คุณสมบัติระดับโลกของชั้นเรียนทางพันธุกรรม?

คลาสของโครงสร้างทางพันธุกรรม (เช่นกราฟ) เป็นสิ่งที่ถูกปิดภายใต้โครงสร้างย่อยที่เหนี่ยวนำหรือปิดอย่างเท่าเทียมกันภายใต้การกำจัดจุดสุดยอด

คลาสของกราฟที่ยกเว้นผู้เยาว์มีคุณสมบัติที่ดีที่ไม่ขึ้นอยู่กับผู้เยาว์ที่ยกเว้น Martin Grohe แสดงให้เห็นว่าสำหรับคลาสกราฟที่ยกเว้นผู้เยาว์มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับ isomorphism และตรรกะจุดคงที่ที่มีการนับจับเวลาพหุนามสำหรับคลาสกราฟเหล่านี้ (Grohe การ กำหนดจุดคงที่และเวลาพหุนามบนกราฟที่มีผู้เยาว์ที่ไม่รวม LICS, 2010) สิ่งเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นคุณสมบัติ "ทั่วโลก"

มีคุณสมบัติ "ทั่วโลก" ที่คล้ายกันซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชั้นเรียนทางพันธุกรรม (กราฟหรือโครงสร้างทั่วไปมากขึ้น)?

มันจะเป็นการดีถ้าเห็นคำตอบแต่ละข้อเน้นไปที่คุณสมบัติเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

คุณสมบัติทางพันธุกรรมนั้น "แข็งแกร่ง" มากในแง่ต่อไปนี้

โนกะอาลอนและ Asaf Shapira แสดงให้เห็นว่าสำหรับการใด ๆ คุณสมบัติทางพันธุกรรมถ้ากราฟGต้องการมากกว่าε n 2ขอบที่จะเพิ่มหรือลบออกเพื่อตอบสนองPแล้วมี subgraph ในG , ขนาดที่มากที่สุดฉP ( ε )ซึ่งไม่ตอบสนองP ที่นี่ฟังก์ชันfขึ้นอยู่กับคุณสมบัติP เท่านั้น (และไม่ใช่ขนาดของกราฟGเป็นต้น) แอร์ดิชได้คาดเดาเช่นนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติของk -colorability เท่านั้น${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

อันที่จริงแล้ว Alon และ Shapira พิสูจน์ความจริงที่แข็งแกร่งขึ้นดังต่อไปนี้: ให้สำหรับϵใน( 0 , 1 ) , มีN ( ϵ ) , h ( ϵ )และδ ( ϵ )เช่นนั้นถ้ากราฟGมีอย่างน้อยNจุดและความต้องการอย่างน้อยε n 2ขอบเพิ่ม / ลบออกเพื่อตอบสนองPแล้วอย่างน้อยδส่วนของ subgraphs เหนี่ยวนำให้เกิดในชั่วโมงจุดที่ subgraph ชักนำให้เกิดการละเมิด${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$P ดังนั้นถ้า ϵและ Pมีคุณสมบัติคงที่เพื่อทดสอบว่ากราฟอินพุตเป็นที่น่าพอใจ Pหรือ ϵ -far จากการตอบสนอง Pแล้วเพียงแค่ต้องการค้นหาขอบของกราฟย่อยที่เกิดขึ้นแบบสุ่มขนาดคงที่จากกราฟและ ตรวจสอบว่าเป็นไปตามคุณสมบัติหรือไม่ ผู้ทดสอบดังกล่าวมักจะยอมรับกราฟที่น่าพอใจ Pและจะปฏิเสธกราฟ ϵ -far ไม่ให้น่าพอใจด้วยความน่าจะเป็นคงที่ ยิ่งกว่านั้นคุณสมบัติใด ๆ ที่สามารถทดสอบด้านเดียวในแง่นี้เป็นสมบัติทางพันธุกรรม! ดูกระดาษโดย Alon และ Shapira สำหรับรายละเอียด${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

