1
จำนวนกลุ่มในกราฟสุ่ม
มีตระกูลของกราฟสุ่มมีโหนด ( เนื่องจาก Gilbert ) ขอบแต่ละที่เป็นไปได้อย่างอิสระจะถูกแทรกเข้าไปในที่มีความน่าจะเป็นพีให้เป็นจำนวน cliques ขนาดในP)G(n,p)G(n,p)G(n, p)nnnG(n,p)G(n,p)G(n, p)pppXkXkX_kkkkG(n,p)G(n,p)G(n, p) ฉันรู้ว่าE(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}แต่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร วิธีแสดงว่าE(Xlog2n)≥1E(Xlog2n)≥1\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1สำหรับn→∞n→∞n\to\infty ? และวิธีแสดงให้เห็นว่าE(Xc⋅log2n)→0E(Xc⋅log2n)→0\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0สำหรับn→∞n→∞n\to\inftyและค่าคงที่คงที่ตามอำเภอใจc>1c>1c>1 ?