เปิดปัญหากับขอบเขตของ TCS

ในหัวข้อปัญหาที่สำคัญยังไม่แก้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎี? , Iddo Tzameret แสดงความคิดเห็นที่ยอดเยี่ยมต่อไปนี้:

ผมคิดว่าเราควรแยกแยะระหว่างปัญหาที่สำคัญเปิดที่ถูกมองว่าเป็นปัญหาพื้นฐานเช่นและปัญหาเปิดที่สำคัญซึ่งจะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเทคนิคถ้าแก้ไขได้ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นพื้นฐานเช่นขอบเขตที่ต่ำกว่าการชี้แจงเกี่ยวกับวงจร (เช่นAC ^ 0 + \ mod 6 เกตส์ ) ดังนั้นเราจึงควรเปิดวิกิชุมชนใหม่ที่มีชื่อว่า "ปัญหาเปิดในเขตแดนของ TCS" หรือสิ่งที่คล้ายกัน$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

เนื่องจาก Iddo ไม่ได้เริ่มกระทู้ฉันจึงคิดว่าฉันจะเริ่มกระทู้นี้

บ่อยครั้งที่นักวิจัยทำงานในสาขาที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เปิดกว้างของสาขาที่เกี่ยวข้อง แต่ประเด็นที่งานวิจัยปัจจุบันติดอยู่ไม่เป็นที่รู้จักของคนนอก ตัวอย่างที่ยกมาเป็นตัวอย่างที่ดี ในฐานะที่เป็นบุคคลภายนอกเป็นที่ชัดเจนว่าหนึ่งในปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในความซับซ้อนของวงจรคือการแสดงให้เห็นว่า NP ต้องการวงจรขนาดพหุนาม แต่บุคคลภายนอกอาจไม่ทราบว่าจุดที่เราติดอยู่นั้นกำลังพยายามพิสูจน์ขอบเขตล่างของเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับวงจรAC ^{0 ที่}มีประตู mod 6 (แน่นอนอาจจะมีปัญหาวงจรซับซ้อนอื่น ๆ ของความยากลำบากที่คล้ายกันซึ่งจะอธิบายการที่เราจะติดอยู่. นี้จะไม่ซ้ำ.) อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแสดงเวลาพื้นที่ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ SAT ดีกว่า n 1.801

หัวข้อนี้สำหรับตัวอย่างเช่นนี้ เนื่องจากเป็นการยากที่จะจำแนกลักษณะของปัญหาดังกล่าวฉันจะให้ตัวอย่างบางส่วนของคุณสมบัติที่ปัญหาดังกล่าวมี:

1. มักจะไม่ใช่ปัญหาใหญ่ของสนาม แต่จะเป็นปัญหาใหญ่หากแก้ไข
2. มักจะไม่ยากอย่างไม่น่าเชื่อในแง่ที่ว่าถ้ามีคนบอกคุณว่าปัญหาได้รับการแก้ไขเมื่อวานนี้นี้จะไม่ยากเกินไปที่จะเชื่อ
3. ปัญหาเหล่านี้มักจะมีตัวเลขหรือค่าคงที่ที่ไม่ได้เป็นพื้นฐาน แต่เกิดขึ้นเพราะสิ่งนี้เกิดขึ้นกับที่เราติดอยู่
4. ปัญหาที่เขตแดนของเขตข้อมูลเฉพาะจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาเมื่อเทียบกับปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในเขตข้อมูลซึ่งจะยังคงเหมือนเดิมเป็นเวลาหลายปี
5. บ่อยครั้งที่ปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดที่ยังคงเปิดอยู่ ตัวอย่างเช่นเราไม่มีขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับ AC ¹เช่นกัน แต่เนื่องจาก [6] รวมอยู่ในคลาสนั้นมันง่ายกว่าที่จะแสดงขอบเขตล่างสำหรับ [6] อย่างเป็นทางการขอบเขตปัจจุบันของความซับซ้อนของวงจร$AC^0$$AC^0$

