อะไรคือความแตกต่างทางความหมายระหว่างเซตและประเภท?

แก้ไข: ตอนนี้ฉันถามคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างหมวดหมู่และชุด

เวลาที่ฉันอ่านเกี่ยวกับประเภททฤษฎี (ซึ่งเป็นที่ยอมรับค่อนข้างเป็นทางการ) ทุกฉันไม่สามารถจริงๆเข้าใจว่ามันแตกต่างจากการตั้งทฤษฎีเป็นรูปธรรม

ฉันเข้าใจว่ามีความแตกต่างทางแนวคิดระหว่างการพูดว่า "x เป็นของชุด X" และ "x เป็นประเภท X" เนื่องจากสัญชาตญาณชุดเป็นเพียงชุดของวัตถุในขณะที่ประเภทมีคุณสมบัติ "บางอย่าง" อย่างไรก็ตามชุดมักจะถูกกำหนดตามคุณสมบัติเช่นกันและถ้าเป็นเช่นนั้นฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจว่าความแตกต่างนี้สำคัญอย่างไร

ดังนั้นในที่สุดคอนกรีตทางเป็นไปได้ว่าสิ่งที่มันไม่ได้บ่งบอก เกี่ยวกับ$x$จะบอกว่ามันเป็นประเภท$T$เมื่อเทียบกับบอกว่ามันเป็นองค์ประกอบในชุด ?$S$

(คุณสามารถเลือกประเภทและชุดที่ทำให้การเปรียบเทียบชัดเจนที่สุด)

เพื่อให้เข้าใจถึงความแตกต่างระหว่างชุดและประเภทที่มีคนที่จะกลับไปก่อนความคิด -mathematical ของ "คอลเลกชัน" และ "การก่อสร้าง" และดูว่าชุดและประเภทmathematizeเหล่านี้

มีสเปกตรัมของความเป็นไปได้ในสิ่งที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ สองสิ่งเหล่านี้คือ:

1. เราคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมที่วัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นตามกฎบางอย่าง (คิดว่ารูปทรงเรขาคณิตเป็นกิจกรรมของการสร้างจุดเส้นและวงกลมด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ) ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์จะถูกจัดเรียงตามวิธีการสร้างและมีประเภทของการก่อสร้างที่แตกต่างกัน วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นเสมอในบางวิธีที่ไม่ซ้ำกันซึ่งกำหนดประเภทที่เป็นเอกลักษณ์

2. เราคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นจักรวาลที่กว้างใหญ่ที่เต็มไปด้วยวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ก่อน (คิดว่าระนาบเรขาคณิตตามที่กำหนด) เราค้นพบวิเคราะห์และคิดเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ (เราสังเกตว่ามีจุดเส้นและวงกลมในระนาบ) เราเก็บรวบรวมพวกเขาเข้าไปในชุด โดยปกติแล้วเราจะรวบรวมองค์ประกอบที่มีบางสิ่งที่เหมือนกัน (ตัวอย่างเช่นทุกบรรทัดผ่านจุดที่กำหนด) แต่โดยหลักการแล้วชุดหนึ่งอาจรวมการเลือกวัตถุโดยพลการ ชุดจะถูกระบุโดยองค์ประกอบของมันและโดยองค์ประกอบของมันเท่านั้น วัตถุทางคณิตศาสตร์อาจเป็นของหลาย ๆ ชุด

เราไม่ได้บอกว่าความเป็นไปได้ข้างต้นเป็นเพียงสองอย่างเท่านั้นหรืออย่างใดอย่างหนึ่งของพวกเขาอธิบายอย่างสมบูรณ์ว่าคณิตศาสตร์คืออะไร อย่างไรก็ตามแต่ละมุมมองสามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นที่มีประโยชน์สำหรับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ทั่วไปที่มีประโยชน์อธิบายกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย

มันเป็นธรรมชาติที่จะใช้ชนิดและจินตนาการคอลเลกชันของทุกสิ่งที่เราสามารถสร้างโดยใช้กฎของT นี่คือส่วนขยายของTและไม่ใช่ตัวT ตัวอย่างเช่นต่อไปนี้เป็นสองประเภทที่มีกฎการก่อสร้างต่างกัน แต่มีนามสกุลเหมือนกัน:$T$$T$$T$ $T$

