ชัดเจนและเป็นธรรมชาติของ combinator จุดคงที่ (Y combinator)

28

แก้ไข combinator จุดคงที่ (aka combinator Y) ในแคลคูลัสแลมบ์ดา (untyped) ( ) ถูกกำหนดเป็น: $\lambda$

FIX $\triangleq \lambda f.(\lambda x. f~(\lambda y. x~x~y))~(\lambda x. f~(\lambda y. x~x~y))$

ฉันเข้าใจวัตถุประสงค์และสามารถติดตามการใช้งานแอปพลิเคชันได้อย่างสมบูรณ์แบบ ฉันต้องการที่จะเข้าใจวิธีการแก้ไขเป็นผลมาจากหลักการแรก

นี่คือเท่าที่ฉันได้รับเมื่อฉันพยายามที่จะได้รับมันด้วยตนเอง:

FIX เป็นฟังก์ชั่น: FIX $\triangleq \lambda_\ldots$
การแก้ไขใช้ฟังก์ชันอื่น $f$ เพื่อทำให้เกิดการเรียกซ้ำ: FIX $\triangleq \lambda f._\ldots$
อาร์กิวเมนต์แรกของฟังก์ชั่น $f$ คือ "ชื่อ" ของฟังก์ชั่นซึ่งใช้ในกรณีที่แอปพลิเคชันแบบเรียกซ้ำมีวัตถุประสงค์ ดังนั้นสิ่งที่ปรากฏทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์แรกเป็น $f$ ควรถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันและฟังก์ชันนี้ควรคาดหวังว่าอาร์กิวเมนต์ที่เหลือของ $f$ (สมมติว่า $f$ ใช้อาร์กิวเมนต์หนึ่งข้อ): FIX $\triangleq \lambda f._\ldots f~(\lambda y. _\ldots y)$

นี่คือที่ฉันไม่ทราบวิธี "ใช้ขั้นตอน" ในการให้เหตุผลของฉัน เครื่องหมายจุดเล็ก ๆ ระบุว่าการแก้ไขของฉันหายไปบางสิ่ง (แม้ว่าฉันจะสามารถรู้ได้โดยการเปรียบเทียบกับการแก้ไข "ของจริง")

ฉันได้อ่านประเภทและภาษาการเขียนโปรแกรมแล้วซึ่งไม่ได้พยายามหามาโดยตรงและอ้างถึงผู้อ่านถึงThe Little Schemerแทน ฉันได้อ่านแล้วเช่นกันและ "การสืบทอด" ของมันก็ไม่เป็นประโยชน์ นอกจากนี้ยังเป็นน้อยของมาโดยตรงและมากขึ้นของการใช้งานของตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากและความพยายามเฉพาะกิจการเขียน recursive ฟังก์ชันที่เหมาะสมใน\ $\lambda$

— BlueBomber
แหล่งที่มา

1

โพสต์นี้อาจมีประโยชน์ โดยทั่วไปแล้วฉันคิดว่าการดำเนินการและการคำนวณซ้ำหลายครั้งของ combinator นั้นมีประโยชน์ในการหาสาเหตุที่มันใช้งานได้

— Xodarap

2

มี combinators จุดคงที่ที่แตกต่างกันหลายประการ บางทีผู้คนอาจจะเล่นกับ combinators จนกว่าพวกเขาจะสะดุดกับพวกเขา

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus นั่นคือสิ่งที่การวิจัยของฉันและการตอบสนองต่อคำถามนี้เริ่มที่จะทำให้ฉันคิดว่า แต่ฉันก็ยังคิดว่ามันจะเป็นคำแนะนำที่ "เห็น" ว่า combinator (s) จะเกิดขึ้นในเชิงตรรกะทักษะที่จะเป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเช่นพยายามสร้าง combinator ใหม่

— BlueBomber

อ่านบทที่ 9 ใน "The Little Lisper" โดย Daniel P. Friedman (หรือ "The Little Schemer")

— user18199

2

ดูเหมือนว่า OP จะระบุว่าพวกเขาได้อ่านแล้ว

— ราฟาเอล

29

ฉันไม่ได้อ่านสิ่งนี้ทุกที่ แต่นี่เป็นวิธีที่ฉันเชื่อว่าจะได้รับ: $Y$

ลองมีฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ , อาจเป็นแฟกทอเรียลหรืออย่างอื่นก็ได้ อย่างไม่เป็นทางการเราให้คำจำกัดความเป็นคำว่าหลอกหลอกโดยที่เกิดขึ้นในคำนิยามของมันเอง: $f$ $f$ $f$

f = \dots f \dots f \dots

$f = \ldots f \ldots f \ldots$

ก่อนอื่นเราทราบว่าการเรียกซ้ำสามารถแยกออกเป็นพารามิเตอร์:

f = \underset{M}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots r \dots r \dots))}} f

