ภาษาที่สมบูรณ์แบบหนาแน่น NP หมายถึง P = NP

เราบอกว่าภาษาเป็นหนาแน่นถ้ามีพหุนามดังกล่าวว่าสำหรับทุกในคำอื่น ๆ สำหรับความยาวใดก็ตามมีอยู่เฉพาะคำ polynomially หลายความยาวที่ไม่อยู่ใน $J \subseteq \Sigma^{*}$ $p$

| J^{c} \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J^c \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

n \in N .

$n \in \mathbb{N}.$

n

$n$

n

$n$

J .

$J.$

ปัญหาที่ฉันกำลังศึกษาขอให้แสดงต่อไปนี้

หากมีภาษาที่สมบูรณ์แบบหนาแน่นอยู่แล้ว $NP$ $P = NP$

สิ่งที่ข้อความที่แนะนำคือการพิจารณาลดพหุนามถึง -แล้วสร้างอัลกอริทึมที่พยายามทำให้สูตรกำหนดเป็นไปตามที่ต้องการพร้อมกับสร้างองค์ประกอบใน $3$ $SAT$ $CNF$ $J^c.$

สิ่งที่ฉันสงสัยคือ

มีหลักฐานเพิ่มเติมโดยตรงหรือไม่ ความคิดนี้เป็นที่รู้จักกันในการตั้งค่าทั่วไปมากขึ้น?

— Jernej
แหล่งที่มา

มีความคิดที่เกี่ยวข้องกับภาษากระจัดกระจายซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ตรงกันข้าม:(n)

| J \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

— Yuval Filmus

ตรวจสอบทฤษฎีบท Mahaney ของ

— Pål GD

@ PålGDเปลี่ยนเป็นคำตอบใช่ไหม (สมมติว่าข้อโต้แย้งมีภาษาที่หนาแน่น)

— Yuval Filmus

คำตอบ:

นี่เป็นปัญหาการบ้านที่ดีเกี่ยวกับทฤษฎีบทของมานี่ย์

โปรดทราบว่าการรวมกันของภาษา "หนาแน่น" เป็นภาษาที่กระจัดกระจาย ยิ่งไปกว่านั้นถ้าภาษาคือ สมบูรณ์มันคือสมบูรณ์ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

หากมีการ "หนาแน่น" ภาษาที่สมบูรณ์มีความเบาบางภาษาที่สมบูรณ์ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

ทฤษฎีบท Mahaney บอกเราว่าไม่มีเบาบางภาษาที่สมบูรณ์เว้นแต่ P $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

เราสามารถใช้หลักฐานเพื่อแสดงว่าไม่มีภาษาหร็อมแหร็ม - ภาษาสมบูรณ์ยกเว้นซึ่งเทียบเท่ากับ (เนื่องจากถูกปิดภายใต้การเติมเต็ม) $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

ในการสรุปคำตอบคือไม่เว้นแต่ Pโปรดทราบว่าถ้าดังนั้นทุก ๆ ภาษาที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระก็คือสมบูรณ์ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

ป.ล. : คุณอาจต้องการลองต่อไปนี้แล้วใช้ทฤษฎีบทของ Mahaney: มี sparse - ชุดที่สมบูรณ์ถ้า if มีชุด - ชุดที่ไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าข้อพิสูจน์สำหรับข้อความนี้จะง่ายกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทของมาห์เนย์ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

$NP-Hard$ $P=NP$

ร่างดังกล่าวมีหลักฐานที่สมบูรณ์

— เรซา
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ไม่ได้ให้มากกว่าความคิดเห็น (ซึ่งไม่ใช่แม้แต่ของคุณ) โปรดทำอย่างละเอียดเพื่อให้คำตอบที่ถูกต้องจากโพสต์นี้

— กราฟิลส์

@ ราฟาเอล: มันเป็นคำตอบที่เหมาะสม คุณตรวจสอบลิงก์หรือไม่

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: คำตอบที่ประกอบด้วยเฉพาะลิงก์จะถือว่าไม่ดีใน SE; ดูที่นี่

— Raphael

@ ราฟาเอล: คำถามที่ตอบถูกแก้ไขมาก่อนในวรรณคดี ลิงค์นี้มีหลักฐานทั้งหมด (ซึ่งมี 6 หน้า) ฉันคิดว่าถ้าเขามีคำถามเพิ่มเติมที่เราสามารถทำการสนทนาต่อ

— Reza

@ ราฟาเอล: Silly ลิงค์ดีกว่าไม่มีอะไร หากคุณต้องการให้อธิบายคำตอบด้วยตัวเองแทนการตำหนิผู้ใช้สำหรับโพสต์ลิงค์ที่มีประโยชน์

— Tsuyoshi Ito