2
ปัญหาความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันครอบคลุม (ในทฤษฎีกราฟ)
ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเซตจุดสุดยอดที่ จำกัด สามารถแสดงด้วยกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งเป็นสหภาพที่แยกออกจากกัน ชุดจุดสุดยอดแสดงให้เห็นถึงองค์ประกอบและขอบแสดงให้เห็นว่าทั้งสององค์ประกอบจะเทียบเท่า ถ้าฉันมีกราฟและกราฟเราบอกว่าถูกปกคลุมด้วยถ้าชุดของขอบของเท่ากับชุดของขอบของ, ชุดขอบของไม่จำเป็นต้องแยกออก โปรดทราบว่ากราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางใด ๆสามารถครอบคลุมได้โดยมีจำนวนเท่ากันของความสัมพันธ์ที่เท่ากันGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGG ฉันมีคำถามหลายข้อ: สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับความสัมพันธ์จำนวนเท่ากันที่น้อยที่สุดที่จำเป็นสำหรับการครอบคลุมกราฟ ?GGG เราจะคำนวณจำนวนขั้นต่ำนี้ได้อย่างไร? เราจะคำนวณการครอบคลุมขั้นต่ำที่ชัดเจนของอย่างไรเช่นชุดของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมซึ่งมีขนาดน้อยที่สุดและครอบคลุมใดGGGGGG ปัญหานี้มีแอปพลิเคชันนอกเหนือจากโลจิคัลพาร์ติชัน ( คู่ของตรรกะของชุดย่อย ) หรือไม่? ปัญหานี้มีชื่อที่ยอมรับแล้วหรือไม่? จากความเข้าใจผิดต่างๆที่ระบุโดยความคิดเห็นต่อไปนี้เป็นภาพบางส่วนที่แสดงให้เห็นถึงแนวคิดเหล่านี้ หากคุณมีความคิดที่จะเข้าใจคำศัพท์ได้ง่ายขึ้น (แทนที่จะเป็น "ปก", "ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน", "disjoint union of cliques" และ "ไม่จำเป็นต้องแยกจากกัน" ชุดของขอบ) อย่าลังเลที่จะแจ้งให้เราทราบ นี่คือภาพของกราฟและความสัมพันธ์หนึ่งอันที่ครอบคลุม: นี่คือภาพของกราฟและความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันสองตัวที่ครอบคลุม: มันควรจะค่อนข้างชัดเจนว่าต้องมีความสัมพันธ์อย่างน้อยสองความสัมพันธ์ นี่คือรูปภาพของกราฟและความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันสามค่าที่ครอบคลุม: มันชัดเจนน้อยกว่าว่าต้องมีความสัมพันธ์อย่างเท่าเทียมกันอย่างน้อยสามอย่าง Lemma 1.9 จากDual of the Logic of Subsetsสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่านี่เป็นเรื่องจริง ลักษณะทั่วไปของบทแทรกนี้ไปยังการดำเนินการ nand ที่มีมากกว่าสองอินพุตเป็นแรงจูงใจสำหรับคำถามนี้