แสดงให้เห็นว่าการลบจุดสุดยอดน้อยที่สุดไปยังกราฟสองฝ่ายคือ NP-complete

พิจารณาปัญหาดังต่อไปนี้เช่นมีการป้อนข้อมูลเป็นกราฟอย่างง่ายและจำนวนเต็มธรรมชาติk$G$$k$

มีชุดเช่นที่เป็นสองฝ่ายและ ?$S \subseteq V(G)$$G - S$$|S| \leq k$

ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าปัญหานี้คือ - สมบูรณ์โดยการลด 3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET หรือ -VERTEX COVER$\rm{NP}$$k$$k$$k$

ฉันเชื่อว่าฉันสามารถลดปัญหา 3 สีได้ดังนั้นฉันจะต้องดูวิธีลดปัญหาที่กล่าวถึงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น แต่ตั้งแต่นั้นจะค่อนข้างยุ่งฉันสงสัยว่าถ้ามีคนเห็นการลดลงของปัญหาดังกล่าวข้างต้น

นอกจากนี้ยังมีชื่อสำหรับปัญหาการตัดสินใจนี้หรือไม่?

ปัญหาของคุณคือกรณีพิเศษของปัญหาในวงกว้างที่ชื่อว่าปัญหาการลบโหนด :

JM Lewis และ M. Yannakakis "ปัญหาการลบโหนดสำหรับคุณสมบัติทางพันธุกรรมคือ NP-complete"

... บทความนี้เกี่ยวข้องกับคลาสของปัญหากราฟที่กำหนดดังต่อไปนี้:
สำหรับคุณสมบัติกราฟคงที่ให้ค้นหาจำนวนโหนดขั้นต่ำ (หรือจุดยอด) ซึ่งจะต้องลบออกจากกราฟที่กำหนดเพื่อให้ผลลัพธ์เป็นไปตาม . เราเรียกสิ่งนี้ว่าปัญหาโหนดลบสำหรับ\ผลของเราแสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นขี้ปะติ๋วทรัพย์สินซึ่งเป็นกรรมพันธุ์ใน subgraph เทพแล้วปัญหาโหนดการลบเป็น NP-ยาก นอกจากนี้หากเราเพิ่มเงื่อนไขที่ทดสอบสำหรับ$\Pi$$G$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$สามารถดำเนินการได้ในเวลาพหุนามจากนั้นผลลัพธ์ของเราบ่งบอกว่าปัญหาการลบโหนดสำหรับนั้นสมบูรณ์ NP ...$\Pi$

ปัญหาของคุณคือปัญหาการลบโหนดสำหรับ bipartitenessแต่ (ตามที่บันทึกไว้โดย Pal) เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่าเป็นปัญหาOdd cycle traversal (OCT)

แก้ไข

สำหรับสิ่งที่เกี่ยวกับการลดโดยตรงฉันคิดว่าอันนี้จาก 3SAT

รับอินสแตนซ์ของ 3SAT ที่มีตัวแปรและอนุประโยคให้สร้างกราฟต่อไปนี้: เพิ่มสองโหนดสำหรับแต่ละตัวแปรและขอบระหว่างพวกเขา ในการจำลองการมอบหมายความจริงให้เพิ่มโหนดสำหรับตัวแปรแต่ละตัวและเชื่อมต่อพวกเขาทั้งสองกับและ ; ในวิธีนี้ในการที่จะทำให้การลบฝ่ายกราฟที่มากที่สุดโหนดอย่างน้อยหนึ่งระหว่างและต้องถูกลบ สุดท้ายสำหรับข้อแต่ละเพิ่ม 4 โหนดและสร้างวงจรแปลกที่เชื่อมต่อตัวแปรในC_j$n$$m$$x_i, \overline{x_i}$$n+1$$x_i$$x_i$$\overline{x_i}$$n$$x_i$$\overline{x_i}$$C_j$$C_j$

ส่งผลให้กราฟสามารถทำลบสองฝ่ายที่มากที่สุดโหนดและถ้าหากสูตร 3SAT เดิมพอใจ$G$$n$