ปัญหาที่น่าสนใจในการเรียงลำดับ

รับหลอดที่มีลูกหมายเลข (สุ่ม) หลอดมีรูสำหรับถอดลูกบอล พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการดำเนินการหนึ่ง:

1. คุณสามารถเลือกหนึ่งลูกหรือมากกว่าจากหลุมและจดจำลำดับที่คุณเลือกลูกบอล
2. คุณจำเป็นต้องเอียงท่อไปทางด้านซ้ายเพื่อให้ลูกบอลที่เหลืออยู่ในท่อเลื่อนไปทางซ้ายและใช้พื้นที่ว่างที่สร้างขึ้นโดยการเอาลูกบอลออก
3. คุณไม่ควรเปลี่ยนลำดับที่คุณเลือกลูกบอลหมายเลขจากท่อ ตอนนี้คุณนำมันกลับมาอีกครั้งในท่อโดยใช้พื้นที่ว่างที่สร้างโดยการเคลื่อนที่ของลูกบอล

ขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 ถือเป็นการดำเนินการครั้งเดียว

ค้นหาการดำเนินงานขั้นต่ำที่จำเป็นในการเรียงลำดับลูกบอลหมายเลขตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ตัวอย่างเช่น: ถ้าหลอดมี: $[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

จากนั้นเราสามารถนำ$4$และ$5$และ$6$และถ้าเราเอียงท่อไปทางซ้ายเราจะได้$[1\ 2\ 3]$และเราแทรก$(4\ 5\ 6)$ในลำดับนั้นจนสุดท่อเพื่อรับ$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$ ]

จำนวนขั้นต่ำที่ต้องการคือ 1 ฉันต้องการค้นหาการดำเนินการขั้นต่ำเพื่อจัดเรียงไพพ์

ความคิดหรือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหานี้?

กำหนดหมายเลขการแบ่งพาร์ติชันของการเปลี่ยนแปลงπ , เขียนแทนr ( π )โดยใช้กระบวนการต่อไปนี้ ให้kเป็นจำนวนเต็มสูงสุดเช่นว่าตัวเลขนาที( π ) , ... , kปรากฏในลำดับที่เพิ่มขึ้นในπ ลบออกจากπและทำซ้ำกระบวนการ จำนวนรอบที่ใช้ในการกินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเป็นR ( π )$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

ตัวอย่างเช่นสมมติของการคำนวณR ( 62735814 ) เราชุดแรกกัน1เพื่อให้ได้6,273,584 แล้วเราตั้งสำรอง234จะได้รับ6758 แล้วเราตั้งสำรอง5จะได้รับ678 ในที่สุดเราก็จัดสรร678เพื่อให้ได้การเปลี่ยนแปลงที่ว่างเปล่า นี้จะใช้เวลาสี่รอบดังนั้นR ( 62,735,814 ) = 4$r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

การเป็นตัวแทนนี้มีประโยชน์สำหรับการเรียงลำดับ62735814อย่างไร ใช้ทุกวินาทีที่วิ่งเช่น234 , 678และย้ายตัวเลขเหล่านี้ไปทางขวาเพื่อรับ51627384 (แก้ไข: ตามลำดับที่ปรากฏในการเรียงสับเปลี่ยนเช่น627384 ) ขณะนี้มีการวิ่งเพียงสองครั้งคือ1234 , 5678และเราสามารถเรียงลำดับรายการโดยเลื่อน5678ไปทางขวา$62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

ตอนนี้ผมขอให้คาดเดาต่อไปนี้: สำหรับการเปลี่ยนแปลงπให้Πเป็นชุดของพีชคณิตทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้จากπภายในหนึ่งย้าย จากนั้นนาทีα ∈ เธ R ( α ) = ⌈ R ( π ) / 2 ⌉$\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

ได้รับการคาดเดานี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าจำนวนน้อยที่สุดของการเคลื่อนไหวที่จำเป็นในการเรียงลำดับการเปลี่ยนแปลงπมี⌈ เข้าสู่ระบบ2 R ( π ) ⌉และฉันได้รับการตรวจสอบสูตรนี้สำหรับพีชคณิตทั้งหมดในS nสำหรับn ≤ 8$\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

