สิ่งที่ใช้เป็นกลุ่ม, monoids, และเสียงเรียกเข้าในการคำนวณฐานข้อมูล?

ทำไม บริษัท เช่น Twitter ถึงสนใจในแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเช่นกลุ่ม, monoids และ ring? ดูพื้นที่เก็บข้อมูลของพวกเขาที่GitHub: Twitter / algebird

สิ่งที่ฉันหาได้คือ:

การดําเนินการของ Monoids สำหรับขั้นตอนวิธีการประมาณที่น่าสนใจเช่นกรองบลูม , HyperLogLogและCountMinSketch สิ่งเหล่านี้ช่วยให้คุณคิดถึงการดำเนินการที่ซับซ้อนเหล่านี้เช่นคุณอาจใช้ตัวเลขและเพิ่มพวกมันใน hadoop หรือออนไลน์เพื่อสร้างสถิติและการวิเคราะห์ที่มีประสิทธิภาพ

และอีกส่วนหนึ่งของหน้า GitHub:

มันได้รับการพัฒนามาเป็นส่วนหนึ่งของลวกของเมทริกซ์ API ที่เมทริกซ์มีค่าซึ่งเป็นองค์ประกอบของ Monoids , กลุ่มหรือแหวน ต่อจากนั้นเป็นที่ชัดเจนว่ารหัสมีแอปพลิเคชันที่กว้างขึ้นภายใน Scalding และโครงการอื่น ๆ ภายใน Twitter

แอปพลิเคชันที่กว้างขึ้นนี้จะเป็นอย่างไร ภายใน Twitter และเพื่อความสนใจทั่วไป

ดูเหมือนว่าการรวมองค์ประกอบของฐานข้อมูลจะมีโครงสร้างคล้าย monoid

คำถามเดียวกันเกี่ยวกับ Quora: อะไรคือความสนใจของ Twitter ในพีชคณิตนามธรรม (กับ algebird)?

ฉันมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ แต่ฉันไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ มันจะเป็นการดีหากมีการใช้ "โลกแห่งความเป็นจริง" ในการใช้ monoids และ semi-group โดยทั่วไปแล้วสิ่งเหล่านี้ถูกพิจารณาว่าเป็นสิ่งก่อสร้างเชิงทฤษฎีที่ไร้ประโยชน์และไม่สนใจในวิชาพีชคณิตนามธรรมจำนวนมาก (เพราะไม่มีอะไรน่าสนใจที่จะพูด)

คำตอบหลักคือโดยการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างกึ่งกลุ่มเราสามารถสร้างระบบที่ขนานอย่างถูกต้องโดยไม่ทราบว่าการดำเนินการพื้นฐาน (ผู้ใช้มีความสัมพันธ์ที่มีแนวโน้ม

ด้วยการใช้ Monoids เราสามารถใช้ประโยชน์จาก sparsity (เราจัดการกับเมทริกซ์กระจัดกระจายจำนวนมากซึ่งค่าเกือบทั้งหมดเป็นศูนย์ใน Monoid บางตัว)

ด้วยการใช้ Rings เราสามารถทำการคูณเมทริกซ์กับสิ่งอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข (ซึ่งในบางครั้งเราได้ทำ)

โครงการ algebird นั้นเอง (รวมถึงประวัติปัญหา) ค่อนข้างชัดเจนอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่: เรากำลังสร้างอัลกอริทึมมากมายสำหรับการรวมชุดข้อมูลขนาดใหญ่และการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างของการดำเนินการทำให้เราได้รับชัยชนะในระบบ (ซึ่งมักจะเป็นจุดปวดเมื่อพยายามผลิตอัลกอริทึมบน 1000s ของโหนด)

แก้ไขปัญหาของระบบเพียงครั้งเดียวสำหรับ Semigroup / Monoid / Group / Ring จากนั้นคุณสามารถเสียบอัลกอริทึมใด ๆ โดยไม่ต้องคิดถึง Memcache, Hadoop, Storm, etc ...

