การคำนวณเมทริกซ์ผกผันเมื่อองค์ประกอบเปลี่ยนแปลง

18

รับเมทริกซ์ ให้เมทริกซ์ผกผันของเป็น (นั่นคือ ) สมมติว่าองค์ประกอบหนึ่งในมีการเปลี่ยนแปลง (สมมติว่าเพื่อ ) วัตถุประสงค์คือการหาหลังจากการเปลี่ยนแปลงนี้ มีวิธีการค้นหาวัตถุประสงค์นี้ที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการคำนวณเมทริกซ์ผกผันอีกครั้งตั้งแต่เริ่มต้นหรือไม่ $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี: ฉันพบกระดาษต่อไปนี้ที่จัดการกับปัญหาที่แน่นอน: Sankowski, Piotr "การปิด Transitive แบบไดนามิกผ่าน Dynamic matrix Inverse" รากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, 2004. ดำเนินการ. การประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 45 ของ IEEE ที่ IEEE, 2004.

— AJed

หากกระดาษตอบรับหรือแก้ไขปัญหาของคุณในบางกรณีก็สามารถเพิ่มคำตอบได้! :) หลังจากทั้งหมดความคิดเห็นอาจถูกลบได้ตลอดเวลา

— Juho

12

สูตรเชอร์แมนมอร์ริสันจะช่วย:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

ปล่อยและ , โดยที่คือเวกเตอร์คอลัมน์พื้นฐานมาตรฐาน คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าหากเมทริกซ์ที่อัพเดตเป็นแล้ว $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

7

$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— อดัม
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี แต่สิ่งนี้แตกต่างจาก Yuval รุ่นก่อนหน้าอย่างไร

— AJed

1

A^{- 1}

$A^{-1}$