แก้ไข: นี่คือตีความแตกต่างกันของจำนวนวิ่งพาร์ทิชันซึ่งจะช่วยให้ขั้นตอนวิธีเส้นเวลาสำหรับการคำนวณมันและช่วยให้ผมวาดหลักฐานของการคาดเดาของฉันจึงตรวจสอบสูตร⌈ เข้าสู่ระบบ2 R ( π ) ⌉$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

พิจารณาการเปลี่ยนแปลง62735814อีกครั้ง ด้วยเหตุผลที่ว่าคนแรกที่วิ่งปลายใน1คือการที่2ปรากฏขึ้นก่อนที่1 ทำนองเดียวกันการรันครั้งที่สองจะสิ้นสุดลงใน4เนื่องจาก5ปรากฏขึ้นก่อน4และต่อไปเรื่อย ๆ ดังนั้นจำนวนวิ่งพาร์ทิชันของการเปลี่ยนแปลงคือจำนวนของฉัน s เช่นที่ฉัน+ 1ปรากฏขึ้นก่อนที่ฉัน$62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

เราสามารถบอกสิ่งนี้ได้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นถ้าเราดูการผกผันของการเปลี่ยนแปลง พิจารณาอีกครั้งπ = 62735814 ใช้π - 1 = 72485136 การเรียงสับเปลี่ยนนี้มีสามการสืบทอด: 7 2 48 5 1 36 (การสืบเชื้อสายเป็นตำแหน่งที่เล็กกว่าอันก่อน) การแทรกแต่ละรายการสอดคล้องกับการเริ่มต้นการรันใหม่ ดังนั้นR ( π )มีค่าเท่ากับหนึ่งบวกจำนวนแทรกในπ - 1$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

อะไรลักษณะการดำเนินงานเช่นในแง่ของπ - 1 ? ให้Bเป็นชุดของตัวเลขที่เราเลื่อนไปทางขวาและAเป็นชุดของตัวเลขที่อยู่ทางซ้าย เราแทนที่ตัวเลขในAด้วยการเปลี่ยนแปลงบน{ 1 , … , | A | }แทนลำดับญาติและแทนที่ตัวเลขในBด้วยการเปลี่ยนแปลงบน{ | A | + 1 , … , | A | + | B | $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$. ตัวอย่างเช่นพิจารณาย้าย6273 5 8 1 4 ↦ 51 627384 ในแง่ของการเพิ่มเงินผกผันก็7 248 5 136 ↦ 2 468 1 357 ดังนั้น75ถูกแมปไป21และ248,136ถูกแมปไป468357$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$$248136$$468357$

เชื้อสาย... x Y ...ในπ - 1จะหายไปหลังจากการดำเนินการเฉพาะในกรณีที่x ∈และY ∈ B ในทางกลับกันในแง่ของπ - 1พาร์ติชันในAและBสอดคล้องกับA -run และB -run ทุกครั้งที่B -run สิ้นสุดลงและA- Run เริ่มต้นขึ้นจะมีการตกลงมา เพื่อที่จะ "ฆ่า" โคตรเราต้องเปลี่ยนจากA -run ไปเป็น$\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$-วิ่ง. หากเราฆ่าผู้สืบทอดสองคนเราจะสลับตรงกลางจากB -run ไปเป็นA -run ซึ่งจะมีสายเลือดเกิดขึ้น$B$$A$

เรื่องนี้สามารถเป็นทางการแสดงให้เห็นว่าถ้าαเกิดจากπผ่านการดำเนินการแล้วd ( α - 1 ) ≥ ⌊ d ( π - 1 ) / 2 ⌋ที่d ( ⋅ )คือจำนวนแทรก นี้จะเทียบเท่ากับR ( α ) ≥ ⌈ R ( π ) / 2 $\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$ดังนั้นการพิสูจน์ทิศทางเดียวของการคาดเดาของฉัน ทิศทางอื่น ๆ ได้ง่ายขึ้นและได้รับการระบุไว้แล้วข้างต้น: เราก็ใช้ทุกระยะที่สองและผลักดันการทำงานเหล่านี้เพื่อสิทธิในการรับการเปลี่ยนแปลงαความพึงพอใจR ( α ) = ⌈ R ( π / 2 ) ⌉$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$