อะไรคือความแตกต่างทางความหมายระหว่างหมวดหมู่และชุด?

11

ในคำถามนี้ผมถามว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่างชุดและประเภท คำตอบเหล่านี้ได้รับการชี้แจงอย่างชัดเจน (เช่น @AndrejBauer) ดังนั้นในความกระหายความรู้ของฉันฉันส่งไปยังสิ่งล่อใจของการถามเกี่ยวกับประเภทเดียวกัน:

เวลาที่ฉันอ่านเกี่ยวกับทฤษฎีประเภท (ซึ่งเป็นที่ยอมรับค่อนข้างเป็นทางการ) ทุกฉันไม่สามารถจริงๆเข้าใจว่ามันแตกต่างจากการตั้งทฤษฎีเป็นรูปธรรม

ดังนั้นในทางที่เป็นรูปธรรมมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สิ่งที่บอกเป็นนัย เกี่ยวกับ $x$ ว่าอยู่ในหมวดหมู่เมื่อเทียบกับการพูดว่า ? (เช่นอะไรคือความแตกต่างระหว่างการพูดว่าเป็นกลุ่มเมื่อเทียบกับที่บอกว่าอยู่ในหมวดหมู่ ?) $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(คุณสามารถเลือกหมวดหมู่และชุดที่ทำให้การเปรียบเทียบชัดเจนที่สุด)

sets category-theory

— user56834
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าคำถามนี้มีรูปแบบที่ดี ก่อนอื่นคุณต้องถามว่าความแตกต่างระหว่างการพูดว่า 'x อยู่ในหมวดหมู่ C' กับ 'x อยู่ในชุด S' หรือไม่ แต่คุณให้ตัวอย่างของการถาม 'x อยู่ในหมวดหมู่ Grp' vs 'x is a group' อะไร? นั่นไม่ใช่ตัวอย่างคำถามของคุณ ตัวอย่างคำถามของคุณถามว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่าง 'x อยู่ในหมวดหมู่ Grp' และ 'x อยู่ในกลุ่มของกลุ่มทั้งหมด' แต่ถึงอย่างนั้นมันไม่ใช่สิ่งที่คุณถามถ้าคุณถามว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่างหมวดหมู่และชุด

— เส้นทาง Miles Rout

11

โดยสังเขปทฤษฎีเซตเกี่ยวกับการเป็นสมาชิกในขณะที่ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างการอนุรักษ์

ทฤษฎีเซตเป็นเพียงเกี่ยวกับการเป็นสมาชิก (เช่นการเป็นองค์ประกอบ) และสิ่งที่สามารถแสดงในแง่ของการที่ (เช่นการย่อย) ไม่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติหรือองค์ประกอบอื่น ๆ ของตัวเอง

ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นวิธีที่จะพูดคุยเกี่ยวกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของประเภทที่^{1 ที่}สามารถแปลงเป็นอีก²โดยฟังก์ชันที่รักษาลักษณะบางอย่างของโครงสร้างของพวกเขา; จะให้ภาษาเครื่องแบบสำหรับการพูดของช่วงที่ดีของประเภท¹ของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (กลุ่มออโตพื้นที่เวกเตอร์ชุดช่องว่าง topological ... และประเภทแม้!) และแมปภายในประเภทที่1แม้ว่ามันจะทำให้คุณสมบัติของการแมประหว่างโครงสร้างเป็นทางการ (จริง ๆ : ระหว่างชุดที่กำหนดโครงสร้าง) มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัตินามธรรมของแผนที่และโครงสร้างเรียกพวกมันว่าmorphisms (หรือลูกศร ) และวัตถุ; องค์ประกอบของเซตโครงสร้างดังกล่าวไม่ได้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีหมวดหมู่และไม่มีโครงสร้างในเซตเหล่านั้น คุณถาม“ มันคือทฤษฎีของอะไร ”; มันเป็นทฤษฎีของแมปโครงสร้างการรักษาของวัตถุทางคณิตศาสตร์ของประเภทโดยพล 1