Monoids เป็นที่แพร่หลายในการเขียนโปรแกรมเพียงว่าโปรแกรมเมอร์ส่วนใหญ่ไม่รู้จักพวกเขา

• การดำเนินการตัวเลขเช่นการบวกและการคูณ
• การคูณเมทริกซ์
• โดยพื้นฐานแล้วโครงสร้างข้อมูลที่มีลักษณะคล้ายคอลเลกชันทั้งหมดจะก่อตัวเป็น monoids ซึ่งการดำเนินการ monoidal เป็นการต่อข้อมูล ซึ่งรวมถึงรายการชุดแผนที่ของกุญแจสู่ค่าต้นไม้ชนิดต่าง ๆ เป็นต้น
• สำหรับชนิดให้ฟังก์ชั่นพร้อมกับฟังก์ชั่นตัวตนบนรูปแบบ's หนังสือ endomorphism$A$$A\to A$$A$$A$

การดำเนินการอื่น ๆ บางอย่างไม่ก่อให้เกิด monoids แต่เป็นกลุ่มกึ่ง ตัวอย่างที่ดีคือการค้นหาองค์ประกอบขั้นต่ำขององค์ประกอบ:หมายถึงขั้นต่ำของและ wrt การสั่งซื้อที่กำหนด$a\cdot b$$a$$b$

เพราะ monoids ทั่วไปดังนั้นพวกเขาจึงอนุญาตให้เขียนฟังก์ชั่นทั่วไปมาก ตัวอย่างเช่นการพับทับโครงสร้างข้อมูลสามารถแสดงเป็นการแมปทุกองค์ประกอบของมันไปที่ monoid แล้วใช้การดำเนินการ monoidal เพื่อรวมพวกมันเข้ากับผลลัพธ์เดียว

อีกตัวอย่างที่ดีและทั่วไปมากก็คือการทำให้การยกกำลังโดยการยกกำลัง monoid (หรือ semi-group) เราสามารถเขียนฟังก์ชันเดียวที่คำนวณเดียวในการดำเนินงาน นำไปใช้กับ monoids ต่าง ๆ ที่เราได้รับ:$\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n-\mbox{times}}$$O(\log n)$

• การยกกำลังตัวเลขอย่างรวดเร็ว
• การยกกำลังอย่างรวดเร็วของเมทริกซ์ (สามารถใช้เพื่อคำนวณตัวเลขฟีโบนักชีในการคูณ );$O(\log n)$
• วิธีการที่รวดเร็วสำหรับการสร้างขนาดใหญ่ต้นไม้นิ้วเป็นผนวกองค์ประกอบหนึ่งจะใช้เวลาเวลา แต่การผสาน 2 ต้นไม้ใช้เวลาn_2)))$O(1)$$O(\log(\min(n_1,n_2)))$
• เป็นต้น

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมโปรดดูตัวอย่างของ monoids / semigroups ในการเขียนโปรแกรม

ปัญหาสำคัญอย่างหนึ่งในระบบไฟล์แบบกระจาย ( DFS ) คือการสร้างไฟล์จากบล็อกแบบกระจาย พื้นที่ของรหัสลบข้อมูลจากทฤษฎีข้อมูลและพีชคณิต (กลุ่ม, แหวน, พีชคณิตเชิงเส้น, ... ) มีการใช้อย่างกว้างขวางในระบบไฟล์ที่ทนต่อความผิดพลาดแบบกระจายตัวอย่างเช่นในHDFS RAID (Hadoop Based File System) บริษัท โซเชียลเน็ตเวิร์กและคลาวด์นั้นใช้ DFS ดังนั้นพวกเขาจึงต้องการคนที่เชี่ยวชาญในพีชคณิตและรหัสลบออกเพื่อออกแบบระบบที่ดีขึ้นและมีประสิทธิภาพสูง (เช่นรหัสReed-Solomonเป็นต้น)

