ทำไมจึงมีฟังก์ชั่นที่ไม่คำนวณได้มากกว่าฟังก์ชั่นที่คำนวณได้?

ฉันกำลังอ่านหนังสือในขั้นตอนวิธีและความซับซ้อน ในขณะนี้ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับฟังก์ชันที่คำนวณและไม่คำนวณและหนังสือของฉันระบุว่ามีฟังก์ชั่นอื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่สามารถคำนวณได้มากกว่าที่คำนวณได้ในความเป็นจริงส่วนใหญ่ไม่สามารถคำนวณได้ ในบางแง่ฉันสามารถยอมรับได้อย่างสังหรณ์ใจ แต่หนังสือเล่มนี้ไม่ได้ให้การพิสูจน์ที่เป็นทางการและไม่ได้อธิบายอย่างละเอียดในหัวข้อ

ฉันแค่อยากจะเห็นหลักฐาน / ให้ใครบางคนที่นี่อย่างละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ / เข้าใจอย่างเข้มงวดมากขึ้นว่าทำไมมีฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถคำนวณได้มากมายมากกว่าฟังก์ชั่นที่คำนวณได้

computability turing-machines combinatorics

— hsalin
แหล่งที่มา

เมื่อเปรียบเทียบสองเซตอนันต์จะต้องมีการแก้ไขความหมายของ "อีก"

— กราฟิลส์

คำตอบ:

มีวท์ฟังก์ชันคำนวณหลาย

แต่ละฟังก์ชันที่คำนวณได้นั้นมีอย่างน้อยหนึ่งอัลกอริทึม ขั้นตอนวิธีการแต่ละคนมีรายละเอียดที่แน่นอนโดยใช้สัญลักษณ์จากชุด จำกัด เช่น จำกัด สตริงไบนารีโดยใช้สัญลักษณ์ }จำนวนของสตริงไบนารี จำกัด ที่แสดงโดยสามารถนับได้ (เช่นเดียวกับจำนวนของจำนวนธรรมชาติ ) $\{0,1\}$ $\{0,1\}^*$ $\mathsf{N}$

ดังนั้นอาจจะมีที่มากที่สุดฟังก์ชันคำนวณหลายวท์ มีอย่างน้อยนับหลายฟังก์ชันคำนวณตั้งแต่สำหรับแต่ละฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง $c\in \{0,1\}^*$ คือคำนวณ $f(x)=c$

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีการติดต่อกันระหว่าง:

ชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้
ชุดของอัลกอริทึม
, ชุดของสตริง จำกัด จาก $\{0,1\}^*$ และ $\{0,1\}$
ชุดของตัวเลขธรรมชาติ $\mathbb{N}$

ในทางตรงกันข้ามมีฟังก์ชั่นมากมายนับไม่ถ้วนกว่าสตริง (หรือจำนวนธรรมชาติ) ฟังก์ชั่น (หรือ ) กำหนดค่าสำหรับแต่ละอินพุต แต่ละค่าเหล่านี้สามารถเลือกได้อย่างอิสระจากค่าอื่น ๆ ดังนั้นจึงมีฟังก์ชั่นที่เป็นไปได้ จำนวนฟังก์ชั่นมากกว่าตัวเลขธรรมชาติเท่ากับจำนวนจริง $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

เนื่องจากมีฟังก์ชั่นมากมายที่คำนวณได้ส่วนใหญ่จึงไม่ ในความเป็นจริงจำนวนหน้าที่ uncomputable ยังเป็น N $2^{\mathbb{N}}$

ถ้าคุณต้องการที่จะจินตนาการภาพนี้โดยสัญชาตญาณลองนึกถึงจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริงหรือเกี่ยวกับสตริงไบนารี จำกัด และสตริงไบนารี่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด มีจำนวนจริงมากขึ้นและสตริงไบนารีไม่มีที่สิ้นสุดกว่าจำนวนธรรมชาติและสตริง จำกัด ในคำอื่น ๆ (สำหรับการพิสูจน์ความจริงข้อนี้ให้ดูอาร์กิวเมนต์ในแนวทแยงของคันทอร์และเลขคณิตเชิงตัวเลข) $\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี! สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ (ฉันอาจจะพลาดอะไรซักอย่างที่นี่) คุณจะได้รับ

อย่างไร?

N^{N} = 2^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$

— hsalin

มันเป็นเลขคณิต เขียนตัวเลขธรรมชาติในลำดับอนันต์ของตัวเลขธรรมชาติในระบบเลขฐานสองซึ่งควรให้สัญชาตญาณ

— Kaveh

เหตุใดข้อสันนิษฐานนี้จึงเป็นจริง - "อัลกอริทึมแต่ละอันมีคำอธิบายที่ จำกัด โดยใช้สัญลักษณ์จากชุด จำกัด " ทำไมอัลกอริทึมจึงไม่มีคำอธิบายที่ไม่สิ้นสุด

— Roland Pihlakas

@RolandPihlakas ที่เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของอัลกอริทึม (หากคุณต้องการโปรแกรมคอมพิวเตอร์)

— Kaveh

นี่คือโครงสร้าง "ชัดเจน" ของฟังก์ชั่นบูลีนที่ไม่สามารถคำนวณได้จำนวนมาก ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีนที่ไม่คำนวณค่าคงที่พูดฟังก์ชันที่เป็นลักษณะเฉพาะของปัญหาการหยุดชะงัก พิจารณาชุดของฟังก์ชั่น แต่ละตัวไม่สามารถคำนวณได้และไม่สามารถนับได้ $K$

F = {ฉ : ยังไม่มีข้อความ \to {0, 1} : \forall x \in ยังไม่มีข้อความ, ฉ (2 x) = K (x)} .

$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$

f \in F

$f \in F$

F

$F$

มีโครงสร้างที่คล้ายกันกับฟังก์ชันที่คำนวณได้ กำหนดฟังก์ชันคำนวณให้ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้ามันแตกต่างจาก $R$

G = {ก. : ยังไม่มีข้อความ \to {0, 1} : \exists n \in ยังไม่มีข้อความ \forall ม. \geq n, ก. (ม.) = R (ม.) .}

$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$

g \in G

$g \in G$

R

$R$ ค่าหลายขีด ฟังก์ชั่นทั้งหมดใน

G

$G$ สามารถคำนวณได้ (รหัสยากความแตกต่างมากมายอย่าง จำกัด ) ตรงกันข้ามกับสถานการณ์ก่อนหน้านี้

นับได้

G

$G$

ดังนั้นจึงมีฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถคำนวณได้มากมายเนื่องจากเรามีองศาอิสระมากมายอนันต์อินฟินิตี้จริงมากกว่าอินฟินิตี้ที่มีศักยภาพเหมือนในกรณีที่คำนวณได้

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา