ผลลัพธ์ที่สวยงามใน TCS

เมื่อเร็ว ๆ นี้เพื่อนของฉัน (ทำงานใน TCS) กล่าวถึงในการสนทนาว่า "เขาต้องการเห็น / รู้ทั้งหมด (หรือมากที่สุด) ของผลลัพธ์ที่สวยงามใน TCS ในช่วงชีวิตของเขา" แบบนี้ทำให้ฉันประหลาดใจเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่สวยงามในพื้นที่นี้และด้วยเหตุนี้แรงจูงใจสำหรับคำถามต่อไปนี้:

ผลลัพธ์ใด (หรือความคิดเห็น) ที่คุณคิดว่ามีความสวยงามในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี มันจะดีถ้าคุณพูดถึงเหตุผลเช่นกัน [ก็จะดีแม้ว่าความคิดที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ แต่มีความสนใจและพบการใช้ใน TCS]

ฉันจะเริ่มต้นด้วยคำตอบในฐานะที่เป็นข้อโต้แย้งในแนวทแยงของคันทอร์เพราะมันเรียบง่ายสง่างามและยังให้ผลลัพธ์ที่ทรงพลัง

ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก

สวยด้วยเหตุผลหลายประการ มันเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้ หลักฐานใช้ diagonalisation คำแถลงนั้นนำไปใช้กับรูปแบบการคำนวณที่หลากหลาย สามารถกำหนดได้หลายวิธีโดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมมาตรฐาน มันเป็นผลมาจากลุ่มน้ำในประวัติศาสตร์ของการคำนวณ การขยายข้อความนี้นำไปสู่ทฤษฎีบทของข้าวการศึกษาระดับปริญญาของทัวริงและผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ อีกมากมาย อื่น ๆ ฯลฯ

ในความคิดของฉันการโต้ตอบของCurry-Howardเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่สวยที่สุดและสิ่งที่ผลักดันให้ฉันทำวิจัย

ความคิดที่ว่าทั้งสองระบบโปรแกรมในมือข้างหนึ่งและการพิสูจน์ในอีกแง่หนึ่งมีโครงสร้างเดียวกันเกือบจะเป็นปรัชญาธรรมชาติ: มี "รูปแบบการใช้เหตุผล" ทั่วไปหรือไม่?

ความเป็นไปได้ของการเข้ารหัสคีย์สาธารณะตัวอย่างเช่นโครงการแลกเปลี่ยนคีย์ Diffie-Hellman

เป็นการแบ่งแนวคิดที่แข็งแกร่งมากที่ผู้คนต้องพบเจอก่อนที่จะแลกเปลี่ยนความลับในช่องทางที่ไม่ปลอดภัย

ฉันรู้สึกประหลาดใจกับอัลกอริธึมของ Euclid สำหรับฉันมันเป็นเครื่องพิสูจน์ถึงพลังแห่งการคิดของมนุษย์ - ผู้คนสามารถเข้าใจอัลกอริธึมเช่นนี้เร็ว (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาลถ้าฉันเชื่อมั่นในความทรงจำของฉัน)

การส่งต่ออย่างรวดเร็วมีวรรณกรรมทำให้มึนงงใจในเรื่อง ฉันคิดว่ารายชื่อของ Scott Aaronson น่าจะมีประโยชน์ในเรื่องนี้ - แม้ว่าอย่างที่ Aaronson บอกเองว่ามันไม่สมบูรณ์

เทคนิคของ Yao เพื่อใช้ทฤษฎีบท Minmax ของ von Neumann เพื่อพิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับอัลกอริทึมแบบสุ่ม ฉันพบว่ามันเป็นอะไรบางอย่างในโลกนี้

วิธีการที่น่าจะเป็นเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของวัตถุที่เราพบว่ามันยากที่จะสร้างรวมถึง Lovasz Local Lemma เทคนิคเหล่านี้เรียบง่าย แต่ทรงพลัง

ทฤษฏีการเข้ารหัสของ Madhu Sudan ใช้พหุนาม

ส่วนขยาย (เริ่มจากกราฟ Ramanujan) และ Extractors และแอปพลิเคชันใน Pseudorandomness

อัลกอริทึมการแปลงฟูริเยร์เร็วของ Cooley และ Tukey เพื่อค้นหา DFT (แม้ว่าตามที่ Tukey สันนิษฐานว่านี่เป็นการค้นพบเทคนิคที่รู้จักกันดีอย่างน้อยก็รู้จัก Gauss!)

