ปัญหาการหยุดทำงานที่ จำกัด จะถูกตัดสินใจได้ ทำไมสิ่งนี้จึงไม่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทของไรซ์

คำสั่งหนึ่งของทฤษฎีบทของไรซ์ได้รับในหน้า 35 ของ "ความซับซ้อนในการคำนวณ: วิธีการที่ทันสมัย" (Arora-Barak):

ฟังก์ชั่นบางส่วนจาก $\{0,1\}^*$ ถึง $\{0,1\}^*$เป็นฟังก์ชั่นที่ไม่จำเป็นต้องกำหนดในอินพุตทั้งหมด เราบอกว่าเป็น TM$M$ คำนวณฟังก์ชั่นบางส่วน $f$ ถ้าสำหรับทุกคน $x$ ที่ $f$ ถูกกำหนดไว้ $M(x) = f(x)$ และสำหรับทุกคน $x$ ที่ $f$ ไม่ได้กำหนดไว้ $M$ จะเข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุดเมื่อดำเนินการกับอินพุต $x$. ถ้า$S$ เป็นชุดของฟังก์ชั่นบางส่วนที่เรากำหนด $f_S$ เป็นฟังก์ชั่นบูลีนที่อยู่บนอินพุต $\alpha$ ส่งออก 1 iff $M_\alpha$ คำนวณฟังก์ชั่นบางส่วนใน $S$. ทฤษฎีบทของไรซ์กล่าวว่าสำหรับทุกเรื่องที่ไม่สำคัญ$S$, ฟังก์ชั่น $f_S$ ไม่สามารถคำนวณได้

วิกิพีเดียระบุว่าภาษาของเครื่องทัวริงที่ จำกัด เวลานั้นเสร็จสมบูรณ์แล้ว ฉันคาดหวังว่าภาษานี้จะดูเหมือน$\{(\alpha,x,n) : M_\alpha$ ยอมรับ $x$ น้อยกว่า $n$ ขั้นตอน$\}$. ดังนั้นขอ$M$เป็น DTM บางตัวที่ตัดสินภาษาที่ถูกล้อมรอบนี้ในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล ดูเหมือนว่า DTM นี้กำลังตัดสินใจหาที่พักสำหรับเครื่องจักรทัวริงทั้งหมดดังนั้นสัญชาตญาณของฉันบอกฉันว่าทฤษฎีบทของไรซ์ทำให้ไม่มีการตัดสินใจเช่นนี้ แต่เห็นได้ชัด$M$ คำนวณฟังก์ชันทั้งหมด

ฉันขาดอะไรเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างภาษานี้กับทฤษฎีบทของไรซ์

ภาษา

$\qquad \{(α,x,n):M_α \text{ accepts } x \text{ in less than } n \text{ steps}\}$

ไม่ใช่ชุดดัชนีนั่นคือไม่ใช่รูปแบบ

$\qquad L_P = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ is TM},\ \exists\, f \in P.\ f_M = f \}$

สำหรับชุดบางส่วนของ (recursive บางส่วน) ฟังก์ชั่นกับ (บางส่วน) ฟังก์ชั่นคำนวณโดย TM Mทฤษฏีของ Rice สร้างข้อความเฉพาะเกี่ยวกับเช่นนั้น rephrasings "ใช้งานง่าย" จำนวนมากจะไม่เป็นประโยชน์ ดูที่นี่ด้วย$P$$f_M$$M$$L_P$

โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่เพียงรายละเอียดทางเทคนิคที่นี่ ทฤษฎีบทของข้าวใช้ไม่ได้กับ

$\qquad L = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ accepts } \langle M \rangle \text{ in less than } \langle M \rangle \text{ steps} \}$ ,

ทั้ง. คุณเห็นเหตุผลไหม

สำหรับทุกเครื่องในคุณสามารถสร้างเครื่องจำนวนมากที่รับภาษาเดียวกัน แต่ทำงานมานานกว่าขั้นตอนและจึงไม่ได้อยู่ในLดังนั้นไม่ใช่ชุดดัชนี$L$$\langle M \rangle$$L$$L$

$L$สามารถตัดสินใจได้โดยใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกับภาษาดั้งเดิมที่เรากำลังพูดถึง

ทฤษฎีข้าวบอกว่าคุณไม่สามารถบอกอะไรเกี่ยวกับพฤติกรรมที่ดีที่สุดของโปรแกรมเมื่อมันถูกปล่อยให้วิ่งไปไม่มีที่สิ้นสุด - ไม่ว่าคุณจะจำแนกประเภทของโปรแกรมอย่างไรจะมีสองโปรแกรมที่จะมาบรรจบกันในพฤติกรรมสุดยอดเดียวกัน ) แม้ว่าคุณจะจำแนกพวกเขาแตกต่างกัน

แต่การปล่อยให้โปรแกรมวิ่งไปหาอนันต์เป็นสิ่งจำเป็น ในการค้นหาว่าพวกเขาทำอะไรในขั้นตอนขั้นตอนแรกคุณสามารถจำลองพวกเขาสำหรับขั้นตอนขั้นแรกแล้วยุติการตัดสินของคุณเกี่ยวกับการทำงานของโปรแกรม การจำลองแบบที่คล้ายกันจนถึงอินฟินิตี้ไม่ทำงานเพราะหากโปรแกรมจำลองไม่เคยสิ้นสุดในอินพุตที่จำลองแล้วตัวแยกประเภทของคุณจะแตกต่างกันเช่นกันแทนที่จะให้การจำแนกประเภท$n$$n$

อย่างแรกคำในภาษาของคุณไม่ได้เข้ารหัสเครื่องมันมีข้อมูลเพิ่มเติมดังนั้นคุณจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทข้าวได้โดยตรง ทฤษฎีบทของไรซ์พูดถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับฟังก์ชันที่คำนวณโดยเครื่องทัวริง (กล่าวคือไม่ว่ามันจะอยู่ในเซต ) ก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีที่นี่เนื่องจากตามที่ Raphael พูดถึงมีอยู่สองเครื่องที่คำนวณฟังก์ชันเดียวกัน แต่มีอยู่หนึ่งในภาษาของคุณและอีกอันไม่ได้ (ที่นี่ฉันไม่สนใจปัญหาเรื่องไวยากรณ์และลืมเกี่ยวกับ ความจริงที่ว่าเป็นส่วนหนึ่งของอินพุต) ประเด็นก็คือคุณสมบัติที่คุณกำลังดูอยู่ที่นี่เป็นเชิงกลไม่ใช่เชิงความหมาย (เครื่องอาจคำนวณฟังก์ชันเดียวกัน แต่แตกต่างกัน)$S$$M,M'$$x,n$

ทฤษฎีบทของไรซ์บอกว่าสำหรับชุดของภาษาใด ๆ ชุดของเครื่องจักรทัวริงที่รับรู้ภาษาใน นั้นไม่สามารถอธิบายได้ วิกิพีเดียบอกว่าภาษาใดภาษาหนึ่งนั้นสามารถตัดสินใจได้ ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้ง$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$