1. ประเภทคู่ที่nมีการก่อสร้างเป็นจำนวนธรรมชาติและหน้าจะสร้างเป็นหลักฐานแสดงให้เห็นว่าnเป็นจำนวนคู่ที่สำคัญมีขนาดใหญ่กว่า3$(n, p)$$n$$p$$n$$3$

2. ประเภทของคู่โดยที่mถูกสร้างเป็นจำนวนธรรมชาติและqถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นหลักฐานแสดงให้เห็นว่าmนั้นมีขนาดเล็กกว่า2เท่า$(m, q)$$m$$q$$m$$2$

ใช่สิ่งเหล่านี้เป็นเพียงตัวอย่างเล็กน้อย แต่ประเด็นก็คือทั้งสองประเภทไม่มีส่วนขยายใด ๆ แต่มีกฎการก่อสร้างที่แตกต่างกัน ในทางตรงกันข้ามชุด และ { เมตร∈ N | เมตร  เป็นคี่สำคัญมีขนาดเล็กกว่า  2 }มีความเท่าเทียมกันเพราะพวกเขามีองค์ประกอบเดียวกัน

$$\{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ is an even prime larger than $3$} \}$$ $$\{ m \in \mathbb{N} \mid \text{$m$ is an odd prime smaller than $2$} \}$$

โปรดทราบว่าทฤษฎีประเภทนั้นไม่เกี่ยวกับไวยากรณ์ มันเป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการก่อสร้างเช่นเดียวกับทฤษฎีเซตเป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการสะสม มันเกิดขึ้นเพียงว่าการนำเสนอตามทฤษฎีประเภทนั้นเน้นไวยากรณ์และดังนั้นผู้คนที่จบลงด้วยทฤษฎีประเภทความคิดก็คือไวยากรณ์ กรณีนี้ไม่ได้. การสร้างความสับสนให้กับวัตถุทางคณิตศาสตร์ (การสร้าง) ด้วยการแสดงออกทางประโยคที่แสดงถึงมัน (คำเดิม) เป็นความผิดพลาดประเภทพื้นฐานที่ทำให้นักตรรกวิทยางงงวยมานาน แต่ไม่ใช่อีกต่อไป

ในการเริ่มต้นชุดและประเภทไม่ได้อยู่ในเวทีเดียวกัน เซตเป็นวัตถุของทฤษฎีอันดับหนึ่งเช่นทฤษฎีเซต ZFC ในขณะที่ประเภทเป็นเหมือนประเภทรก เพื่อให้เป็นไปในทางที่แตกต่างทฤษฎีเซตเป็นทฤษฎีลำดับที่หนึ่งภายใต้ตรรกะลำดับแรก ทฤษฎีประเภทคือส่วนขยายของตรรกะเอง ยกตัวอย่างเช่นมาร์ติน - โลฟประเภททฤษฎีไม่ได้ถูกนำเสนอเป็นทฤษฎีอันดับหนึ่งภายในตรรกะลำดับแรก ไม่ใช่เรื่องธรรมดาที่จะพูดถึงชุดและประเภทในเวลาเดียวกัน

เมื่อรัฐจิ้งจกไม่ต่อเนื่องประเภท (และเรียงลำดับ) ให้บริการฟังก์ชั่นวากยสัมพันธ์ การเรียงลำดับ / ชนิดทำงานเป็นหมวดหมู่ประโยค ช่วยให้เราทราบว่าสำนวนใดที่มีรูปแบบที่ดี สำหรับตัวอย่างง่ายๆที่ใช้การเรียงลำดับสมมุติว่าเราอธิบายทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนามโดยพลการเป็นทฤษฎีที่เรียง 2 เรามีการจัดเรียงสำหรับสเกลา, , และจัดเรียงสำหรับเวกเตอร์, V เหนือสิ่งอื่น ๆ อีกมากมายที่เราจะต้องดำเนินการสำหรับการปรับใช้งาน: s คลิตรE : S × V → V สิ่งนี้ทำให้เรารู้ว่าs c a l e ( s c a l $\mathsf S$$\mathsf V$$\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$ไม่ใช่คำที่มีรูปแบบที่ถูกต้อง ในบริบทของทฤษฎีประเภทการแสดงออกเช่น F ( x )ต้องฉจะมีประเภท X → Yสำหรับบางชนิด XและY ถ้า fไม่ได้มีประเภทของฟังก์ชั่นแล้ว f ( x )ก็ไม่ใช่การแสดงออกที่ดีขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการแสดงออกของการเรียงลำดับหรือมีบางประเภทเป็นคำสั่งเมตาตรรกะ มันไม่มีเหตุผลที่จะเขียนสิ่งที่ชอบ: ( x : X $\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$$f(x)$$f$$X\to Y$$X$$Y$$f$$f(x)$ 3 อย่างแรก, x : Xไม่ใช่สูตร, และอย่างที่สอง, มันไม่ได้มีเหตุผลที่เข้าใจได้เพราะประเภท / ประเภทเป็นสิ่งที่แจ้งให้เราทราบว่าสูตรใดมีรูปแบบที่ดี เราพิจารณาคุณค่าของความจริงของสูตรที่มีรูปแบบที่ดีดังนั้นเมื่อถึงเวลาที่เราพิจารณาว่ามีสูตรบางสูตรอยู่หรือไม่เราก็รู้ดีว่ามันมีรูปร่างดีขึ้นแล้ว!$(x:X)\implies y=3$$x : X$