กรุณาโพสต์หนึ่งตัวอย่างต่อคำตอบ ใช้รายการใหญ่มาตรฐานและอนุสัญญา CW หากใครบางคนสามารถอธิบายประเภทของปัญหาที่เรากำลังมองหาได้ดีกว่าที่ฉันมีโปรดแก้ไขโพสต์นี้และทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสม

แก้ไข: Kaveh แนะนำว่าคำตอบรวมถึงคำอธิบายว่าทำไมปัญหาที่กำหนดอยู่ที่ชายแดน ตัวอย่างเช่นทำไมเราจึงมองหาขอบเขตที่ต่ำกว่ากับ AC ⁰ [6] และไม่ใช่ AC ⁰ [3] คำตอบคือเรามีขอบเขตที่ต่ำกว่ากับ AC ⁰ [3] แต่คำถามที่ชัดเจนคือทำไมวิธีการเหล่านั้นจึงล้มเหลวสำหรับ AC ⁰ [6] มันจะดีถ้าคำตอบสามารถอธิบายได้เช่นกัน

นี่คือสามในการวิจัยเส้นทางที่สั้นที่สุด:

$1$ . มีขั้นตอนวิธีเชิงเส้นตรงสำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุดในแหล่งเดียวในกราฟกำกับด้วยน้ำหนักที่ไม่ติดลบอย่างน้อยในรูปแบบการคำนวณ word-RAM หรือไม่? โปรดทราบว่ามีอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับกราฟที่ไม่มีทิศทาง (ดูกระดาษของ Thorup) ขึ้นอยู่กับว่ามี Hagerup รันไทม์ของสำหรับกราฟกำกับที่มีน้ำหนักล้อมรอบด้วย W มีอัลกอริทึมเร็วขึ้นหรือไม่$O(n+m\log w)$$2^w$

$2$ . มีอัลกอริธึม polylogสำหรับทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟกำกับที่ไม่มีน้ำหนักหรือไม่? (เป็นสัญลักษณ์ของการคูณเมทริกซ์) รันไทม์ดีที่สุดในปัจจุบันคือโดยซวิคและสำหรับกราฟไม่มีทิศทางปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ใน polylog n)$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงยากขึ้นหรือไม่)

$3$ . มีอัลกอริทึมสำหรับทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟ node ที่มีน้ำหนักเป็น { } หรือไม่ หรือมีการลดลงจากปัญหาทั่วไปที่ทุกคู่เส้นทางที่สั้นที่สุดในข้อ จำกัด นี้หรือไม่?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงแล้วในคำถาม:

เปิด:

แยกออกจาก (วงจรความลึก 2) $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(ดูอัปเดตด้านล่าง)

[พฤศจิกายน 11, 2010] เฉพาะกิจจาก[6] เฉพาะกิจจาก 0$EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

เป็นที่รู้จัก:

1. [อเล็กซานเดอร์แราซ โบรอฟ 1987 - โรมัน Smolensky 1987]ไม่ได้อยู่ในถ้าเป็นนายกรัฐมนตรีและไม่ได้เป็นอำนาจของพี$MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay และ Avi Wigderson 2009] ปล่อยให้ m, q เป็นจำนวนเต็มร่วมเช่น m เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีสองปัจจัยหลัก ให้ C เป็นวงจรประเภทใดที่เป็นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือประตูและประตูที่ฐานมีชุดที่ยอมรับโดยพลการ ถ้า C คำนวณแล้วด้านบนพัดลมในและด้วยเหตุนี้ขนาดวงจรจะต้องเป็น(n)}}$MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

ผลลัพธ์ในภายหลังนั้นขึ้นอยู่กับการได้รับขอบเขตความสัมพันธ์แบบ exponential ของฟังก์ชันกับมีความลึก 2 และประมาณค่าผลบวกเลขชี้กำลังที่เกี่ยวข้องกับพหุนามระดับต่ำ$MOD_q$