$f = \underbrace{(\lambda r . (\ldots r \ldots r \ldots))}_{M} f$

ทีนี้เราสามารถนิยามถ้าเรามีวิธีที่จะผ่านมันไปเป็นอาร์กิวเมนต์ของตัวมันเอง แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้เพราะเราไม่มีมือสิ่งที่เรามีอยู่ในมือเป็นMเนื่องจากมีทุกสิ่งที่เราจำเป็นต้องกำหนดเราสามารถลองส่งเป็นอาร์กิวเมนต์แทนและลองสร้างใหม่จากภายในภายหลัง ความพยายามครั้งแรกของเรามีลักษณะเช่นนี้: $f$ $f$ $M$ $M$ $f$ $M$ $f$ $f$

f = \underset{M}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots r \dots r \dots))}} \underset{M}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots r \dots r \dots))}}

$f = \underbrace{(\lambda r . (\ldots r \ldots r \ldots))}_{M} \underbrace{(\lambda r . (\ldots r \ldots r \ldots))}_{M}$

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ถูกต้องสมบูรณ์ ก่อนได้แทนสำหรับภายในMแต่ตอนนี้เราผ่านแทน เราต้องแก้ไขสถานที่ทั้งหมดที่เราใช้เพื่อให้พวกมันสร้างจากขึ้นมาใหม่ จริงนี้ไม่ยากเลย: ตอนนี้เรารู้ว่า , ทุกที่ที่เราใช้เราก็เปลี่ยนไป ) $f$ $r$ $M$ $M$ $r$ $f$ $M$ $f = M M$ $r$ $(r r)$

f = \underset{M^{'}}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots (r r) \dots (r r) \dots))}} \underset{M^{'}}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots (r r) \dots (r r) \dots))}}

$f = \underbrace{(\lambda r . (\ldots (rr) \ldots (rr) \ldots))}_{M'} \underbrace{(\lambda r . (\ldots (rr) \ldots (rr) \ldots))}_{M'}$

วิธีนี้ดี แต่เราต้องเปลี่ยนข้างใน สิ่งนี้ไม่สะดวก เราสามารถทำเช่นนี้มากขึ้นอย่างหรูหราโดยไม่ต้องแก้ไขโดยการแนะนำอีกที่ส่งไปยังอาร์กิวเมนต์นำไปใช้กับตัวเอง: โดยการแสดงเป็นเราได้รับ $M$ $M$ $\lambda$ $M$ $M'$ $\lambda x.M(xx)$

f = (λ x . \underset{M}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots r \dots r \dots))}} (x x)) (λ x . \underset{M}{\underset{⏟}{(λ r . (\dots r \dots r \dots))}} (x x))

$f = (\lambda x.\underbrace{(\lambda r . (\ldots r \ldots r \ldots))}_{M}(xx)) (\lambda x.\underbrace{(\lambda r . (\ldots r \ldots r \ldots))}_{M}(xx))$

วิธีนี้เมื่อแทนสำหรับ , แทนสำหรับซึ่งเป็นโดยความหมายเท่ากับฉสิ่งนี้ให้คำจำกัดความแบบไม่เรียกซ้ำของซึ่งแสดงเป็นคำแลมบ์ดาที่ถูกต้อง! $M$ $x$ $MM$ $r$ $f$ $f$

การเปลี่ยนเป็นเป็นเรื่องง่าย เราสามารถใช้คำแลมบ์ดาโดยพลการแทนและทำตามขั้นตอนนี้ได้ ดังนั้นเราสามารถแยกออกและกำหนด $Y$ $M$ $M$

Y = λ m . (λ x . m (x x)) (λ x . m (x x))

$Y = \lambda m . (\lambda x. m(xx)) (\lambda x.m(xx))$

แท้จริงแล้วลดลงถึงตามที่เรานิยามไว้ $Y M$ $f$

หมายเหตุ:ฉันได้รับตามที่กำหนดไว้ในวรรณคดี Combinator ที่คุณอธิบายเป็นตัวแปรของสำหรับการโทรโดยค่าภาษาบางครั้งเรียกว่าZดูบทความวิกิพีเดียนี้ $Y$ $Y$ $Z$

— Petr Pudlák
แหล่งที่มา

1

สัญชาตญาณที่ขาดหายไป แต่ดูเหมือนชัดเจนว่าการตอบสนองที่ยอดเยี่ยมของคุณให้ฉันคือฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำต้องการตัวเองเป็นอาร์กิวเมนต์ดังนั้นเราเริ่มด้วยสมมติฐานว่าฟังก์ชันจะมีรูปแบบ

