เรื่องความซับซ้อนของ Bandwidth Minimization

ปัญหาแบนด์วิธกราฟถูกกำหนดดังนี้ ได้รับกราฟซึ่งเป็นรูปแบบของคือการทำแผนที่หนึ่งต่อหนึ่งจุดของบนจำนวนเต็ม\} แบนด์วิดธ์ของถูกกำหนดให้เป็น$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$\}

แบนด์วิดธ์ของ$G$ชี้แนะ$bw(G)$ถูกกำหนดให้เป็นแบนด์วิดธ์ต่ำสุดของรูปแบบขั้นต่ำถูกยึดรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

คำถามการตัดสินใจคือ: ให้กราฟ$G$และจำนวนเต็ม$k$ , คือ$bw(G) \le k$ ?

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกัน NP-สมบูรณ์แม้สำหรับต้นไม้ในระดับสูงสุดสาม [ ผลซับซ้อนสำหรับแบนด์วิดธ์ลด Garey, Graham, Johnson และ Knuth, SIAM J. Appl. คณิตศาสตร์ฉบับที่ 34, ฉบับที่ 3, 1978] ผู้เขียนแสดงให้เห็นว่าสามารถทดสอบว่ากราฟมีแบนด์วิดท์สูงสุดสองในเวลาพหุนามหรือไม่ กรณี$bw \le 3$เปิดอยู่

มีความซับซ้อนของคดี$bw \le 3$หรือไม่? เรารู้อะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาเมื่อ$k$ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต แต่ค่าคงที่อย่างน้อย$4$ ?

การอ้างอิงจะดี

ปัญหาแบนด์วิดธ์เป็น -hard ทั้งหมดทีมันแสดงให้เห็นโดย Bodlaender และคณะ ใน "Beyond NP-completeeness สำหรับปัญหาความกว้างที่ จำกัด " ดูกระดาษ$W[t]$$t$

ในทางกลับกันก็ยังเป็นที่รู้จักกันที่ใดไม่ว่าจะเป็นกราฟให้มีแบนด์วิดธ์ที่มากที่สุดสามารถตัดสินใจในเวลา นี่ก็หมายความว่าปัญหาแบนด์วิดธ์ที่อยู่ในXPดูเอกสารอื่นโดยแซ็กซ์$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$