ในการตั้งทฤษฎีและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ZFC สัญลักษณ์เพียงคนเดียวไม่ใช่ตรรกะที่ทุกคนเป็นสัญลักษณ์ความสัมพันธ์สำหรับการเป็นสมาชิกชุด∈ดังนั้นx ∈ yจึงเป็นสูตรที่มีรูปแบบที่ดีพร้อมค่าความจริง ไม่มีคำศัพท์อื่นใดนอกจากตัวแปร สัญกรณ์ปกติของทฤษฎีเซตทั้งหมดเป็นส่วนขยายที่ชัดเจนของสิ่งนี้ ยกตัวอย่างเช่นสูตรเช่นF ( x ) = y ที่มักจะถูกนำไปเป็นชวเลข( x , Y ) ∈ ฉที่ตัวเองอาจจะถูกนำมาเป็นชวเลข∃ พี p ∈ f ∧ p = ( $\in$$x\in y$$f(x)=y$$(x,y)\in f$ซึ่งเป็นชวเลข ∃ พี p ∈ f ∧ ( ∀ z . z ∈ $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$ ในทุกๆ ชุดสามารถใช้แทน fและทุกอย่างเป็นชุด! เมื่อฉันชี้ให้เห็นในคำถามที่แตกต่างเมื่อเร็ว ๆ นี้ π ( 7 ) = 3โดยที่

$$\exists p.p\in f\land(\forall z.z\in p\iff [z = x\lor(\forall w.w\in z\Leftrightarrow w = y)])$$ $f$$\pi(7)=3$$\pi$คือจำนวนจริงคือการแสดงออกทางทฤษฎีเซตที่ถูกต้องและมีความหมาย (และอาจเป็นจริง) โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่คุณเขียนว่าการแยกวิเคราะห์ในทฤษฎีเซตสามารถให้ความหมายบางอย่างได้ มันอาจจะเป็นความหมายที่ปลอมอย่างสมบูรณ์ แต่ก็มีหนึ่งความหมาย เซตยังเป็นวัตถุ "ชั้นหนึ่ง" ในทฤษฎีเซต (พวกมันควรจะดีกว่าเพราะมันเป็นเพียงวัตถุเท่านั้น ) ฟังก์ชันเช่น $$f(x)=\begin{cases}\mathbb N, &\text{if }x=1\\7,&\text{if }x=\mathbb Q\\x\cap \mathbb R^\mathbb R,&\text{if }x=(\mathbb Z,\mathbb N)\end{cases}$$ เป็นฟังก์ชันที่ถูกต้องตามกฎหมายในทฤษฎีเซต ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีประเภทนี้จากระยะไกล สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดคือการใช้รหัสสำหรับจักรวาล Tarskian เซตคือวัตถุของทฤษฎีเซต ประเภทไม่ใช่วัตถุของทฤษฎีประเภท