สำหรับ

บางตัว จากนั้นในขณะที่เราสร้าง

เราทำให้การใช้งานของการยืนยันว่า

ถูกกำหนดให้เป็นแอพลิเคชันของบางสิ่งบางอย่างกับตัวเองภายในใน

เช่นใช้

เพื่อ

ในคำตอบของคุณซึ่งเป็นโดยความหมายเท่ากับฉ

ที่น่าสนใจ!

f = X (X)

$f = X (X)$

X

$X$

X

$X$

f

$f$

X

$X$

x

$x$

x

$x$

f

$f$

— BlueBomber

11

ในฐานะที่เป็น Yuval ได้ชี้ให้เห็นว่ามีไม่เพียงหนึ่งผู้ประกอบการจุดคงที่ มีหลายคน กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการสำหรับทฤษฎีบทจุดคงที่ไม่มีคำตอบเดียว ดังนั้นคุณจะไม่สามารถหาตัวดำเนินการจากพวกมันได้

มันก็เหมือนถามว่าคนที่ได้รับมาเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับ Yพวกเขาทำไม่ได้! สมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นเอกลักษณ์ $(x,y)=(0,0)$ $x=y$

ในกรณีที่สิ่งที่คุณต้องการรู้คือวิธีการค้นพบทฤษฎีบทจุดคงที่แรก ให้ฉันบอกว่าฉันยังสงสัยเกี่ยวกับวิธีที่พวกเขามากับทฤษฎีจุดคงที่ / การเรียกซ้ำเมื่อฉันเห็นพวกเขาครั้งแรก ดูเหมือนแยบยล โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบทฤษฎีการคำนวณ ไม่เหมือนกับสิ่งที่ Yuval บอกว่าไม่ใช่กรณีที่ผู้คนเล่นไปรอบ ๆ จนกว่าพวกเขาจะพบบางสิ่ง นี่คือสิ่งที่ฉันได้พบ:

เท่าที่ฉันจำได้ว่าทฤษฎีบทเดิมเกิดจาก SC Kleene Kleene เกิดขึ้นกับทฤษฎีบทจุดคงที่เดิมโดยกู้หลักฐานการไม่สอดคล้องกันของแคลคูลัสแลมบ์ดาดั้งเดิมของโบสถ์ แคลคูลัสแลมบ์ดาของโบสถ์ดั้งเดิมได้รับความทุกข์ทรมานจากความขัดแย้งประเภทรัสเซล แคลคูลัสแลมบ์ดาที่ถูกแก้ไขหลีกเลี่ยงปัญหา Kleene ศึกษาการพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันอาจจะดูว่าแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ถูกแก้ไขจะประสบปัญหาที่คล้ายกันและเปลี่ยนการพิสูจน์ความไม่ลงรอยกันเป็นทฤษฎีบทที่มีประโยชน์ในแคลคูลัสแลมบ์ดา ผ่านงานของเขาเกี่ยวกับความสมดุลของแคลคูลัส lambada กับการคำนวณแบบอื่น (เครื่องจักรทัวริง, ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ, ฯลฯ ) เขาย้ายมันไปยังการคำนวณแบบอื่น

วิธีการรับผู้ประกอบการที่คุณอาจถาม? นี่คือวิธีที่ฉันเก็บไว้ในใจ ทฤษฎีบทจุดคงที่เกี่ยวกับการลบการอ้างอิงตนเอง

ทุกคนรู้จักคนโกหกคนโกหก:

ฉันเป็นถ้ำ

หรือในรูปแบบของภาษาอื่น ๆ :

ประโยคนี้เป็นเท็จ

ตอนนี้คนส่วนใหญ่คิดว่าปัญหาของประโยคนี้คือการอ้างอิงตนเอง มันไม่ใช่! การอ้างอิงตนเองสามารถกำจัดได้ (ปัญหาอยู่ที่ความจริงภาษาไม่สามารถพูดเกี่ยวกับความจริงของประโยคของตัวเองโดยทั่วไปได้ดูทฤษฎีความจริงที่ไม่สามารถแก้ไขได้ของ Tarski ) แบบฟอร์มที่ลบการอ้างอิงตนเองนั้นเป็นดังนี้:

ถ้าคุณเขียนอัญประกาศต่อไปนี้สองครั้งครั้งที่สองภายในอัญประกาศประโยคผลลัพธ์เป็นเท็จ: "ถ้าคุณเขียนอัญประกาศต่อไปนี้สองครั้งครั้งที่สองภายในอัญประกาศประโยคผลลัพธ์เป็นเท็จ:"

