ฟังก์ชันที่คำนวณได้สามารถรวมกันเป็นจำนวนที่ไม่สามารถคำนวณได้หรือไม่?

มีฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ ไม่:$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$

• สำหรับทั้งหมด$t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

โดยที่$X$คือจำนวนจริงที่ไม่สามารถคำนวณได้

การอ้างอิงถึงคำถามนี้ที่ฉันพบคือคำตอบสำหรับคำถามนี้ : /math//a/1052579/168764ซึ่งฟังก์ชั่นดูเหมือนว่ามันจะเก็บไว้ แต่ฉันไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร ขีด จำกัด ของฟังก์ชันนี้คือจำนวนจริงที่ไม่สามารถคำนวณได้

พิจารณาจำนวนจริงของการเข้ารหัส (เกือบ) ลังเลปัญหาคือเมื่อ r i = 1หากเครื่องทัวริงของฉัน (สัมพันธ์กับการเรียงลำดับพจนานุกรม) หยุดการทำงานของอินพุตว่างและr i = 0 เป็นอย่างอื่น ขอให้เราแสดงว่าจำนวนนี้โดยR$0.r_1r_2...$$r_i=1$$r_i=0$$R$

ตอนนี้พิจารณาเครื่องซึ่งในการป้อนข้อมูลnจำลองเครื่องทัวริงทั้งหมดของความยาว< nในการป้อนข้อมูลที่ว่างเปล่าสำหรับnขั้นตอนและผลตอบแทน0 ^ R 1 . . ^ r 2 n - 1โดยที่^ r i = 1หากเครื่องทัวริงของฉันหยุดการทำงานของอินพุตว่างในเวลาน้อยกว่าnก้าวและ^ r i = 0 เป็นอย่างอื่น เห็นได้ชัดสำหรับทุกnก็ถือได้ว่าM $M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$และมันก็ไม่ยากเกินไปที่จะแสดงให้เห็นว่า { M ( n ) } n ∈ Nลู่ไปR จุดที่สำคัญคืออัตราการบรรจบกันที่ไม่ได้คำนวณความหมายว่าได้รับ εคุณไม่สามารถคำนวณดัชนีดังกล่าวที่เกินกว่านั้นชุดคือ ε -close เพื่อR$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$$\epsilon$$R$