อุปสรรค:

อัปเดต [พ.ย. 10, 2010]

กระดาษโดยไรอันวิลเลียมส์ที่ดูเหมือนว่าจะมีการตัดสินเปิดปัญหานี้โดยใช้วิธีการที่น่าจะเป็นหลักที่แตกต่างจากที่กล่าวข้างต้น:

[ไรอันวิลเลียมส์ 2010]ไม่ได้ไม่สม่ำเสมอวงจรขนาด(1)}}$E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

อ้างอิง:

• AA Razborov ขอบเขตล่างบนขนาดของเครือข่ายความลึกที่ จำกัด บนพื้นฐานที่สมบูรณ์พร้อมด้วยการเพิ่มตรรกะ (รัสเซีย) ใน Matematicheskie Zametki, 41 (4): 598–607, 1987. การแปลภาษาอังกฤษในวิชาคณิตศาสตร์ของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต, 41 (4): 333–338, 1987

• Smolensky ร. วิธีพีชคณิตในทฤษฎีขอบเขตล่างสำหรับความซับซ้อนของวงจรบูลีน ใน STOC หน้า 77–82 พลอากาศเอก 2530

• Arkadev Chattopadhyay และ Avi Wigderson ระบบเชิงเส้นเหนือโมดูลัสคอมโพสิต , FOCS 2009

• Ryan Williams วงจรไม่สม่ำเสมอของ ACC ที่ต่ำกว่าขอบเขต , 2010, ร่าง (ส่งมาแล้ว)

ให้ CNF-SAT เป็นปัญหาในการพิจารณาว่าสูตร CNF ที่กำหนดนั้นเป็นที่น่าพอใจหรือไม่ (ไม่มีข้อ จำกัด ด้านความกว้างของคำสั่ง)

CNF-SAT เกี่ยวกับตัวแปรและคำสั่งแก้ปัญหาได้ในเวลาสำหรับบ้างไหม?$n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

นี่เป็นปัญหาเปิดที่รู้จักกันดีในพื้นที่ของ "อัลกอริธึมที่เร็วกว่าสำหรับ NP" ฉันไม่คิดว่ามันจะประสบความสำเร็จในสถานะของ "ปัญหาเปิดที่สำคัญ" แต่มันได้รับความสนใจค่อนข้างมาก อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีทำงานในเวลา (เช่นที่นี่ )$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

ที่เกี่ยวข้องกับการชี้แจงเวลาสมมติฐาน (ที่ 3SAT ไม่ได้อยู่ในเวลา subexponential) นอกจากนี้ยังมี"Strong ชี้แจงเวลาสมมติฐาน"ว่าเวลาทำงานที่เหมาะสมที่สุดสำหรับ -SAT ลู่ไปเป็น\ ผลที่ตามมาอย่างหนึ่งของ Strong-ETH คือคำตอบของคำถามข้างต้นคือไม่ สมมติฐานที่เป็นไปได้หลายข้อบ่งบอกว่าคำตอบคือใช่แต่ใครจะรู้$k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

ฉันคิดว่ามันเป็นหนึ่งในปัญหาเหล่านั้นที่ดูเหมือนว่าจะ "ได้รับการแก้ไข" อย่างใดอย่างหนึ่ง: เราจะแสดงคำตอบใช่หรือเราจะแสดงว่าคำตอบใช่หมายถึงบางสิ่งที่สำคัญมาก ในกรณีแรกเราจะมีความพึงพอใจในการแก้ไขปัญหาในกรณีที่สองเราจะยกระดับคำถามให้เป็น "ปัญหาเปิดที่สำคัญ" ... ไม่มีคำตอบหมายถึงและ ใช่คำตอบหมายถึงสิ่งที่สำคัญมาก :)$P \neq NP$

คำถามที่ว่าต้นไม้ตัดสินใจเป็น PAC ที่เรียนรู้ได้ดูเหมือนจะเป็นแนวหน้าของทฤษฎีการเรียนรู้คอมพิวเตอร์หรือไม่

เปิด

ต้นไม้การตัดสินใจ (DTs) PAC สามารถเรียนรู้ได้ภายใต้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอในตัวอย่าง (หรือโดยทั่วไป) หรือไม่?