นี่เป็นโปสเตอร์ที่ดีสำหรับการใช้งาน (พีชคณิต) ในที่จัดเก็บข้อมูลบนคลาวด์: รหัสนวนิยายสำหรับที่เก็บข้อมูลบนคลาวด์

หากคำถามของคุณคือ

ตัวอย่างของกลุ่ม monoids และ ring ในการคำนวณคืออะไร

จากนั้นตัวอย่างหนึ่งที่ฉันนึกออกคือสำหรับอัลกอริธึมการค้นหาเส้นทางในทฤษฎีกราฟ หากเรากำหนดsemiringด้วยเป็นและเป็นจากนั้นเราสามารถใช้การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ adjacency เพื่อหา all-pairs-shortest-path วิธีนี้มีการอธิบายใน CLRS$+$$\min$$\cdot$$+$

ในขณะที่สิ่งนี้อาจดูเหมือนเป็นเพียงทฤษฎีจากมุมมองเชิงพีชคณิต แต่มันก็ช่วยให้เราสามารถใช้ไลบรารี่พีชคณิตเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหากราฟ Combinatorial BLASเป็นหนึ่งในห้องสมุดดังกล่าว

ชุดของทุกคำบางตัวอักษร จำกัด ร่วมกับรูปแบบการ concatenation หนังสือฟรีcdot) ดังนั้นฟิลด์ทั้งหมดของภาษาทางการสามารถดูได้ผ่านเลนส์พีชคณิตและบางครั้งก็สอนเช่นนี้$(\Sigma^*, \cdot)$

ในทางกลับกันการพิจารณาในภาษาอย่างเป็นทางการได้ให้ผลparser เออร์ลีย์ซึ่งสามารถขยายไปถึงแยกบนsemirings สิ่งนี้มีประโยชน์ในการประมวลผลภาษาธรรมชาติและด้านอื่น ๆ โดยใช้แบบจำลองสโตแคสติกสำหรับภาษา (เป็นทางการ)

ฉันมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ แต่ฉันไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ มันจะเป็นการดีหากมีการใช้ "โลกแห่งความเป็นจริง" ในการใช้ monoids และ semi-group โดยทั่วไปแล้วสิ่งเหล่านี้ถูกพิจารณาว่าเป็นสิ่งก่อสร้างเชิงทฤษฎีที่ไร้ประโยชน์และไม่สนใจในวิชาพีชคณิตนามธรรมจำนวนมาก (เพราะไม่มีอะไรน่าสนใจที่จะพูด)

มีความน่าสนใจที่จะพูดมากเกินไป อย่างไรก็ตามมันเป็นหัวข้อของคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องและ combinatorics มากกว่าสำหรับพีชคณิตนามธรรมและการวิเคราะห์อย่างน้อยสำหรับหัวข้อเล็ก ๆ น้อย ๆ นอกจากนี้ยังมีคำถามที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับหัวข้อใดหัวข้อหนึ่งก่อนที่คุณจะสามารถบอกคนอื่นได้ว่ามันจะเป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับ monoids และ semigroups ตัวอย่างเช่นฉันพบหัวข้อต่อไปนี้ (ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มย่อย) ที่น่าสนใจ:

• กลุ่มย่อยแน่นอนและทฤษฎี Krohn-Rhodes
• สมมาตรบางส่วน, semigroup ผกผัน, groupoids และผลึก
• semirings และเรขาคณิตเขตร้อน
• คำสั่งบางส่วนและฟังก์ชั่นMöbius
• ฟังก์ชั่น submodular และการสลายตัว (Dulmage-Mendelsohn like)