ทฤษฏีของหมวดหมู่ที่เป็นนามธรรม³ดังที่ได้กล่าวมาทั้งหมดละเว้นการดำเนินงานความสัมพันธ์และสัจพจน์ที่ระบุโครงสร้างของวัตถุที่เป็นปัญหาและให้ภาษาที่จะพูดถึงวิธีการแมปที่รักษาโครงสร้างดังกล่าว พฤติกรรม: โดยไม่ทราบว่าโครงสร้างใดที่ถูกรักษาไว้เรารู้ว่าการรวมกันของสองแผนที่ดังกล่าวยังคงรักษาโครงสร้างไว้ ด้วยเหตุผลดังกล่าวสัจพจน์ของทฤษฎีหมวดหมู่จึงจำเป็นต้องมีกฎการจัดกลุ่มที่เชื่อมโยงกับมอร์ฟิซึ่มส์และในทำนองเดียวกันว่ามีมอร์ฟิซึ่มเอกลักษณ์จากแต่ละวัตถุไปยังตัวมันเอง แต่ก็ไม่คิดว่า morphisms จริง ๆ แล้วเป็นหน้าที่ระหว่างเซต แต่มันก็ทำตัวเหมือนพวกมัน

ที่จะทำงานออกมา: รูปแบบประเภทคอนกรีตแนวคิดในการเพิ่มโครงสร้างให้กับวัตถุของ 'หมวดหมู่ฐาน'; เมื่อนี่คือเราสามารถมีสถานการณ์ที่เราเพิ่มโครงสร้างเช่นการดำเนินงานกลุ่มเข้ากับชุด ในกรณีนี้อาจมีมากกว่าที่จะพูดเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มโครงสร้างในแง่ของหมวดหมู่พื้นฐานที่เฉพาะเจาะจง $\mathsf{Set}$

สำหรับความหมายของสูตรของคุณบอกว่า "เป็นกลุ่ม", "เป็นองค์ประกอบของกลุ่มชุด" (จริง ๆ แล้วเป็นคลาสที่เหมาะสม ) หรือ "คือ (วัตถุ) ใน ” (หรือ“ -object”) หมายถึงสิ่งเดียวกันอย่างมีเหตุผล แต่การพูดถึงหมวดหมู่แนะนำว่าคุณสนใจกลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึม (morphisms ใน ) และบางทีอาจเป็นสิ่งที่พวกเขามีเหมือนกัน กับ morphisms อื่น ๆ ในทางกลับกันการพูดว่า $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ คือกลุ่มที่อาจแนะนำให้คุณสนใจโครงสร้างของกลุ่ม (การดำเนินการคูณ) ของตัวมันเองหรือบางทีในการที่กลุ่มกระทำกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ คุณจะไม่น่าจะพูดคุยเกี่ยวกับที่อยู่ในชุดของกลุ่ม แต่คุณได้อย่างง่ายดายสามารถเขียนสำหรับบางชุดเฉพาะของกลุ่มที่คุณอยู่ในความสนใจ $G$ $G ∈ S$ $S$

ดูสิ่งนี้ด้วย

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง/math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
หมวดหมู่นามธรรมและคอนกรีต: ความสุขของแมวโดยAdámek, Herrlich และ Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

^{1 ที่} _{นี่และpassimฉันไม่ได้อ้างถึงประเภทในแง่ของทฤษฎีประเภท แต่เป็นชุดของคุณสมบัติที่ต้องการของวัตถุ / โครงสร้างทางคณิตศาสตร์เช่นชุดของสัจพจน์ที่พวกเขาพึงพอใจ โดยปกติแล้วสิ่งเหล่านี้อธิบายพฤติกรรมของการดำเนินการหรือความสัมพันธ์กับองค์ประกอบของเซตที่พิจารณาว่าจะนำโครงสร้างแม้ว่าในกรณีของชุดตัวเอง ( ) ไม่มีโครงสร้างใดเกินกว่าชุด ไม่ว่าในกรณีใด ๆ ดังกล่าวข้างต้นทฤษฎีหมวดหมู่จะละเว้นรายละเอียดของโครงสร้างนี้ $\mathsf{Set}$}