ทฤษฎีบทของ Barrington (ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจมากในเวลานั้น)

ทฤษฎีการทำซ้ำแบบขนาน (แม้ว่าผลลัพธ์จะดี แต่การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องง่าย)

ฟังก์ชัน Lovasz Theta เพื่อประเมินความจุของแชนนอนของกราฟ

อัลกอรึทึมอัลกอรึธึมที่แสดงว่า LP อยู่ใน P น่าแปลกใจมากในเวลาที่หลายคนยังสงสัยว่ามันอาจจะเป็น NP-Complete

หนึ่งในคำตอบที่ชัดเจนที่สุดยังไม่ได้เพิ่ม บางครั้งคนเราทำงานมากเกินไปกับบางสิ่งบางอย่างที่จะเห็นมันอย่างเป็นกลาง ทฤษฎีของ NP ครบถ้วนโดยเปิดตัว Cook / เลวินและขยายทันทีโดยคาร์พที่ให้ข้อบ่งชี้ต้นของ ubiquitousness ของทิพยเนตรมากยิ่งขึ้นในการหวนกลับ ในหลาย ๆ กรณีนี่คือการเกิดของ TCS และทฤษฎีความซับซ้อนที่ทันสมัยและคำถามหลัก / สำคัญ / ฉาวโฉ่ P =? NP ยังคงเปิดหลังจากสี่ทศวรรษของการศึกษา / โจมตีที่รุนแรง P =? NP ได้รับรางวัล Claymath $ 1M สำหรับการแก้ปัญหา

หลักฐานการทำอาหารแนะนำ NDTM ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎี แต่เป็นส่วนพื้นฐานที่สำคัญที่สุดของ TCS เปิดตัวเรือนับพันเพื่อพูด ยิ่งไปกว่านั้นมันยังคงต่อต้าน / ท้าทายความพยายามอย่างต่อเนื่องผ่านหนึ่งในเทคนิคสำคัญอื่น ๆ / ที่มีประสิทธิภาพ TCS ที่กล่าวถึงในรายการนี้เส้นทแยงมุมที่เห็นในเช่นผลการพยากรณ์ Oracle BGS-75 / Relativization โซลูชันยังแนะนำเพิ่มเติม / ขยายเพิ่มเติมโดยกระดาษพิสูจน์ธรรมชาติของ Razborov-Rudich (รางวัล Godel 2007)

มีหลาย ๆ หลาย refs ใน subj แต่อีกหนึ่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ด้วยบัญชีมือ 1 ของประวัติศาสตร์สามารถพบได้ในThe P =? NP คำถามและจดหมายหายของ Godelโดย RJ Lipton

Kolmogorov ซับซ้อนและวิธีการ incompressibility

วิธีการบีบอัดข้อมูล - ขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของ Kolmogorov - เป็นวิธีการพิสูจน์หลักฐานแบบใหม่และใช้งานง่าย ในการพิสูจน์ทั่วไปโดยใช้วิธีการบีบอัดไม่ได้คนแรกเลือกวัตถุที่ไม่สามารถบีบอัดได้จากชั้นเรียนภายใต้การสนทนา อาร์กิวเมนต์คงเส้นคงวาบอกว่าถ้าคุณสมบัติที่ต้องการไม่ได้เก็บไว้ในทางตรงกันข้ามกับสมมติฐานที่วัตถุสามารถถูกบีบอัดและนี้ yelds ขัดแย้งที่จำเป็น

ดูตัวอย่างการพิสูจน์ว่ามีจำนวนอนันต์จำนวนมากการพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Godel หรือการเชื่อมต่อระหว่าง Kolmogorov Complexity และ Computational Complexity , ....

ผมเป็น (และยังคง am) ประหลาดใจโดยKleene ที่สองของ Recursion ทฤษฎีบท บนพื้นผิวนั้นดูเรียบง่ายและไม่มีประโยชน์มากนัก แต่ภายหลังฉันพบว่ามันลึกทั้งในเชิงคณิตศาสตร์และเชิงปรัชญา

เมื่อฉันอ่านเกี่ยวกับตัวแปรที่พิสูจน์ได้จาก Turing Machines (อย่างไม่เป็นทางการมากที่ระบุว่าเครื่องจักรสามารถรับรายละเอียดของตนเองหรือเทียบเท่าว่ามีเครื่องจักรที่ส่งคำอธิบายของตัวเองเช่นโปรแกรมที่พิมพ์ตัวเอง .. ) ฉันรู้สึกว่าสมองของฉันบิด ยากเหลือเกิน จากนั้นคุณจะเห็นว่าทฤษฎีบทถูกใช้เพื่อให้การพิสูจน์บรรทัดเดียวสำหรับความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก

