มีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับปัญหา NP-complete หรือไม่

51

มีปัญหาที่ทำให้ NP เสร็จสมบูรณ์ซึ่งพิสูจน์อัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โปแนนเชียลหรือไม่?

ฉันกำลังขออินพุตกรณีทั่วไปฉันไม่ได้พูดถึงกรณีพิเศษที่เข้าใจได้ง่ายที่นี่

โดยการย่อยชี้แจงผมหมายถึงคำสั่งของการเจริญเติบโตดังกล่าวข้างต้นมีหลายชื่อ แต่น้อยกว่าแทนเช่น n $n^{\log n}$

— เคเอสบี
แหล่งที่มา

10

"sub-exponential" หมายถึงอะไร? ถ้าคุณหมายถึง

คำตอบคือใช่แน่นอน หากคุณหมายถึง

ฉันเชื่อว่าคำตอบคือไม่

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

57

ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงโดยเอ็กซ์โปแนนเชียล ด้านล่างฉันอธิบายความหมายบางอย่างของ "เอ็กซ์โปเนนเชียล" และสิ่งที่เกิดขึ้นในแต่ละกรณี แต่ละชั้นเรียนเหล่านี้มีอยู่ในชั้นเรียนด้านล่าง

I. $2^{n^{o(1)}}$

ถ้าโดย subexpoential คุณหมายถึงแล้วคาดเดาในทฤษฎีความซับซ้อนที่เรียกว่าผลประโยชน์ทับซ้อน (เอกเวลาสมมติฐาน) หมายถึงว่าไม่มีปัญหา -hard สามารถมีขั้นตอนวิธีการกับการทำงาน-เวลา ) $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

โปรดทราบว่าชั้นนี้จะปิดภายใต้องค์ประกอบที่ประกอบด้วยพหุนาม ถ้าเรามีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับปัญหาฮาร์ดใด ๆเราสามารถรวมเข้ากับการลดเวลาพหุนามจาก SAT เพื่อให้ได้อัลกอริทึมย่อยสำหรับ 3SAT ซึ่งจะละเมิด ETH $\mathsf{NP}$

ครั้งที่สอง คือสำหรับทั้งหมด $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

สถานการณ์คล้ายกับสถานการณ์ก่อนหน้า

มันถูกปิดภายใต้ชื่อพหุนามดังนั้นจึงไม่มีปัญหาฮาร์ดสามารถแก้ไขได้ในเวลานี้โดยไม่ละเมิด ETH $\mathsf{NP}$

สาม. คือสำหรับบางคน $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

ถ้าตามเอ็กซ์โพเนนเชียลเอ็กซ์คุณหมายถึงสำหรับบางคำตอบคือใช่มีปัญหาดังกล่าวที่พิสูจน์ได้ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

ใช้ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของเช่น SAT มันมีขั้นตอนวิธีการแรงเดรัจฉานที่ทำงานในเวลา )ตอนนี้ให้พิจารณารุ่นเบาะของ SAT โดยการเพิ่มสตริงขนาดไปยังอินพุต: $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

ตอนนี้ปัญหานี้คือ -hard และสามารถแก้ไขได้ในเวลา $\mathsf{NP}$ ) $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV $2^{o(n)}$

นี่มีคลาสก่อนหน้าคำตอบนั้นคล้ายกัน

V. , คือสำหรับทุก $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

นี่มีคลาสก่อนหน้าคำตอบนั้นคล้ายกัน

พระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว , เช่นสำหรับบางคน $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

นี่มีคลาสก่อนหน้าคำตอบนั้นคล้ายกัน

เอ็กซ์โปเนนเชียลหมายถึงอะไร

"เหนือพหุนาม" ไม่ได้เป็นบนผูกพัน แต่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้และจะเรียกว่าเป็นsuperpolynomial

ฟังก์ชันเช่นเรียกว่าquasipolynomialและเมื่อชื่อบ่งบอกว่าเกือบจะเป็นพหุนามและอยู่ไกลจากการเป็นเลขชี้กำลังมักใช้ subexponential เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่กว่าซึ่งมีอัตราการเติบโตที่เร็วกว่ามาก $n^{\lg n}$

เป็นชื่อที่แสดง "subexponential" หมายถึงช้ากว่าชี้แจง เลขชี้กำลังเรามักจะหมายถึงฟังก์ชันในคลาสหรือในคลาสที่ดีกว่า (ซึ่งปิดภายใต้การจัดองค์ประกอบที่มีหลายชื่อ) $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

Subexponetial ควรอยู่ใกล้กับสิ่งเหล่านี้ แต่เล็กกว่า มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้และไม่มีความหมายมาตรฐาน เราสามารถแทนที่ by ในสองคำจำกัดความของการยกกำลังและได้รับ I และ IV สิ่งที่ดีเกี่ยวกับพวกเขาก็คือพวกเขาถูกกำหนดอย่างสม่ำเสมอ (ไม่มีปริมาณมากกว่า ) เราสามารถแทนที่กับค่าสัมประสิทธิ์คูณสำหรับทุกที่เราได้รับครั้งที่สองและโวลต์ของพวกเขาอยู่ใกล้กับ I และ IV แต่กำหนด nonuniformly ตัวเลือกสุดท้ายคือการเปลี่ยนกับคงคูณสำหรับบาง 1สิ่งนี้ให้ II และ VI $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