นี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณนึกถึง แต่มีข้อ จำกัด ที่ทราบกันว่ามีกราฟจำนวนเท่าใดในจุดยอดที่มีในกราฟทางพันธุกรรม ตัวอย่างเช่นไม่มีกราฟทางพันธุกรรมที่มีระดับระหว่าง2 Ω ( n $n$$2^{\Omega(n)}$และกราฟบนnจุดยอด$2^{o(n\log{n})}$$n$

การอ้างอิง: E. Scheinerman, J. Zito, กับขนาดของคลาสทางพันธุกรรมของกราฟ, วารสาร Combinatorial Theory Series B

เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับคำตอบของเทรวิส ในความเป็นจริงมันอาจถือเป็นรุ่นที่แข็งแกร่ง

กระดาษโดย Bollob \ 'เป็นและสันแสดง (Combinatorica, 2000) ว่าใน Erd \ H {o} SR \' Enyi กราฟสุ่ม (กับพีบางส่วนคงที่คงที่) ทุกคุณสมบัติทางพันธุกรรมสามารถประมาณโดยสิ่งที่พวกเขา เรียกคุณสมบัติพื้นฐาน พื้นฐานเกือบหมายความว่ากราฟที่มีจุดสุดยอดชุดมีสหภาพแรงงานRเรียนsซึ่งชมรมช่วงและR - sซึ่งครอบคลุมอิสระชุด แต่ไม่มาก ประมาณนี้จะใช้ในลักษณะขนาดของที่ใหญ่ที่สุด$G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$ -SET เช่นเดียวกับจำนวน -chromatic ของG n $\mathcal{P}$โดยที่ Pคือสมบัติทางพันธุกรรมที่ตายตัว หากpอนุญาตให้เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมนั้นไม่เป็นที่เข้าใจ$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานนี้และงานที่เกี่ยวข้องมีการสำรวจโดย Bollob \ 'เป็น (การดำเนินการตามกฎหมายของ ICM 1998) ซึ่งยังให้การคาดเดาที่น่าดึงดูดใจตามสายเหล่านี้ แต่สำหรับกราฟ

ฉันพบว่าการเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างคุณสมบัติทางพันธุกรรมและความสม่ำเสมอของ Szem \ 'eredi ของเลมม่าที่น่าสนใจมากเพราะมันถูกใช้ทั้งที่นี่และในผลลัพธ์ของ Alon และ Shapira

คำตอบของ Suresh เกี่ยวกับการคาดคะเน AKR ทำให้ฉันคิดถึงการคาดเดาแบบเดียวกันสำหรับคุณสมบัติทางพันธุกรรม ฉันคิดว่า (ยกเว้นกรณีที่ฉันทำผิดพลาด) ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติทางพันธุกรรมที่ไม่สำคัญทั้งหมดมีความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจ (สุ่มและกำหนดขึ้นได้) ซึ่งตัดสินการคาดคะเน AKR สำหรับคุณสมบัติดังกล่าว$\Theta(n^2)$

ฉันพยายามค้นหาวรรณกรรมเพื่อดูว่ามีการแสดงที่ใดที่หนึ่ง แต่ไม่พบข้อมูลอ้างอิง ดังนั้นฉันไม่สามารถหามัน แต่มันมีอยู่หรือทฤษฎีบทไม่น่าสนใจหรือฉันได้ทำผิดพลาด

ดังนั้นนี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของคุณสมบัติโกลบอลของคุณสมบัติกราฟทางพันธุกรรมทั้งหมด

$\Omega(n^c)$$c>0$

นี่คือทิศทาง "ย้อนกลับ" แต่การคาดคะเนของ Aanderaa-Rosenberg-Karp ที่รู้จักกันดีนั้นนำไปใช้กับคุณสมบัติกราฟที่มีโมโนโทนขึ้นไป (เช่นถ้า G ตอบสนองคุณสมบัติแล้วกราฟใด ๆ บนโหนดเดียวกันที่มีขอบชุดประกอบด้วย E (G ))