ไม่มีการอ้างอิงตนเองเรามีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีสร้างประโยคและทำอะไรกับมัน และประโยคที่ถูกสร้างขึ้นเท่ากับคำแนะนำ ทราบว่าในแคลคูลัสเราไม่จำเป็นต้องราคาเพราะมีความแตกต่างระหว่างข้อมูลและคำแนะนำไม่มี $\lambda$

ตอนนี้ถ้าเราวิเคราะห์สิ่งนี้เรามีโดยที่คือคำแนะนำในการสร้างและทำบางสิ่งกับมัน $MM$ $Mx$ $xx$

$Mx = f(xx)$

ดังนั้นคือและเรามี $M$ $\lambda x. f(xx)$

$MM = (\lambda x. f(xx))(\lambda x. f(xx))$

นี้สำหรับการแก้ไขฉหากคุณต้องการทำให้มันเป็นโอเปอเรเตอร์เราเพิ่งบวกแล้วเราได้ : $f$ $\lambda f$ $Y$

$Y = \lambda f. (MM) = \lambda f.((\lambda x. f(xx))(\lambda x. f(xx)))$

ดังนั้นฉันจึงจำความขัดแย้งโดยไม่มีการอ้างอิงตนเองและช่วยให้ฉันเข้าใจว่าเกี่ยวกับอะไร $Y$

— Kaveh
แหล่งที่มา

3

ดังนั้นคุณต้องกำหนด combinator จุดคงที่

fix f = f (fix f)
      = f (f (fix f))
      = f (f (f ... ))

แต่ไม่มีการเรียกซ้ำที่ชัดเจน เริ่มต้นด้วย combinator ที่ลดทอนได้ง่ายที่สุด

omega = (\x. x x) (\x. x x)
      = (\x. x x) (\x. x x)
      = ...

xในแลมบ์ดาครั้งแรกถูกแทนที่ซ้ำแลมบ์ดาที่สอง การแปลงอัลฟ่าอย่างง่ายทำให้กระบวนการนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น:

omega =  (\x. x x) (\x. x x)
      =α (\x. x x) (\y. y y)
      =β (\y. y y) (\y. y y)
      =α (\y. y y) (\z. z z)
      =β (\z. z z) (\z. z z)

นั่นคือตัวแปรในแลมบ์ดาแรกจะหายไปเสมอ ดังนั้นถ้าเราเพิ่มfเข้าไปในแลมบ์ดาแรก

(\x. f (x x)) (\y. y y)

ความfประสงค์จะ Bob ขึ้น

f ((\y. y y) (\y. y y))

เราomegaกลับมาแล้ว ตอนนี้มันควรจะชัดเจนว่าถ้าเราเพิ่มfแลมบ์ดาที่สองจากนั้นก็fจะปรากฏในแลมบ์ดาแรกและจากนั้นมันจะหายไป:

Y f = (\x. x x)     (\x. f (x x))
      (\x. f (x x)) (\x. f (x x)) -- the classical definition of Y

ตั้งแต่

(\x. s t) z = s ((\x. t) z), if `x' doesn't occur free in `s'

เราสามารถเขียนนิพจน์เป็น

f ((\x. x x) (\x. f (x x))

ซึ่งเป็นเพียง

f (Y f)

Y f = f (Y f)และเราได้มีสมการของเรา ดังนั้นผู้Yรวมเป็นหลัก

สองเท่าของ f
ทำให้fผมบ๊อบคนแรก
ทำซ้ำ

— user3237465
แหล่งที่มา

2

คุณอาจเห็นตัวอย่างคลาสสิกของสมการโดยไม่มีรูปแบบปกติ:

(λ x . x x) (λ x . x x) ▹ (λ x . x x) (λ x . x x)

$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx) \triangleright (\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

แนะนำให้ใช้สมการที่คล้ายกันสำหรับการเรียกซ้ำทั่วไป:

\begin{matrix} (A) & \begin{array}{rr} (λ x . R (x x)) (λ x . R (x x)) \\ ▹ & R ((λ x . R (x x)) (λ x . R (x x))) \\ ▹ & R (R ((λ x . R (x x)) (λ x . R (x x)))) \\ ▹ & ... \end{array} \end{matrix}

$\begin{array} {rr} & (\lambda x.R(xx))(\lambda x.R(xx)) ~\\ \triangleright & R(~ (\lambda x.R(xx))(\lambda x.R(xx))~) \\ \triangleright & R(R(~ (\lambda x.R(xx))(\lambda x.R(xx))~)) \\ \triangleright & \dots \end{array} \tag{A}$

$Yf = f(Yf)$ $f$ $R$

Y ฉ = (λ x . ฉ (x x)) (λ x . ฉ (x x))

$Yf = (\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$

Y = λ ฉ . (λ x . ฉ (x x)) (λ x . ฉ (x x))

$Y = \lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$

— DanielV
แหล่งที่มา