หลังคาสี่เหลี่ยมที่ไม่เหมือนใคร

เราต้องการกระเบื้อง $m\times m$- ตารางใช้ไพ่สองประเภท: $1 \times 1$- กระเบื้องสี่เหลี่ยมและ $2 \times 2$-square ไทล์ดังกล่าวที่ทุกตารางพื้นฐานจะถูกปกคลุมโดยไม่ทับซ้อน ให้เรากำหนดฟังก์ชั่น$f(n)$ ที่ให้ขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ซ้ำกันใช้ $n$ $1\times 1$-squares และจำนวนใด ๆ $2 \times 2$สี่เหลี่ยม

ฟังก์ชันนี้คำนวณได้หรือไม่? อัลกอริทึมคืออะไร?

แก้ไข 1: จากคำตอบของสตีเว่นการปูกระเบื้องที่ไม่เหมือนใครหมายความว่ามีวิธีหนึ่งในการวาง $2 \times 2$- สี่เหลี่ยมด้านใน $m \times m$- ตารางที่มีการกำหนดค่าเฉพาะสำหรับตำแหน่งของ $n$ $1 \times 1$- สี่เหลี่ยมด้านใน $m \times m$รุ่นสี่เหลี่ยม

ต่อไปนี้เป็นข้อโต้แย้งเพื่อพิสูจน์การเก็งกำไรของฉันในความคิดเห็นที่ไม่มีความเป็นเอกลักษณ์ดังกล่าวสำหรับผู้ที่ไม่มีสแควร์ $n\gt 5$. ประการแรกตามที่ระบุไว้โดย Sasho ในความคิดเห็น$n$ จะต้องถูก จำกัด เพราะไม่มีตัวตนถ้าหาก $n\equiv2$หรือ4 ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบดังนั้นเห็นได้ชัดว่าแควร์เป็นรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันดังนั้นจึงถูกกำหนดอย่างชัดเจนและไม่เป็นศูนย์ในกรณีเหล่านี้ เพื่อให้การโต้แย้งสมบูรณ์มันก็ยังคงแสดงให้เห็นว่าไม่มีการเรียงต่อกันที่เกี่ยวข้องกับหรือมากกว่าล์$3\pmod 4$$n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

ก่อนพิจารณากรณีพูดnหากเรามีการปูกระเบื้องของ square โดยใช้ tile,ต้องชัดด้วยซ้ำพูด ; จากนั้นเราสามารถสร้างความเอียงได้โดยสร้างกระเบื้องของแล้วแทนที่เหล่านี้ด้วย 'บล็อก' ของสี่แผ่น เป็นที่ชัดเจนว่าการเปลี่ยนที่แตกต่างกันสามารถนำไปสู่การเอียงที่แตกต่างได้เสมอยกเว้นในกรณีหรือที่มีทั้งแบบเดี่ยว$n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$$m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$แผ่นกระเบื้องหรือ 'บล็อกสี่รายการ' ที่เหลือ ในกรณีเหล่านี้แม้ว่าจะมีการเรียงแบบอสมการที่แตกต่างกันซึ่งมีการเรียงไพ่ตรงกลางขอบแทนที่จะเป็นมุม$2\times 2$

ในที่สุดสมมติว่าโดยเฉพาะสันนิษฐานว่า (และด้วยเพื่อป้องกันกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่มีเพียง 'ห้องไม่เพียงพอ' ในตารางเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ผ่านไป ) แล้วไม่มีตารางขนาดหรือเล็กสามารถการ tileable ไม่ซ้ำกัน: พิจารณาการปูกระเบื้องที่มีกระเบื้องที่ด้านบนสุดของตารางและลงทางด้านขวาของตาราง (กับใด ๆ พิเศษกระเบื้อง เพิ่งซุกลงบนด้านขวา - พวกเขาไม่สามารถส่งผลกระทบต่อการโต้แย้ง) ตอนนี้ 'บล็อก' ที่มุมบนซ้ายของตาราง (ประกอบด้วยแผ่นสองด้านบนและ$n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$กระเบื้องที่อยู่ด้านล่าง) สามารถ 'พลิก' เพื่อผลิตกระเบื้องที่จำเป็นต้องแตกต่างจากกระเบื้องที่เราสร้างขึ้น ในที่สุดสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่กว่าไม่สามารถเรียงต่อกันได้ทั้งหมด: สมมติว่าเรากำลังพยายามเรียงสี่เหลี่ยมจตุสำหรับ ; จากนั้นตามหลักการของช่องสำหรับนกพิราบเราไม่สามารถใส่ได้มากกว่าแผ่นบนจัตุรัสซึ่งหมายความว่ามีสี่เหลี่ยมที่เหลือ - แต่เนื่องจาก , , จำนวนแผ่นที่เรามีให้$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$$(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

ดังนั้นสิ่งเดียวที่ไม่ซ้ำกันที่มีอยู่สำหรับคือไม่ใช้กระเบื้องเลยและไม่ใช่ศูนย์เมื่อเป็นศูนย์ (ในกรณีที่มันเท่ากับ )$n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$