ที่รู้จักกัน

• DT ไม่สามารถเรียนรู้ได้ภายใต้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอด้วยสถิติการสืบค้น (SQs) [ Blum et al. '94 ]
• DTs แบบสุ่มสามารถเรียนรู้ได้ภายใต้การแจกจ่ายแบบสม่ำเสมอ [ Jackson, Servedio '05 ]
• montone DTs สามารถเรียนรู้ได้ภายใต้การแจกแบบฟอร์ม [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• การวิเคราะห์ที่ราบรื่นสำหรับการเรียนรู้ DTs ภายใต้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ [ Kalai, Teng '08 ]

เหตุผลนี้เป็นปัญหาที่น่าสนใจและสำคัญเนื่องจากต้นไม้การตัดสินใจนั้นมีความเป็นธรรมชาติมากและต่างจากออโตมาตะซึ่งเราไม่ได้รับผลการเข้ารหัสที่ทำให้เกิดปัญหาสิ้นหวัง ความคืบหน้าของคำถามนี้อาจทำให้เข้าใจได้ว่า DTs (และคลาสที่คล้ายกัน) สามารถเรียนรู้ได้หรือไม่โดยไม่มีการตั้งสมมติฐานแบบกระจาย สิ่งนี้อาจมีผลกระทบในทางปฏิบัตินอกเหนือจากการพัฒนาทางทฤษฎี

ปัญหานี้ดูเหมือนว่าจะได้รับการจัดการจากทุกด้าน เรารู้ว่าภายใต้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอในตัวอย่าง: ต้นไม้ตัดสินใจแบบโมโนโทนสามารถเรียนรู้ได้ต้นไม้ตัดสินใจแบบสุ่มสามารถเรียนรู้ได้และมีการวิเคราะห์ที่ราบรื่นเช่นกัน เรารู้ด้วยว่าอัลกอริทึม SQ จะไม่แก้ปัญหานี้ และยังมีความคืบหน้าอย่างต่อเนื่องในพื้นที่นี้ ในทางกลับกันนี่เป็นปัญหาหนักที่เปิดมาระยะหนึ่งแล้วดูเหมือนว่าจะเหมาะกับรายการ "เปิดปัญหาบนพรมแดนของ TCS"

โปรดทราบว่ามีผลลัพธ์อื่น ๆ ที่ฉันไม่ได้ไปเกี่ยวกับความแข็งของการเรียนรู้ DT ที่เหมาะสมความสามารถในการเรียนรู้ DTs ด้วยการค้นหาและความแข็งของการเรียนรู้แม้กระทั่งการสุ่ม DTsด้วย SQs

เปิด:

แสดงขอบเขตล่างในโมเดลโพรบของเซลล์สำหรับปัญหาโครงสร้างข้อมูลแบบสแตติกที่ชัดเจนซึ่งพิสูจน์ว่าภายใต้ข้อ จำกัด พื้นที่บางส่วน "ที่สมเหตุสมผล" (เช่นพื้นที่นั้นเป็นพหุนามในขนาดของอินพุต) ดังนั้นเวลาเคียวรีต้องอยู่ที่ น้อยที่สุด T โดยที่ T ใหญ่กว่า log | Q | โดยที่ Q คือชุดคำสั่ง สิ่งนี้เรียกว่า "log | Q | -barrier" (หรือบางครั้งในทางที่ผิดชื่อ "logn-barrier")

เป็นที่รู้จัก:

1. ขอบเขตที่ต่ำกว่าสูงกว่าบันทึก | Q | สำหรับปัญหาโดยนัย (ดูการสำรวจของ Miltersen )