ทฤษฎีการเข้ารหัสของแชนนอนและแชนนอน

คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างระหว่างผู้รับส่งและสื่อและที่ละเว้นความหมายของข้อความเป็นขั้นตอนใหญ่ เอนโทรปีในบริบทของข้อมูลเป็นแนวคิดที่มีประโยชน์น่าอัศจรรย์ และเนื่องจากทฤษฎีสารสนเทศควรเป็นที่รู้จักกันดีกว่า

ผลลัพธ์ที่สวยงามซึ่งสร้างขึ้นจากทฤษฎีบท PCP ระบุว่ามันยากที่จะคำนวณ (NP-hard) เพื่อตอบสนองข้อ 8/8 มากกว่า 3 ของสูตร 3SAT แม้จะเป็นที่น่าพอใจ

ขั้นตอนวิธีของชอร์สำหรับแฟใน BQP ในความเห็น / ความทรงจำของฉันการคำนวณควอนตัมเป็นเพียงความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎีจนกระทั่งผลลัพธ์นี้ในปี 1994 ณ จุดที่ดูเหมือนว่าวรรณกรรมและงานวิจัยที่สนใจในการคำนวณ QM นั้นได้ขยายออกไป ยังคงเป็นหนึ่งในอัลกอริทึม QM ที่สำคัญที่สุดที่รู้จักกัน ได้รับรางวัล 1999 Gödel มันยังแสดงให้เห็นว่าในการคำนวณ QM แฟ็กเตอริ่งจริง ๆ แล้วในความหมายที่ค่อนข้างเข้าใจได้ดีกว่าในการคำนวณแบบดั้งเดิมที่ e กรัมคำถามที่ว่าแฟ็กเตอริ่งคือสมบูรณ์ NP ยังคงเปิดอยู่

ดูเหมือนว่าสำหรับฉันการทดสอบแบบดั้งเดิมของAKS P-timeนั้นค่อนข้างสวยงามในหลาย ๆ ด้าน การพัฒนาในเวลานั้นเป็นหนึ่งในการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ แต่หายากในทฤษฎีความซับซ้อนในช่วงชีวิตของเรา มันแก้ปัญหาย้อนหลังไปถึงยุคกรีกโบราณและเกี่ยวข้องกับอัลกอริทึมที่เร็วที่สุดที่คิดค้นขึ้นมา (ตะแกรงของ eratosthenes) คือการระบุช่วงเวลาอย่างมีประสิทธิภาพ มันเป็นข้อพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ที่การตรวจจับแบบดั้งเดิมนั้นอยู่ใน P แทนที่จะเป็นข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมมากมาย

มันเชื่อมต่อกับอัลกอริธึมการเข้ารหัส RSA ที่กล่าวถึงในคำตอบอื่นเนื่องจากอัลกอริทึมนั้นจำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาที่มีขนาดใหญ่อย่างรวดเร็วก่อนที่อัลกอริทึม AKS จะเป็นไปได้ มันเชื่อมโยงกับทฤษฎีเชิงตัวเลขและปัญหาเชิงลึกอื่น ๆ เช่นการคาดเดาของรีมันน์ซึ่งในหลาย ๆ วิธีเป็นอาณาจักรดั้งเดิมของอัลกอริทึม

ได้รับรางวัลGödelปี 2549 และรางวัล Fulkerson 2006

ฉันคิดว่ากราฟทฤษฎีบทเล็กน้อยโดย Robertson และ Seymour เป็นทฤษฎีที่ยอดเยี่ยมที่สุดที่ฉันเคยเห็น (และอ่านบางส่วน) ก่อนอื่นมันเงียบซับซ้อน แต่การคาดเดาฐานไม่ยากและทุกคนที่ทำงานใน TCS สามารถเดาได้ ความพยายามอย่างสุดยอดของพวกเขาในการพิสูจน์พวกเขานั้นยอดเยี่ยมมาก อันที่จริงหลังจากที่ฉันอ่านบทความในชุดนั้นฉันเข้าใจพลังของจิตใจมนุษย์

กราฟของทฤษฎีบทย่อยก็มีผลกระทบอย่างมากกับสาขาต่าง ๆ ของ TCS เช่นเดียวกับทฤษฎีกราฟ, อัลกอริทึมการประมาณ, อัลกอริธึม parametrized, ตรรกะ, ...

