ตัวแปรของฟังก์ชันบีเวอร์ไม่ว่าง

การอ่านคำถามนี้ " ปัญหาที่ไม่อาจเกิดขึ้นได้อย่างเป็นธรรมชาติ แต่ไม่ทัวริงสมบูรณ์ " ภาษาต่อไปนี้อยู่ในใจของฉัน:

ถ้าเป็นฟังก์ชั่นบีเวอร์ไม่ว่าง (คะแนนสูงสุดที่สามารถทำได้ในระหว่างการหยุดเครื่องทัวริง 2 สัญลักษณ์ n-state ประเภทที่อธิบายข้างต้นเมื่อเริ่มต้นด้วยเทปเปล่า) ให้กำหนดฟังก์ชัน: $\Sigma(\cdot)$

B B (⟨ M ⟩) = {\begin{cases} 1 & ⟨ M ⟩ computes Σ (\cdot) \\ 0 & otherwise \end{cases}

$BB(\langle M \rangle) = \begin{cases} 1 & \text{$\langle M \rangle$ computes $\Sigma(\cdot)$}\\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$

ตอนนี้กำหนดภาษา:

$L = \{ \langle M \rangle \; | \; \langle M \rangle \mbox{ halts and } BB(\langle M \rangle) = 0 \}$

คือนับซ้ำ? (มันควรจะเป็นอีกครั้ง: เพียงแค่จำลองในขนาน M กับ TM ทั้งหมดที่มีความยาวเท่ากันและถ้าหยุดและหยุดอีกด้วยคะแนนที่สูงกว่าเพิ่ม M ในการนับ) $L$ $M$ $M'$

เราสามารถลดปัญหาการหยุดชะงักเป็นหรือไม่ (ดูเหมือนว่ามันไม่สามารถ "จับ" การหยุดชะงักของบีเว่อร์ไม่ว่าง) $L$

computability turing-machines

— Vor
แหล่งที่มา

คือจำนวนของรัฐ?

| ⟨ M ⟩ |

$|\langle M \rangle|$

— Pål GD

เมื่อคุณจะระบุที่ไม่ได้หยุดลงใน ? ไม่สามารถเป็น RE เว้นแต่ว่าคุณระบุสมาชิกทั้งหมดของมันและขั้นตอนที่คุณอธิบายไว้จะระบุเฉพาะสมาชิกที่หยุดจริง

M

$M$

L

$L$

L

$L$

— Steven Stadnicki

@ PålGD: ใช่มันเป็นจำนวนของรัฐ (ไม่รวมสถานะหยุดพัก)

— Vor

@StevenStadnicki: ฉันสันนิษฐานว่ามีเพียงเครื่องจักรที่หยุด ... บางทีฉันควรอธิบายให้ชัดเจนในคำถาม (ให้ฉันลองคิดดูสักหน่อยบางทีมันอาจเป็นคำถามที่ไม่สำคัญ)

L

$L$

— Vor

@Kaveh มันไม่ได้เป็นปัญหาสัญญา - คุณสามารถกำหนด (เพราะฉันเชื่อว่า OP ตั้งใจ) เป็น\}

L

$L$

L = {⟨ M ⟩ | M halts \land B B (⟨ M ⟩) = 0}

$L=\{\langle M\rangle | M\ \text{halts} \wedge BB(\langle M\rangle) = 0\}$

— Steven Stadnicki

คำตอบ:

ฉันไม่อยากจะเชื่อเลยว่าฉันไม่เคยเห็นสิ่งนี้มาก่อน - แต่ใช่ด้วย oracle สำหรับคุณสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้ เห็นได้ชัดว่า oracle สำหรับทำให้เรา 'หยุดยั้ง' ทั้งหมดที่ไม่ว่างเครื่อง Beaver หยุดดังนั้นคำถามคือ 'เราสามารถหา recursively ในสิ่งที่บีเวอร์ยุ่งคืออะไร?' กำหนดเป็นฟังก์ชันนับของ 'บีเวอร์ที่ยุ่งที่สุดอันดับสอง'; นั่นคือคะแนนที่สามารถบรรลุได้สูงสุดเป็นอันดับสองในบรรดาหยุดสองสัญลักษณ์ state TMs เคล็ดลับที่นี่คือมีฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำเช่น (เกือบจะแน่ใจว่า $L$ $L$ $L$ $\Sigma_2(n)$ $n$ $f()$ $\Sigma(n)\leq\Sigma_2(f(n))$ $f(n)=n+1$ จริง ๆ แล้วจะทำเคล็ดลับ แต่ต้องรู้ว่าฟังก์ชั่น BB เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด): เนื่องจากเครื่องขนาดที่พิมพ์ 1s บนเทปของมันแล้วหยุดพักมีและ สองเครื่องแต่ละขนาดที่พิมพ์อย่างแน่นอน 1s และ 1s ตามลำดับบนเทปของพวกเขา - และสิ่งนี้ถือเป็นจริงสำหรับเครื่องจักร 'ช่องคลอดยุ่ง'แม้ว่าเราจะไม่สวม ไม่รู้อย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่าการผูกกับฟังก์ชั่น 'beaver busy' ในครั้งที่สองสำหรับจะให้ฟังก์ชัน Beaver ที่ยุ่งใน $M$ $n$ $\Sigma(M)$ $c\gt 1$ $\leq cn$ $\Sigma(M)$ $\Sigma(M)+1$ $M$ $M$ $f(n)$ $n$ ; แต่เมื่อมีสิ่งนี้มันง่ายที่จะแก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับ TMมีขนาด - ถ้าจากนั้นบอกว่าหยุดทำงาน; มิฉะนั้นให้ค้นหาเครื่องที่รันนานที่สุดของขนาดใน (ซึ่งสามารถทำได้ซ้ำ ๆ เนื่องจากมีเพียงเครื่องจำนวนมากที่มีขนาด ) และจำลองสำหรับขั้นตอนต่างๆ หยุด. หากไม่หยุดภายในเวลานั้นอาจหยุดไม่ได้ $M$ $n$ $\langle M\rangle\in L$ $M$ $f(n)$ $L$ $\leq f(n)$ $M$ $M$ $M$

— Steven Stadnicki
แหล่งที่มา

ขอบคุณ; ได้รับแรงบันดาลใจจากคำตอบของคุณฉันพบด่วน (เล็กน้อย) -: การลดโดยตรงจากปัญหาการหยุดพักในคำตอบแยกต่างหาก

— Vor

นี่เป็นคำตอบที่ดีของสตีเว่นรุ่นปรับปรุงใหม่พร้อมการลดปัญหา Halting อย่างชัดเจน

รับ buildที่รันบนและถ้ามันหยุดไปทางด้านขวาของเทปเขียน 0 และหยุด $\langle M \rangle, w$ $M'$ $M$ $w$

ถ้าหยุด,เพราะมี TM ที่เทียบเท่าซึ่งมีขนาดเท่ากันที่เขียน 1 และหยุดทำงาน; เพื่อให้เราสามารถใช้ decider สำหรับเพื่อตรวจสอบว่าหยุดทำงานบน (หยุดทำงานบน iff ) $M'$ $BB(M')=0$ $L$ $M$ $w$ $M$ $w$ $M' \in L$

... มันกลับกลายเป็นว่าคำถามนั้นสำคัญจริง ๆ :-)

— Vor
แหล่งที่มา