2. ขอบเขตที่ต่ำกว่าสูงกว่าบันทึก | Q | ที่มีข้อ จำกัด ด้านพื้นที่มาก (เช่นขอบเขตล่างสั้น ๆ )

3. ขอบเขตที่ต่ำกว่าสูงกว่าบันทึก | Q | สำหรับปัญหาแบบไดนามิก (ซึ่งฉันหมายถึงว่าหากเวลาอัปเดตน้อยมากดังนั้นเวลาสืบค้นจะต้องมีขนาดใหญ่มากหรือในทางกลับกันดูตัวอย่างขอบเขตล่างของ Patrascu สำหรับผลรวมบางส่วน)

4. ขอบเขตที่ต่ำกว่าในรุ่น จำกัด เช่นเครื่องชี้, รุ่นเปรียบเทียบ ฯลฯ

5. ขอบเขตล่างที่ทำลายบันทึก | Q | สิ่งกีดขวางไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการลดความซับซ้อนมาตรฐานในการสื่อสารเนื่องจากอลิซสามารถส่งข้อความค้นหาเองได้ซึ่งใช้เพียงบันทึก | Q | บิตและดังนั้นจึงง่ายต่อการตรวจสอบว่าการลดจะไม่ให้ขอบเขตล่างที่ดีกว่านี้ ดังนั้นต้องใช้ขอบเขต "ดั้งเดิม" กับโมเดลโพรบของเซลล์หรือต้องใช้การลดความซับซ้อนในการสื่อสารที่ชาญฉลาด

ในชั้นเรียนของความซับซ้อนในระดับต่ำมีปัญหาที่น่าสนใจเกี่ยวกับลักษณะของ {}$\mathsf{NL}$

เปิด:

แสดงให้เห็นว่าไม่ว่าจะเป็นเท่ากับ{}$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

$\mathsf{UL}$ , logspace ที่ไม่คลุมเครือเป็นคลาสที่ประกอบด้วยปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดย -machine พร้อมข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่มีอย่างน้อยหนึ่งที่ยอมรับเส้นทางการคำนวณ$\mathsf{NL}$

เป็นที่รู้จัก:

• ภายใต้ไม่สม่ำเสมอสถานการณ์โพลี} [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• ภายใต้สมมติฐานที่เป็นไปได้ความแข็ง (ต้องใช้วงจรขนาดชี้แจง) ผลของ [RA00] สามารถderandomizedแสดงให้เห็นว่า{} [ARZ99]$\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• reachabilityกราฟ 3 หน้าเป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับ{} [PTV10]$\mathsf{NL}$
• reachabilityกราฟ 2 หน้าแก้ปัญหาสำหรับ{} [BTV09]$\mathsf{UL}$
• หากแล้วL} [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

UNKNOWN:

• ชั้นกลางซึ่งถูกกำหนดให้เป็นปัญหาที่แก้ไขได้โดย -machine มีเส้นทางการคำนวณที่มากที่สุดหลาย polynomially ยอมรับอยู่ระหว่างและ{} ไม่รู้จักการยุบ$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• เป็นที่รู้กันว่าโดยทฤษฎีบท Immerman-Szelepcsényiที่มีชื่อเสียงในขณะที่ยังคงเปิดอยู่หรือไม่$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

ปัญหาการเปิด PCP บางอย่าง:

• มาตรวัดการเลื่อนขนาด ใน PCP เราต้องการให้ข้อผิดพลาดของตัวตรวจสอบมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ BGLRคาดเดาว่าข้อผิดพลาดสามารถไปได้จนถึงโดยที่คือการสุ่ม (มีขอบเขตชัดเจนต่ำกว่า ) ราคาที่คุณจ่ายสำหรับการลดข้อผิดพลาดคือการเพิ่มตัวอักษรอย่างเหมาะสมเท่านั้น$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

