

คุณสามารถค้นหาผลลัพธ์ได้ที่:

S..Winograd, การคูณเมทริกซ์ 2 × 2 , พีชคณิตเชิงเส้นและ Appl 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173)