ทฤษฎีหมวดหมู่หมายถึงอะไรยังไม่รู้ว่าจะจัดการกับฟังก์ชันที่มีลำดับสูงกว่าได้อย่างไร

ในการอ่านคำตอบ ของ Uday Reddy ต่อความสัมพันธ์ระหว่างหน้าที่ใน SML กับทฤษฎีหมวดหมู่คืออะไร? รัฐ Uday

ทฤษฎีหมวดหมู่ยังไม่ทราบวิธีจัดการกับฟังก์ชั่นที่มีลำดับสูงกว่า สักวันมันจะ

เนื่องจากฉันคิดว่าทฤษฎีหมวดหมู่สามารถใช้เป็นรากฐานสำหรับคณิตศาสตร์ได้ดังนั้นจึงควรเป็นไปได้ที่จะได้รับฟังก์ชันคณิตศาสตร์และฟังก์ชันลำดับสูงทั้งหมด

ดังนั้นสิ่งที่มีความหมายตามทฤษฎีหมวดหมู่ยังไม่ทราบวิธีการจัดการกับฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้น? การพิจารณาทฤษฎีหมวดหมู่เป็นพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์หรือไม่

functional-programming category-theory

— Guy Coder
แหล่งที่มา

การสนทนานี้จะเหมาะสำหรับcstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

คำตอบ:

ปัญหาของฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้นนั้นง่ายพอที่จะระบุ

ประเภทคอนสตรัคเตอร์เช่นไม่ใช่ functor มันควรจะเป็น $T(X) = [X \to X]$
ฟังก์ชัน polymorphic เช่นไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ มันควรจะเป็น ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

ถ้าคุณอ่านEilenberg และกระดาษทฤษฎีประเภท MacLane เดิม , (PDF)สัญชาติญาณที่พวกเขานำเสนอปกกรณีดังกล่าว แต่ทฤษฎีของพวกเขาไม่ได้ พวกเขาเป็นกระดาษที่ยอดเยี่ยมสำหรับปี 1945! แต่วันนี้เราต้องการมากกว่านี้

ปฏิกิริยาของนักทฤษฎีหมวดหมู่ต่อปัญหาเหล พวกเขาทำหน้าที่เสมือนการดำเนินการตามลำดับขั้นสูงในความคิดของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ พวกมันไม่มีผลอะไรกับคณิตศาสตร์ ถ้าเป็นเช่นนั้นรากฐานของคณิตศาสตร์จะไม่ดีพอสำหรับรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

แต่ฉันไม่เชื่ออย่างจริงจัง ฉันเชื่อว่าฟังก์ชันลำดับสูงจะค่อนข้างสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์เช่นกัน แต่พวกเขายังไม่ได้รับการสำรวจอย่างจริงจัง ฉันหวังว่าสักวันพวกเขาจะถูกสำรวจและข้อ จำกัด ของทฤษฎีหมวดหมู่จะได้รับการตระหนัก

— Uday Reddy
แหล่งที่มา

มันน่าทึ่งมากที่พวกเขาไม่พิจารณาฟังก์ชั่นการเรียงลำดับที่สูงขึ้นที่น่าสนใจโดยพิจารณาความลึกที่พวกเขาไปเมื่อสำรวจพีชคณิตมิติที่สูงขึ้นทฤษฎีหมวดหมู่และสิ่งที่คล้ายกัน ฟังก์ชั่นการเรียงลำดับที่สูงขึ้นดูเหมือนจะเป็นไปตามพื้นดิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากแผ่นดินนั้นเกี่ยวข้องกับโปรแกรม Haskell

— Dave Clarke

@DaveClarke ฉันคิดว่าสิ่งที่พวกเขาต้องการเห็นคือตัวอย่างที่น่าสนใจเช่น Eilenberg และ MacLane เริ่มต้นด้วย ช่องว่างเวกเตอร์

-dimensional ทั้งหมดเป็น isomorphic ซึ่งกันและกัน ดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์เป็น isomorphic เพื่อคู่ของตัวเอง:

อย่างไรก็ตาม isomorphisms เหล่านี้ไม่ใช่ "ธรรมชาติ" (พวกเขาใช้ฐานพิเศษ - "ขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทน" ในการพูดของเรา) ในอีกทางหนึ่งมอร์ฟิซึ่ม

คือ "ธรรมชาติ" ทำงานแบบเดียวกันกับฐานทั้งหมด ในการขอ Category Theory 2.0 เราต้องการตัวอย่างนักฆ่าที่คล้ายกัน!

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— Uday Reddy

@DaveClarke สิ่งที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ทั่วไปคือนักคณิตศาสตร์ลดสิ่งที่มีลำดับสูงกว่าลงในโครงสร้างอันดับหนึ่งอย่างชาญฉลาด ตัวอย่างเช่นประเภท

ฉันให้ไว้ข้างต้นเป็นเพียง monoid ซึ่งการคูณเป็นการดำเนินการตามลำดับแรก หากคุณจำพีชคณิตเชิงเส้นของคุณการแปลงเชิงเส้น

จะกลายเป็นพื้นที่เวคเตอร์และจากนั้นการดำเนินการทั้งหมดจะกลายเป็นลำดับแรก ทฤษฎีออโตมาตะ (วิทยาการคอมพิวเตอร์อีกครั้ง) อาจเป็นที่แรกที่กลอุบายนี้ใช้ไม่ได้ ถ้า Eilenberg มีชีวิตที่กระฉับกระเฉงอีก 10 ปีเขาอาจจะมีปัญหา