อีกอย่างเป็นทางการ: การคาดคะเนก็คือว่ามี ac อยู่เช่นนั้นสำหรับธรรมชาติ r สำหรับทั้งหมดมีตัวตรวจสอบ PCP ที่ใช้ r randomness เพื่อทำให้การสืบค้นสองข้อนั้นสมบูรณ์แบบ ความสมบูรณ์และความผิดพลาดความมั่นคง\ตัวอักษรการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับ1$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

สำหรับข้อความค้นหาสองข้อข้อผิดพลาดที่รู้จักกันดีที่สุดคือสำหรับ (M-Raz, 2008) เราสามารถรับข้อผิดพลาดสำหรับใด ๆด้วยจำนวนการสืบค้นที่ขึ้นอยู่กับ (DFKRS)$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

ขอบเขตล่างของ c (เช่นอัลกอริธึมการประมาณค่า) ก็ถูกค้นหาเช่นกัน

ดูแบบสำรวจของ Irit Dinurสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

• PCP ความยาวเชิงเส้น มีรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดระยะสูงที่มีความยาวเชิงเส้น มี PCP ที่มีความยาวเชิงเส้นหรือไม่?

โดยเฉพาะเราต้องการตัวตรวจสอบเพื่อความพึงพอใจของสูตร SAT ที่มีจำนวนข้อความค้นหาคงที่, ตัวอักษรคงที่และข้อผิดพลาดคงที่และเข้าถึงการพิสูจน์ความยาวเชิงเส้นในความยาวของสูตรหรือไม่ สิ่งนี้เปิดแม้ว่าข้อผิดพลาดจะอยู่ใกล้กับ 1 (แต่ดีกว่าเล็กน้อย), ตัวอักษรแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลย่อยและจำนวนข้อความค้นหาย่อยเชิงเส้น$1-1/n$

ความยาวที่รู้จักกันดีที่สุดคือสำหรับข้อผิดพลาดคงที่และสำหรับข้อผิดพลาดย่อยคงที่$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

พิสูจน์ว่าทุกมีภาษาในที่ไม่มีวงจร (ไม่เหมือนกัน) ที่มีสายจำได้ว่า{kn}] นั่นคือพิสูจน์วงจร superlinear ขอบเขตที่ลดลงเป็นเวลาชี้แจงกับการเข้าถึง oracle$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

Aรหัสถอดรหัสแบบดั้งเดิม (LDC)เป็นแผนที่ซึ่งมีอัลกอริธึมเรียกว่าตัวถอดรหัสเฉพาะที่ ซึ่งใส่เป็นจำนวนเต็มและคำที่ได้รับที่แตกต่างจากสำหรับบางมากที่สุดตำแหน่งเศษส่วน, ค้นหาค่าพิกัดส่วนใหญ่ของและเอาต์พุตด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย\ LDC บอกว่าเป็นเส้นตรงถ้า$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$เป็นฟิลด์และคือเชิงเส้น แอลดีซีมีแอปพลิเคชั่นมากมายในทฤษฎีความซับซ้อนและความเป็นส่วนตัว$C$$\mathbb{F}$

สำหรับและค่าคงที่สถานการณ์จะได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ รหัส Hadamard เป็นLDC เชิงเส้นเชิงเส้นที่มีและสิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดแม้กระทั่งสำหรับ LDC ที่ไม่เป็นเชิงเส้น แต่ที่นี่เป็นแดนหน้า! ทันทีที่เราทำจะมีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างขอบเขตบนและล่างที่รู้จัก ขอบเขตบนที่ดีที่สุดในปัจจุบันคือLDC เชิงเส้นแบบสอบถามบนฟิลด์ จำกัด ใด ๆ (และแม้แต่ reals และคอมเพล็กซ์) ที่มีความซับซ้อนของแบบสอบถาม [ Efremenko '09 , Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ] ขอบเขตล่างที่ดีที่สุดคือ$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$สำหรับ linear -query LDC เหนือทุกฟิลด์และสำหรับทั่วไป -query LDC's [ Woodruff '10 ] สถานการณ์ของการสืบค้นจำนวนมากนั้นยิ่งเลวร้ายลงไปอีก$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