² _{ผมอาจจะพูดในทุกหรือบางส่วนของอีกคนหนึ่ง : หนึ่งช่วยให้ homomorphism จาก (จำนวนเต็ม) เข้าไปใน (rationals) กำหนดโดย2 $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{โดยไม่ต้องผ่านการรับรอง ' หมวดหมู่ ' โดยปกติหมายถึง 'หมวดหมู่นามธรรม' ที่นำเสนอเท่าที่ฉันเห็นในปี 1945และพัฒนาในปี 1960 ในขณะที่หมวดหมู่คอนกรีตดูเหมือนจะปรากฏในปี 1970}

— PJTraill
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่ามันเป็นโวหาร แต่มีกลุ่มที่เหมาะสมอย่างแน่นอน ตัวอย่างเช่นทุกชุดก่อให้เกิดกลุ่มเล็ก ๆ น้อย ๆ ในชุดเดี่ยวที่มีชุดนั้น คุณยังสามารถสร้างคลาสที่เหมาะสมของตัวอย่างที่ไม่ใช่ isomorphic

— Derek Elkins ออกจาก SE

ขอบคุณ. เมื่อคุณพูดว่า: "มันเป็นทฤษฎีของการแมปโครงสร้างการรักษาของวัตถุทางคณิตศาสตร์ของประเภทใด ๆ" คุณหมายถึง "ประเภท" ในแง่ของทฤษฎีประเภทหรือมากกว่านั้นอย่างไม่เป็นทางการ?

— user56834

@ Programmer2134: ขออภัยถ้าประเภทสับสน (ฉันสงสัย); ผมไม่ได้หมายถึงการอ้างถึงทฤษฎีพิมพ์ (ซึ่งฉันรู้เล็ก ๆ น้อย ๆ ) แต่มีความหมายค่อนข้างคณิตศาสตร์วัตถุ / โครงสร้างที่มีบางชุดของคุณสมบัติ (คือความพึงพอใจของหลักการบางอย่าง) โดยวัตถุทางคณิตศาสตร์ / โครงสร้างประเภทที่กำหนด

— PJTraill

ที่ชี้แจง ทฤษฎีหมวดหมู่ก็เช่นกันโดยเฉพาะสมมติว่ามีสัจพจน์ดังกล่าวและวัตถุเหล่านี้ทั้งหมดสนองความจริงเหล่านั้นหรือว่าเป็นเพียงแค่เกณฑ์เมตาที่เราใช้ในการกำหนดหมวดหมู่ (เช่นเมตากับกรอบทฤษฎีหมวดหมู่)?

— user56834

@ Programmer2134: ไม่ทฤษฎีหมวดหมู่ละเว้นความจริงทั้งหมดและเพียงแค่ให้ภาษาที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการแมปที่รักษาโครงสร้างดังกล่าวโดยไม่ทราบว่าโครงสร้างใดที่ถูกเก็บรักษาไว้เรารู้ว่าการรวมกันของแผนที่สองแห่งนั้นยังคงโครงสร้างไว้ ด้วยเหตุผลดังกล่าวสัจพจน์ของทฤษฎีหมวดหมู่จึงจำเป็นต้องมีกฎการจัดกลุ่มที่เชื่อมโยงกับมอร์ฟิซึ่มส์และในทำนองเดียวกันว่ามีมอร์ฟิซึ่มเอกลักษณ์จากแต่ละวัตถุไปยังตัวมันเอง แต่ก็ไม่คิดว่า morphisms จริง ๆ แล้วเป็นหน้าที่ระหว่างเซต แต่มันก็ทำตัวเหมือนพวกมัน