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

— Uday Reddy

+1 นี่น่าสนใจจริงๆ คุณรู้การอ้างอิงใด ๆ ที่กล่าวถึงปัญหาเหล่านี้เพิ่มเติมหรือไม่

— Kaveh

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

[คำตอบที่สองนี้แสดงเค้าโครงของ "หมวดหมู่ทฤษฎี 2.0" ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการสั่งซื้อที่สูงขึ้นอย่างถูกต้องอาจมีลักษณะเช่นนี้]

เรารู้จักกันมานานว่าจะจัดการกับฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้นในการให้เหตุผลเกี่ยวกับพวกเขาได้อย่างไร

เมื่อโครงสร้างพีชคณิตมีการดำเนินการลำดับสูงกว่า homomorphisms ไม่ทำงาน เราต้องใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะแทน กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องย้ายจาก " โครงสร้างการรักษาหน้าที่ " เป็น " ความสัมพันธ์โครงสร้างการรักษา"
หากต้องการพูดคุยเกี่ยวกับการแปลงรูปแบบ "สม่ำเสมอ" หรือ "ให้" พร้อมกันสำหรับประเภทที่มีลำดับสูงกว่า naturality จะไม่ทำงาน เราต้องใช้พารามิเตอร์เชิงสัมพันธ์แทน กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องย้ายจาก "ครอบครัวรักษาmorphismsทั้งหมด" เป็น "ครอบครัวรักษาความสัมพันธ์เชิงตรรกะทั้งหมด"
$\to$

แนะนำที่รวดเร็วในปัญหาเหล่านี้อยู่ในส่วนปีเตอร์เฮิร์นใน "เชิง Parametricity" ในโดเมนและ denotational อรรถศาสตร์: ประวัติศาสตร์, ความสำเร็จและปัญหาเปิด (CiteSeerX)

ความพยายามครั้งแรกที่สร้าง "ประเภททฤษฎี 2.0" อยู่ในเฮิร์นและ Tennent ของParametricity และตัวแปรท้องถิ่น (CiteSeerX)
วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Brian Dunphy: Parametricity เป็นแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอในกราฟสะท้อนกลับ (CiteSeerX)สร้างขึ้นบนกรอบงานของพวกเขาและสร้างโครงสร้างเชิงสัมพันธ์ที่จำเป็นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เชิงพารามิเตอร์ ฉันอยากจะแนะนำวิทยานิพนธ์ของ Dunphy เพื่อให้ได้ภาพรวมที่ดีของปัญหาทั้งหมด
เพื่อความสมบูรณ์ฉันควรพูดถึงวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Claudio Hermida: Fibrations, Logical Predicates และ Indeterminates (PDF)ซึ่งเป็นคนแรกที่ศึกษาความสัมพันธ์เชิงตรรกะในบริบททางทฤษฎีหมวดหมู่ แต่การรักษาของเขาอาจเป็นเทคนิคเกินไปสำหรับคนส่วนใหญ่

ฉันอาจเพิ่มเหตุผลที่เกี่ยวกับสถานะเป็นที่ซึ่งฟังก์ชันลำดับสูงกว่าปรากฏเด่นชัด ออ-ทฤษฎีเป็นคนแรกที่รู้ว่า homomorphisms ไม่ทำงานอย่างถูกต้องในกระดาษประวัติศาสตร์ที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์ของออโตและปัญหาการครอบคลุม พวกเขาใช้คำเช่น "homomorphisms อ่อนแอ" และ "ครอบคลุมความสัมพันธ์" เพื่ออ้างถึงความสัมพันธ์เชิงตรรกะ ในระยะเวลาที่กำหนดคำศัพท์เช่น "จำลอง" และ "bisimulation" ถูกใช้เพื่ออ้างถึง บทความการสำรวจของ Davide Sangiorgi: เกี่ยวกับต้นกำเนิดของ Bisimulation และการทำเงินครอบคลุมทั้งหมดของประวัติศาสตร์ต้นนี้และอื่น ๆ

ความจำเป็นในการใช้เหตุผลเชิงสัมพันธ์ซ้ำ ๆ พืชขึ้นในการให้เหตุผลเกี่ยวกับรัฐโดยเฉพาะอย่างยิ่งการเขียนโปรแกรมที่จำเป็น มีเพียงไม่กี่คนที่สังเกตเห็นว่า "อัฒภาค" ที่ต่ำต้อยเป็นการดำเนินการตามลำดับที่สูงขึ้น ดังนั้นคุณไม่สามารถหลีกเลี่ยงการคิดเกี่ยวกับโปรแกรมที่จำเป็นโดยไม่รู้วิธีจัดการกับฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้น เรายังคงเพิกเฉยต่อปัญหาของรัฐและการเขียนโปรแกรมที่จำเป็นในความเชื่อที่ผิดที่คณิตศาสตร์มีคำตอบทั้งหมด ดังนั้นหากนักคณิตศาสตร์ไม่เข้าใจสถานะมันจะต้องไม่ดี! ไม่มีอะไรจะเพิ่มเติมจากความจริง รัฐเป็นหัวใจสำคัญของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เราจะก้าวหน้าด้านวิทยาศาสตร์โดยทั่วไปโดยแสดงให้ผู้คนเห็นวิธีจัดการกับรัฐ!

— Uday Reddy
แหล่งที่มา

@ GuyCoder ฉันคิดว่าเป็นความคิดที่ดี โดยวิธีการที่ฉันคิดว่านี้และคำถามที่จะอยู่ในหัวข้อสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ทฤษฎีในกรณีที่คุณต้องการโพสต์ที่นั่น

— Kaveh

หลังจาก dicussing กับ Uday คำถามใหม่จะไม่ถูกถามโดยเฉพาะสำหรับคำตอบที่สองนี้ :)

— Guy Coder

รัฐมีความสัมพันธ์

— Shelby Moore III