ประเภทไม่ใช่ชุดของสิ่งต่าง ๆ (ไม่ใช่ชุดสำหรับเรื่องนั้น ... ) และไม่ได้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติ ประเภทเป็นหมวดหมู่วากยสัมพันธ์ที่ช่วยให้คุณทราบว่าการดำเนินการใดที่สามารถนำไปใช้กับเงื่อนไขของประเภทนั้นและการแสดงออกที่มีรูปแบบที่ดี จากเปอร์สเปคทีฟประเภทมุมมองประเภทของการจำแนกเป็นหลักฐานที่ถูกต้องของข้อเสนอที่ประเภทนั้นสอดคล้องกัน นั่นคือเงื่อนไขที่ดี (เช่นพิมพ์ดี) ของประเภทที่กำหนดให้สอดคล้องกับการพิสูจน์ที่ถูกต้อง (ซึ่งยังเป็นวัตถุวากยสัมพันธ์) ของข้อเสนอที่สอดคล้องกัน ไม่มีอะไรแบบนี้เกิดขึ้นในทฤษฎีเซต

ทฤษฎีเซตและทฤษฎีประเภทนั้นไม่เหมือนกันเลย

ในทางปฏิบัติโดยอ้างว่าเป็นประเภทTมักจะถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายไวยากรณ์ในขณะที่อ้างว่าxอยู่ในชุดSจะมักจะใช้ในการบ่งบอกถึงความหมายของสถานที่ให้บริการ ฉันจะยกตัวอย่างเพื่ออธิบายความแตกต่างนี้ในการใช้งานประเภทและเซต สำหรับความแตกต่างในสิ่งที่ประเภทและชุดจริงเป็นผมหมายถึงคำตอบของอังเดรย์บาวเออร์$x$$T$ $x$$S$

ตัวอย่าง

เพื่อชี้แจงความแตกต่างนี้ผมจะใช้ตัวอย่างที่ให้ไว้ในเฮอร์แมน Geuvers' เอกสารประกอบการบรรยาย ก่อนอื่นเราลองมาดูตัวอย่างของการใช้งานประเภท:

และเป็นตัวอย่างของการเป็นสมาชิกของชุดที่ใช้งาน: 3 ∈ { n ∈ N | ∀ x , Y , Z ∈ N + ( x n + Y n ≠ Z n )

$$3+(7*8)^5:\mathrm{Nat},$$ $$3\in \{n\in\mathbb{N}\mid \forall x,y,z\in\mathbb{N}^+ (x^n+y^n\neq z^n)\}$$

ความแตกต่างที่สำคัญที่นี่คือการทดสอบว่าการแสดงออกครั้งแรกเป็นจำนวนธรรมชาติเราไม่จำเป็นต้องคำนวณความหมายความหมายบางอย่างเราเพียงต้อง 'อ่านออก' ความจริงที่ว่าตัวอักษรทั้งหมดเป็นประเภทแน็ตและผู้ประกอบการทั้งหมดเป็น ปิดในประเภทแน็ต

อย่างไรก็ตามสำหรับตัวอย่างที่สองของชุดเราจะต้องกำหนดความหมายเชิงความหมายของในบริบทของชุด สำหรับฉากนี้มันค่อนข้างยาก: สมาชิก3 คนของชุดนี้เทียบเท่ากับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์! โปรดทราบว่าตามที่ระบุในบันทึกย่อความแตกต่างระหว่างไวยากรณ์และความหมายไม่สามารถวาดได้อย่างชัดเจน (และคุณอาจจะโต้แย้งว่าแม้ตัวอย่างนี้จะไม่ชัดเจนเช่นที่โปรแกรมเมอร์ 2356 กล่าวถึงในความคิดเห็น)$3$$3$

อัลกอริทึมเทียบกับการพิสูจน์

เพื่อสรุปประเภทมักจะใช้สำหรับ 'ง่าย' เรียกร้องเกี่ยวกับไวยากรณ์ของการแสดงออกบางอย่างเช่นว่าสมาชิกประเภทสามารถตรวจสอบได้โดยอัลกอริทึมในขณะที่สมาชิกทดสอบของชุดเราจะอยู่ในมักจะต้องหลักฐาน

เพื่อดูว่าทำไมความแตกต่างนี้จึงมีประโยชน์ให้พิจารณาคอมไพเลอร์ของภาษาการเขียนโปรแกรมที่พิมพ์ หากคอมไพเลอร์นี้ต้องสร้างหลักฐานอย่างเป็นทางการเพื่อ 'ตรวจสอบประเภท' คอมไพเลอร์จะถูกขอให้ทำงานที่เป็นไปไม่ได้เกือบ (ทฤษฎีพิสูจน์อัตโนมัติคือโดยทั่วไปแล้วยาก) หากในอีกทางหนึ่งคอมไพเลอร์สามารถเรียกใช้อัลกอริทึม (มีประสิทธิภาพ) เพื่อตรวจสอบประเภทได้ก็จะสามารถทำงานได้ตามจริง