ฉันรู้มากเกี่ยวกับแต่ละหัวข้อเหล่านี้หรือไม่ อาจจะไม่. นอกจากนี้ยังมีหัวข้อทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับ monoids และ semigroups บางคนอยู่ในทฤษฎี semigroup ภายในตัวเอง (เช่นความสัมพันธ์ของสีเขียว), อื่น ๆ ทั่วไปมากขึ้นและไม่เฉพาะเจาะจงกับ semigroups (semigroups สากล homomorphism และทฤษฎีมอร์ฟ congruences) แต่ก็มีความสำคัญจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ หัวข้อที่ฉันอ้างถึงข้างต้นส่วนใหญ่มีแอปพลิเคชัน "โลกแห่งความจริง" แต่มีหัวข้อที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมที่มีแอปพลิเคชัน "โลกแห่งความจริง" ด้วย

ด้านบนไม่ใช่คำตอบสำหรับคำถามจริง แต่เพียงกล่าวถึง "... โดยปกติแล้วจะถือว่าเป็นการสร้างเชิงทฤษฎีที่ไร้ประโยชน์ ... เพราะไม่มีอะไรน่าสนใจที่จะพูด ... " ดังนั้นฉันจึงแสดงรายการคะแนน "น่าสนใจ" ที่อ้างว่าส่วนใหญ่มีแอปพลิเคชัน "โลกแห่งความจริง" และตอนนี้ Hi-Angel ขอข้อมูลเกี่ยวกับแอปพลิเคชันเหล่านั้นเล็กน้อย แต่เนื่องจาก "มีความน่าสนใจมากเกินไปที่จะพูด" อย่าคาดหวังมากเกินไปจากข้อมูลนั้น: ทฤษฎีบท Krohn-Rhodesเป็นทฤษฎีการสลายตัวสำหรับกลุ่มย่อยที่แน่นอน แอพพลิเคชั่นนี้เกี่ยวข้องกับการแปลความหมายของผลิตภัณฑ์พวงหรีดในรูปแบบขององค์ประกอบ (ของเครื่องแปลงความถี่) ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีออโตมาตะและภาษาปกติมาร์คลอว์สัน V: สองบรรยายและพื้นหลังกวดวิชาวัสดุที่มีอยู่ (404 ตอนนี้) วัสดุที่ดีในการผกผัน Semigroups พื้นฐานสำหรับการใช้งานของพวกเขาคือการเชื่อมต่อกับsemigroup ผกผันสมมาตรคือชุดของ bijections บางส่วนทั้งหมดในชุด หนึ่งสามารถเริ่มต้นด้วยลักษณะทางพีชคณิตพื้นฐานของ semigroup ผกผัน แต่วิธีการนี้มีความเสี่ยงที่จะละเลยการเชื่อมต่อกับคำสั่งบางส่วนซึ่งมีความสำคัญสำหรับการใช้งานจำนวนมาก บางวันฉันจะต้องบล็อกเกี่ยวกับแอปพลิเคชันเฉพาะของกลุ่มย่อยอินเวอร์สเป็น "ลำดับชั้น" ที่ใช้ในการบีบอัดเค้าโครงเซมิคอนดักเตอร์. แอปพลิเคชั่นของการบรรยายได้ถูกอธิบายไว้แล้วในคำตอบอื่น ๆ (และเรขาคณิตเขตร้อนจะทำให้เราห่างไกลจากวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) เนื่องจาก monoids และ semigroups นั้นเกี่ยวข้องกับคำสั่งบางส่วนด้วยเช่นกันหัวข้อที่ดีเช่นฟังก์ชันMöbiusดังที่อธิบายไว้ในCombinatorics: The Rota Wayก็เกี่ยวข้องกันเช่นกัน และจากนั้นหัวข้อจากเมทริกซ์และ Matroids สำหรับการวิเคราะห์ระบบเช่นการสลายตัวของ Dulmage-Mendelsohnกลายเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นหนึ่งในแรงจูงใจของฉันในการศึกษาทฤษฎีโครงตาข่าย (และโครงสร้างลำดับชั้นที่ซ่อนอยู่)