ช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ระหว่างความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมเชิงกำหนดและข้อผิดพลาด 2 ด้านสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดคืออะไร

เปิด:

มีฟังก์ชันทั้งหมดที่มีความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัมเป็น T หรือไม่และความซับซ้อนของการสอบถามที่กำหนดขึ้นมาคือω (T ² ) หรือไม่

มีฟังก์ชันทั้งหมดที่มีความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัมเป็น T หรือไม่และความซับซ้อนของการสอบถามที่กำหนดขึ้นมาคือ is (T ⁴ ) หรือไม่

ถ้าฟังก์ชั่นทั้งหมดสามารถคำนวณได้ด้วยการสืบค้น T โดยอัลกอริทึมควอนตัมมันสามารถคำนวณได้โดยการค้นหาโดยอัลกอริทึมที่กำหนดหรือไม่?$o(T^6)$

เป็นที่รู้จัก:

หากความซับซ้อนแบบสอบถามควอนตัมของฟังก์ชั่นรวมเป็น T ซับซ้อนแบบสอบถามที่กำหนดคือ6) (อ้างอิง)$O(T^6)$

ช่องว่างที่รู้จักกันมากที่สุดนั้นสามารถทำได้โดยฟังก์ชัน OR ซึ่งทำให้เกิดช่องว่างกำลังสอง

อัปเดต (21 มิถุนายน 2558) : ตอนนี้เรารู้ว่าฟังก์ชั่นที่ได้รับการแยกแบบสี่ส่วน ดูhttp://arxiv.org/abs/1506.04719

สันนิษฐานว่าฟังก์ชั่น OR บรรลุช่องว่างที่เป็นไปได้สูงสุด

ตามคำแนะนำของแอชลีย์ให้ฉันเพิ่มปัญหาเดียวกันสำหรับการคำนวณที่แน่นอน

เปิด:

มีฟังก์ชันทั้งหมดที่มีความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมที่แน่นอนคือ T และมีความซับซ้อนของการสอบถามที่กำหนดขึ้นมาคือหรือไม่?$\omega(T)$

เป็นที่รู้จัก:

หากความซับซ้อนแบบสอบถามควอนตัมที่แน่นอนของฟังก์ชั่นรวมเป็น T ซับซ้อนแบบสอบถามที่กำหนดคือ3) (อ้างอิง)$O(T^3)$

ช่องว่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือปัจจัยที่ 2

Update (5 พฤศจิกายน 2012) : นี้ได้รับการปรับปรุงในประโยชน์ Superlinear สำหรับกลไกควอนตัมที่แน่นอนโดยแอนดรีสแอ็มเบ นิส จากนามธรรม: "เรานำเสนอตัวอย่างแรกของฟังก์ชั่นบูลีน f (x_1, ... , x_N) ซึ่งอัลกอริทึมควอนตัมที่แน่นอนมีข้อได้เปรียบ superlinear เหนืออัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นใด ๆ อัลกอริทึมที่กำหนด อัลกอริทึมควอนตัมที่แน่นอนสามารถคำนวณด้วยแบบสอบถาม O (N ^ {0.8675 ... }) ได้ "

มีปัญหาเปิดมากมายในการพิสูจน์ความซับซ้อนฉันจะพูดถึงเพียงปัญหาเดียวที่ยังคงเปิดอยู่แม้ว่าผู้เชี่ยวชาญบางคนใช้เวลาหลายปีในการพยายามแก้ไข มันเป็นรุ่นที่ซับซ้อนพิสูจน์ของรัฐในความซับซ้อนของวงจร (ดู [Segerlind07] หากคุณต้องการเห็นปัญหาที่เปิดกว้างมากขึ้นในการพิสูจน์ความซับซ้อน)