— PJTraill

5

ทฤษฎีหมวดหมู่มีความหมายทั่วไปของทฤษฎีเซต: หมวดหมู่อาจเป็นหมวดหมู่ของเซตหรืออาจเป็นอย่างอื่น ดังนั้นคุณจะได้เรียนรู้น้อยลงหากคุณเรียนรู้ว่าเป็นวัตถุในบางหมวดหมู่ที่ไม่ระบุว่าคุณเรียนรู้ว่าเป็นชุด (เนื่องจากในกรณีหลังตามมาว่าเป็นวัตถุในหมวดหมู่ของชุดโดยเฉพาะ) หากคุณเรียนรู้ว่าเป็นวัตถุในหมวดหมู่ที่ระบุเฉพาะ (นอกเหนือจากหมวดหมู่ของชุด) สิ่งที่คุณเรียนรู้จะแตกต่างจากการเรียนรู้ว่าเป็นชุด (เช่นวัตถุในหมวดหมู่ของชุด) ไม่มีนัยอื่น ๆ $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

ไม่มีความแตกต่างระหว่างการพูดว่าคือกลุ่มและบอกว่าเป็นวัตถุในหมวดหมู่ Grp ข้อความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน $x$ $x$

หมายเหตุ: เราไม่ได้บอกว่าอยู่ในหมวดหมู่ Grp; เราบอกว่าเป็นวัตถุในหมวดหมู่ Grp หมวดหมู่มีทั้งวัตถุและลูกศร คุณต้องระบุสิ่งที่คุณกำลังพูดถึง $x$ $x$

— DW
แหล่งที่มา

ดังนั้นให้ฉันเปรียบเทียบหมวดหมู่กับชุดและประเภทตามที่ @AndrejBrauer ทำในคำตอบของเขากับคำถามอื่นของฉัน ชุดทำให้ความคิดของชุดของวัตถุเป็นทางการ ประเภททำให้ความคิดของการก่อสร้างวัตถุเป็นทางการ ความคิดแบบ "หมวดหมู่" ทำอะไรเป็นระเบียบ? อะไรคณิตศาสตร์ / กระบวนการโครงสร้างทฤษฎีประเภทคือทฤษฎีของ ?

— user56834

"ดังนั้นคุณจะได้เรียนรู้น้อยลงถ้าคุณเรียนรู้ว่าเป็นวัตถุในบางหมวดหมู่ที่ไม่ระบุว่าคุณเรียนรู้ว่าเป็นชุด " หากคุณแทนที่ "เป็นชุด" ด้วย "เป็นสมาชิกของชุดที่ไม่ได้ระบุ" คำสั่งนั้นจะเปลี่ยนอย่างไร เรากำหนดข้อ จำกัดใด ๆบนโดยบอกว่ามันเป็นวัตถุของหมวดหมู่ที่ไม่ระบุหรือไม่? แน่นอนเราสามารถจัดหมวดหมู่ซึ่งนั้นเป็นวัตถุเดียวได้หรือไม่?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134 นั่นเป็นจุดที่ดี มีเหตุผล. ฉันยอมรับจุดของคุณ

— DW

4

จุดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำอธิบายของ DW

มีความแตกต่างระหว่างที่บอกว่าไม่มีคือกลุ่ม VS บอกว่าเป็นวัตถุในหมวดหมู่{กลุ่ม} ข้อความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

ฉันต้องการที่จะทำให้คำสั่งที่แข็งแกร่ง:

แนวคิดถูกกำหนดโดยหมวดหมู่

ลองคิดดูจากมุมมองของนักประดิษฐ์ที่ต้องการอธิบายแนวคิดของเขา สมมติว่าแนวคิดใหม่ของคุณเรียกว่าMครั้งแรกที่คุณอาจจะต้องระบุวิธีการหลายรูปแบบของกรณีของสิ่งที่มีสามารถมีได้ ลองเรียกชุดรวมของกรณีว่า $M$ $M$ $M_0$