สิ่งใดควรเรียกว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลเอ็กซ์โปแนนเชียล โดยปกติแล้วคนใช้สิ่งที่พวกเขาต้องการในการทำงานของพวกเขาและอ้างถึงมันเป็นเอ็กซ์โปแนนเชียล

ฉันเป็นความชอบส่วนตัวของฉันเป็นคลาสที่ดี: มันปิดภายใต้องค์ประกอบที่ประกอบด้วยหลายชื่อและมีการกำหนดอย่างสม่ำเสมอ มันคล้ายกับซึ่งใช้ ) $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

ครั้งที่สองจะดูเหมือนว่าจะถูกนำมาใช้ในความหมายของระดับความซับซ้อนพี $\mathsf{SubExp}$

IIIใช้สำหรับขอบเขตอัลกอริทึมเช่นเดียวกับที่กล่าวไว้ในคำตอบของ Pal

IVเป็นเรื่องธรรมดา

Vถูกใช้เพื่อระบุ ETH การคาดคะเน

ทางแยก ( IIและV ) นั้นไม่ได้มีประโยชน์สำหรับอัลกอริธึมบนขอบเขตการใช้งานหลักของพวกเขาดูเหมือนจะเป็นทฤษฎีความซับซ้อน ในทางปฏิบัติคุณจะไม่เห็นความแตกต่างระหว่างฉันและครั้งที่สองหรือระหว่างIVและV IMHO คำจำกัดความสามข้อต่อมา ( IV , V , VI ) มีความละเอียดอ่อนเกินไปพวกเขาอาจมีประโยชน์สำหรับปัญหาบางอย่าง แต่พวกเขาไม่แข็งแรงซึ่งลดประโยชน์ของพวกเขาเป็นคลาส ความทนทานและคุณสมบัติการปิดที่ดีเป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลว่าทำไมคลาสที่มีความซับซ้อนที่โด่งดังเช่น , , , $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ และน่าสนใจ $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

ฤดูร้อน

IMHO, ความหมายหลักคือฉันและIII เรามีอัลกอริธึมอนุเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับปัญหาหนักในแง่ของIIIและเราไม่สามารถมีพวกมันในแง่ของฉันโดยไม่ละเมิด ETH $\mathsf{NP}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

7

คำตอบนี้ควรไปที่ Wikipedia

— Erel Segal-Halevi

32

$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

ชุดคำติชม Arc Set on ทัวร์นาเมนต์ [Noga Alon, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, ALP 2009]
การเติมเต็มขั้นต่ำและการทำให้เชนสมบูรณ์ [Fomin and Villanger SODA 2012]
Split Edge Deletion [Ghosh et al SWAT 2012]
$t$
ปัญหาสองมิติมากมายปัญหากราฟที่แตกต่างกันของกราฟชนิดที่มีขอบเขตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกราฟเชิงระนาบ (ดู Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: อัลกอริทึมแปรผันของพารามิเตอร์ที่ไม่ จำกัด บนกราฟของขอบเขตประเภทและ H-minor-ปราศจากกราฟ )
อัลกอริธึมปรับเวลาแบบกระจายไม่ได้สำหรับต้นไม้ Steiner บนกราฟระนาบ [Pilipczuk et al STACS 2013]
เสร็จสมบูรณ์อย่างสมบูรณ์แบบเล็กน้อย, การบรรลุผลสำเร็จตามเกณฑ์และ Pseudosplit Completion [D. et al STACS 2014]
การเสร็จช่วงเวลา [Bliznets และคณะ]
การเสร็จช่วงเวลาที่เหมาะสม [Bliznets et al]

— Pål GD
แหล่งที่มา

1

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

มีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับปัญหา NP-complete หรือไม่

I. 2no ( 1 )2no(1)2^{n^{o(1)}}

ครั้งที่สอง คือ2 O ( n ϵ )สำหรับทั้งหมด0 < ϵ⋂0 < ϵ2O ( nε)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O ( nε)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0 < ϵ0<ϵ0 < \epsilon

สาม. คือ2 O ( n ϵ )สำหรับบางคนϵ < 1⋃ϵ < 12O ( nε)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O ( nε)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ < 1ϵ<1\epsilon < 1

IV 2o ( n )2o(n)2^{o(n)}

V. , คือ2 ϵ nสำหรับทุกϵ > 0⋂0 < ϵ2ϵ n⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵ n2ϵn2^{\epsilon n} ϵ > 0ϵ>0\epsilon>0

พระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว , เช่น2 ϵ nสำหรับบางคนϵ < 1⋃ϵ < 12ϵ n⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵ n2ϵn2^{\epsilon n} ϵ < 1ϵ<1\epsilon<1

เอ็กซ์โปเนนเชียลหมายถึงอะไร

I. $2^{n^{o(1)}}$

ครั้งที่สอง คือสำหรับทั้งหมด $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

สาม. คือสำหรับบางคน $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV $2^{o(n)}$

V. , คือสำหรับทุก $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

พระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว , เช่นสำหรับบางคน $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$