แรงจูงใจในการตีความที่เข้มงวด

มีการตีความหลายความหมายของชุดและประเภทความหมาย ในขณะที่ภายใต้ความแตกต่างของประเภทและประเภท extensional ที่นี่กับการตรวจสอบประเภท undecidable (เช่นที่ใช้ใน NuPRL ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็น) จะไม่เป็น 'ประเภท' คนอื่น ๆ มีอิสระที่จะเรียกพวกเขาเช่น ตามที่พวกเขาเรียกพวกเขาอย่างอื่นตราบใดที่คำจำกัดความของพวกเขาพอดี)

อย่างไรก็ตามเรา (Herman Geuvers และ I) ชอบที่จะไม่โยนการตีความนี้ออกไปนอกหน้าต่างซึ่งฉัน (ไม่ใช่ Herman แม้ว่าเขาจะเห็นด้วย) มีแรงจูงใจต่อไปนี้:

ก่อนอื่นความตั้งใจในการตีความนี้อยู่ไม่ไกลจาก Andrej Bauer ความตั้งใจของไวยากรณ์มักจะอธิบายวิธีการสร้างบางสิ่งบางอย่างและมีอัลกอริทึมในการสร้างจริงมันมีประโยชน์โดยทั่วไป ยิ่งไปกว่านั้นคุณสมบัติของชุดมักจะต้องการก็ต่อเมื่อเราต้องการคำอธิบายความหมายซึ่งอนุญาตให้ undecidability

ดังนั้นข้อดีของคำอธิบายที่เข้มงวดยิ่งขึ้นของเราคือทำให้แยกง่ายขึ้นเพื่อให้ได้ความแตกต่างที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการใช้งานจริงทั่วไป วิธีนี้ใช้งานได้ดีตราบใดที่คุณไม่ต้องการหรือต้องการคลายการใช้งานตามที่คุณต้องการเช่น NuPRL

ฉันเชื่อว่าหนึ่งในความแตกต่างที่เป็นรูปธรรมมากที่สุดเกี่ยวกับชุดและประเภทคือความแตกต่างในวิธีที่ "สิ่งต่าง ๆ " ในใจของคุณถูกเข้ารหัสเป็นภาษาทางการ

ทั้งชุดและประเภทอนุญาตให้คุณพูดเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ และสิ่งต่าง ๆ ความแตกต่างที่สำคัญคือกับชุดคุณสามารถถามคำถามใด ๆ ที่คุณต้องการเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ และมันอาจจะเป็นจริงไม่อาจ; ในขณะที่มีประเภทคุณต้องพิสูจน์ว่าคำถามนั้นสมเหตุสมผล

$\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$$\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$$\operatorname{true}=1$

$0$$[0]=\{\}$$n+1$$[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$$\operatorname{true}$$\operatorname{false}$$\operatorname{true}=1$$\operatorname{true}$$1$

$a=b$$a$$b$ มีประเภทเดียวกันนั่นคือมีการเข้ารหัสในลักษณะเดียวกันซึ่งห้ามไม่ให้มีคำถามเช่น $\operatorname{true}=1$. คุณยังคงต้องการที่จะมีขนาดใหญ่$S$ ซึ่งทั้งคู่ $\mathbb B$ และ $\mathbb N$ สามารถเข้ารหัสได้จากนั้นให้การเข้ารหัสสองครั้ง $\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$ และ $\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$, you could ask whether $\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$ แต่ความจริงที่ว่าคำถามนี้ขึ้นอยู่กับการเข้ารหัส (และการเลือกการเข้ารหัส) ตอนนี้ชัดเจน

โปรดทราบว่าในกรณีเหล่านี้คำถามที่เข้าใจง่ายหรือไม่ แต่จริง ๆ แล้วอาจยากกว่านี้ตัวอย่างเช่น $(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$.

โดยสรุปชุดช่วยให้คุณถามคำถามใด ๆ ที่คุณต้องการ แต่ประเภทบังคับให้คุณเข้ารหัสอย่างชัดเจนเมื่อคำตอบอาจขึ้นอยู่กับพวกเขา