ตอนนี้เมื่อคุณพูดว่ามีหลายสิ่งที่เป็นคุณต้องอธิบายแต่ละข้อเปรียบเทียบ / เกี่ยวข้องกัน คุณจะอธิบายทำไมคุณคิดว่าพวกเขาเป็นกรณีที่แตกต่างกันของMอาจมีหลายวิธีในการเปรียบเทียบกับซึ่งกันและกัน หรือในบางกรณีอาจไม่มีวิธีการเปรียบเทียบเลย แสดงว่า Let 's คอลเลกชันของวิธีการเปรียบเทียบเพื่อเป็นB) $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

คุณอาจสังเกตเห็นอยู่แล้วว่าเป็นชุดของวัตถุและเป็นลักษณะของหมวดหมู่ กฎของทฤษฎีหมวดหมู่นั้นวางพฤติกรรมที่คาดหวังของ 'การเปรียบเทียบ' $M_0$ $M(A,B)$

เมื่อคุณมีแล้วหมวดหมู่จะให้คุณสมบัติเริ่มต้นจำนวนมากของแนวคิด ตัวอย่างมีตั้งแต่

"อินสแตนซ์ใดที่เหมือนกัน --- isomorphism",
"อินสแตนซ์สองตัวใดที่มีมากขึ้นและคู่ที่มีค่าน้อยกว่า --- การถอนแบบคู่ส่วน"
"องค์ประกอบพื้นฐานมีอยู่กี่อินสแตนซ์นี้ --- homset จากเทอร์มินัลวัตถุ"

และอื่น ๆ

สำหรับคำถามที่คุณถามในความคิดเห็น

กระบวนการทางโครงสร้างอะไรคือทฤษฎีหมวดหมู่ที่เป็นทฤษฎี

ตอนนี้คุณรู้การเจาะ ต้องการทราบว่าแนวคิดคืออะไรจริง ๆ ? ดูหมวดหมู่ของมัน ในกรณีนี้หมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กและฟังก์ชั่นระหว่างพวกเขา $\mathsf{Cat}$

— อภิวัฒน์จันทวิบูลย์
แหล่งที่มา

อืมมม ฉันไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าถ้าเรารู้หมวดของโครงสร้างเรารู้ทุกอย่างเกี่ยวกับโครงสร้างนั้น เราไม่รู้ว่าความจริงของโครงสร้างใดที่ทำให้เราพึงพอใจ

— user56834

@ Programmer2134 ทบทวนทฤษฎีเซตโดย Tom Leinster (ซึ่งเป็นบทสรุปของการทำงานโดย Lawvere) เป็นตัวอย่างที่ดี งานกำหนดทฤษฎีเซตโดยการกำหนดคุณสมบัติของ (มอร์ฟิซึ่มส์) หมวดหมู่ของเซต (โดยไม่ต้องเข้าถึง 'ข้างใน' วัตถุใด ๆ ในการเข้าถึงสมมติฐานที่มีอยู่ก่อนหน้านี้เราอาจมีชุด)

— อภิวัฒน์จันทวิบูลย์

ดังนั้นคุณกำลังบอกว่าไม่มีข้อมูลใดหายไปเกี่ยวกับทฤษฎีเซตเพียงแค่พิจารณาหมวดหมู่ของเซตขณะที่ลืมความจริง

— user56834

@ Programmer2134 ใช่จริงๆแล้วมันเป็นเหมือนสัจพจน์ที่นิยามทฤษฎีเซตของ ZFC ได้ถูกแปลเป็นคุณสมบัติล้วนๆของ morphisms ดังนั้นหมวดหมู่ที่เราอ้างว่ามีคุณสมบัติบางอย่างเกี่ยวกับ morphisms กำหนดทฤษฎีเซต

— อภิวัฒน์จันทวิบูลย์

คุณรู้จักข้อความที่อธิบายประเด็นนี้เกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่อย่างชัดเจนโดยเฉพาะหรือไม่?