เปิด

พิสูจน์ขอบเขตการพิสูจน์พหุนามขนาดเล็กพิเศษสำหรับระบบพิสูจน์กว้าง$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (aka d-Frege + ) เป็นระบบพิสูจน์ข้อเสนอที่อนุญาตเฉพาะ (มีประตูประตู)$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

ที่รู้จักกัน

1. มีการพิสูจน์ขนาดแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ต่ำกว่าสำหรับ -Frege (aka ความลึกคงที่ Frege, d-Frege) สำหรับ (สูตรแบบประพจน์ของ Pigeon-Hole Principle กับ pigeons และหลุม) นอกจากนี้ยังมีขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับ -Frege + (ความลึกคงที่ Frege ที่มีการนับ axioms) เป็นที่รู้จักกันว่า -Frege +ไม่ได้มีการหลายชื่อ$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. มีขนาด lowerbounds วงจรชี้แจงสำหรับชั้นวงจรที่สอดคล้องกันคือมี[2]$AC^0[2]$

อ้างอิง:

• นาธาน Segerlind, "ความซับซ้อนของการพิสูจน์ข้อเสนอ", Bulletin ของ Symbolic Logic 13 (4), 2007

เปิด:

แสดงการแยก Oracle ระหว่าง QIP (2) และ AM นั่นคือปัญหาในการแสดง QIP (2) ที่ไม่อยู่ในน

ปัญหาเปิดใหญ่คือการแสดงการแยก oracle ระหว่าง BQP และ PH แต่เราไม่ได้มีการแยกระหว่าง BQP และ AM (เนื่องจาก AM อยู่ใน PH นี่ควรจะง่ายกว่า) ยิ่งแย่ไปกว่านั้นให้ BQP มีอำนาจมากขึ้นโดยอนุญาตให้ 1 รอบการโต้ตอบกับ Merlin ให้คุณเรียน QAM หรือ QIP (2) (ขึ้นอยู่กับเหรียญสาธารณะหรือเหรียญส่วนตัว) และเรายังไม่มีการแยก

เป็นที่รู้จัก:

แยกเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดคือระหว่าง BQP และปริญญาโทซึ่งมาจากบทความนี้โดยจอห์น Watrous สำหรับการเรียนซับซ้อนที่ไม่ได้ตัดสินใจเรียนปัญหาดูผลลัพธ์เหล่านี้โดยสกอตต์ Aaronson

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้เป็นปัญหาของปัญหาการเปิดพรมแดนหรือปัญหาการเปิดที่สำคัญดังนั้นยินดีรับความคิดเห็น

เปิด:

แสดงว่าแสดงถึงยุบหรือไม่$\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ ( พหุนามเวลาไม่กำกวม ) เป็นคลาสที่กำหนดเป็นปัญหาการตัดสินใจที่ตัดสินใจโดยเครื่องจักร NP ด้วยข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่

• มีอย่างน้อยหนึ่งเส้นทางการรับที่ยอมรับในอินพุตใด ๆ

ปัญหานี้ได้รับการระบุในบล็อกความซับซ้อนในปี 2003

เป็นที่รู้จัก:

ผลโดย Hemaspaandra, Naik, Ogiwara และเซลแสดงให้เห็นว่าถ้าคำสั่งต่อไปนี้ถือแล้วลำดับชั้นของพหุนามทรุดฮวบลงไปถึงระดับที่สอง

• มีความเป็นภาษาเช่นที่แต่ละสูตรใน SAT, มีที่ไม่ซ้ำกันที่ได้รับมอบหมายที่น่าพอใจด้วยในL$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

ไม่รู้จัก:

การยุบหรือการแยกใด ๆ ที่ไม่น่าเป็นไปได้

โพสต์ที่เกี่ยวข้อง: เพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยคเทียบชั้นเรียนความหมายและขึ้น NP