— user56834

1

ชุด

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

ปรัชญา. เซตมีโครงสร้างภายใน - ถูกกำหนดโดยองค์ประกอบทั้งหมด

สังเกต. ระบบสัจพจน์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายโดยนักทฤษฎีเซตคือ ZFC จุดแข็งของมันคือความเรียบง่าย: มีเพียงชุดและความสัมพันธ์แบบสมาชิกเท่านั้น ในทางตรงกันข้ามนักคณิตศาสตร์หลายคนรู้สึกว่าสิ่งนี้นำไปสู่แนวคิดเซตที่เบี่ยงเบนจากความเข้าใจและการใช้เซต (เปรียบเทียบด้านล่างสเตอร์ ) ในความเป็นจริงนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ (ยกเว้นนักทฤษฎีเซต) ดูเหมือนจะไม่ใช้สัจพจน์ของ ZFC อย่างไรก็ตามเซตไม่จำเป็นต้องอ้างถึง ZFC (ดูหมวดหมู่ด้านล่างและ ETCS)

หมวดหมู่

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

ปรัชญา. วัตถุของหมวดหมู่มีลำดับความสำคัญไม่มีโครงสร้างภายใน พวกเขามีลักษณะโดยความสัมพันธ์ของพวกเขา (morphisms) กับวัตถุอื่น ๆ

สังเกต. แนวคิดพื้นฐานของหมวดหมู่คือฟังก์ชั่นและสิ่งนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการใช้ชุดโดยนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ดังนั้นคุณอาจเห็นหมวดหมู่เป็นแนวคิดทั่วไปของวิธีที่นักคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญ่) จากสาขาที่แตกต่างกันมากใช้ชุดในการทำงานประจำวันของพวกเขา นอกเหนือจากหมวดหมู่ (และ toposes) เป็นลักษณะทั่วไปคุณอาจดูที่ระบบสัจพจน์ ETCS ซึ่งเป็นชุด axiomatizing (เปรียบเทียบด้านล่างLeinsterและLawvere )

คำถาม. อะไรคือความแตกต่างระหว่างการพูดว่า x เป็นกลุ่มเมื่อเทียบกับที่บอกว่า x อยู่ในหมวดหมู่ Grp?

$x$ $x$

นักวิจารณ์

ในกรณีของ ZFC และ ETCS วิธีการเหล่านี้สามารถแปลเป็นภาษาอื่นได้แม้ว่า ETCS จะอ่อนแอกว่า ZFC แต่ (ดูเหมือนจะเป็น) ครอบคลุมคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ (ดู MathStackExchange และ Leinster) ในหลักการ (การใช้ส่วนขยายของ ETCS) คุณสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันทั้งสองวิธี ดังนั้นปรัชญาดังกล่าวข้างต้นของแนวคิดทั้งสองจึงไม่ได้อ้างถึงความแตกต่างพื้นฐานในสิ่งที่คุณสามารถแสดงหรือผลลัพธ์ที่คุณสามารถพิสูจน์ได้

ชุดการแสดงออกและการเป็นสมาชิกใน ZFC เป็นแนวคิดนามธรรมเช่นเดียวกับแนวคิดของหมวดหมู่หรือระบบสัจพจน์อื่น ๆ และสามารถมีความหมายอะไรก็ได้ ดังนั้นจากมุมมองที่เป็นทางการนี้เพื่ออ้างว่า ZFC เกี่ยวข้องกับโครงสร้างภายในของเซตในขณะที่หมวดหมู่จัดการกับความสัมพันธ์ภายนอกของวัตถุต่อกันและกันดูเหมือนจะไม่เหมาะสม ในทางกลับกันสิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นปรัชญาหรือสัญชาตญาณของทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติคุณจะชอบวิธีการบางอย่างเช่นเพื่อความชัดเจนหรือความเรียบง่ายหรือเพราะแนวคิดหรือการเชื่อมต่อไปยังพื้นที่อื่นวิวัฒนาการตามธรรมชาติมากกว่าที่อื่น

อ้างอิง

Spivak ทฤษฎีหมวดหมู่สำหรับนักวิทยาศาสตร์

Leinster การทบทวนทฤษฎีเซต

Lawvere ทฤษฎีพื้นฐานของหมวดหมู่ของเซต

MathStackExchange.Category ทฤษฎีโดยไม่มีชุด

— fwe
แหล่งที่มา