หนึ่งในครอบครัวที่ฉันชื่นชอบที่สุดคือผลลัพธ์ที่เกิดจากปัญหาต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

1. ทฤษฎีลำดับแรกของฟิลด์ปิดจริงคือ decidable (โดย Tarski) เรขาคณิตแบบยูคลิดยังเป็นรูปแบบของสัจพจน์ของสนามปิดจริงดังนั้นโดย Tarski งบลำดับแรกในรูปแบบนี้จึงสามารถตัดสินใจได้
2. เลขคณิตของ Presburger สามารถนำมาคำนวณได้
3. ทฤษฎีลำดับแรกของฟิลด์ที่ปิดทางพีชคณิต (ซึ่งรวมถึงจำนวนเชิงซ้อน) นั้นสามารถถอดรหัสได้
4. ตรรกะลำดับที่สองแบบ Monadic สำหรับคำที่ไม่มีที่สิ้นสุด (และ จำกัด ) จะถูกตัดสินได้ การพิสูจน์มีความสง่างามและสามารถสอนให้นักเรียนได้เรียนรู้

มีผลลัพธ์ที่น่ารักมากมายเกี่ยวกับอัลกอริธึมที่น่าจะเป็นซึ่งหลอกลวงง่าย ๆ และเป็นก้าวที่ยอดเยี่ยมในวิธีที่เราคิดเกี่ยวกับการคำนวณ

เคล็ดลับของ von Neumann สำหรับการนำเหรียญที่ยุติธรรมมาใช้กับลำเอียง ตอนนี้เราคุ้นเคยกับอัลกอริธึมที่น่าจะเป็นแล้ว แต่จากมุมมองภายนอกสิ่งนี้ยอดเยี่ยมอย่างไม่น่าเชื่อ ทั้งอัลกอริทึมและการพิสูจน์สามารถเข้าถึงได้โดยทุกคนที่รู้ความน่าจะเป็นของโรงเรียนมัธยม

ผลจากทิมกริฟฟินที่ควบคุมผู้ปฏิบัติงานเช่นที่call/ccเกี่ยวข้องกับตรรกะคลาสสิกการขยายการติดต่อกันของ Curry-Howard

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

บทความของเขา"แนวคิดเกี่ยวกับสูตรการควบคุม" ปรากฏใน POPL 1990

สิ่งที่ฉันโปรดปรานคืออัลกอริธึมเชิงเส้นของ Rabin สำหรับการคำนวณจุดคู่ที่ใกล้ที่สุดในระนาบ มันผ่านความสำคัญของรูปแบบการคำนวณพลังของอัลกอริธึมแบบสุ่มและวิธีที่สง่างามในการคิดอัลกอริทึมแบบสุ่ม

นี้กล่าวว่างานยังห่างไกลจากการบรรลุระดับของความสง่างามหนึ่งในการเผชิญหน้าในวิชาคณิตศาสตร์ (ดีพวกเขามีปี 5000 เริ่มต้นหัว) จากคำนิยามพื้นฐาน / ผลในแคลคูลัสโทโพโลยี (ทฤษฎีบทจุดคงที่) combinatorics เรขาคณิต (พีทาโกรัสทฤษฎีบทhttp : //en.wikipedia.org/wiki/File: Pythag_anim.gif ) ฯลฯ

หากคุณมองหาความงามมองหามันได้ทุกที่ ...

ผลลัพธ์นี้อาจเป็นบิตเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่จะมีคุณสมบัติเป็นพื้นฐาน แต่ฉันเชื่อว่าการตีความประเภทเป็นแบบ homotopyมีคุณสมบัติ มุมมองนี้จะช่วยให้การตีความประเภทจากประเภททฤษฎีสร้างสรรค์เป็นชุดที่มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตบางอย่างในกรณีนี้ฮอมอโท

ฉันคิดว่ามุมมองนี้จะสวยงามเป็นพิเศษเพราะมันทำให้การสังเกตที่ซับซ้อนก่อนหน้านี้เกี่ยวกับทฤษฎีการพิมพ์ง่ายเช่นความจริงที่ว่า"สัจพจน์ K" นั้นไม่สามารถทำได้

ภาพรวมของข้อมูลรุ่นนี้โดยสตีฟออโวเดีย้สามารถพบได้ที่นี่

การพิสูจน์ความรู้ไร้ศูนย์เป็นแนวคิดที่น่าสนใจมาก จะช่วยให้เอนทิตี้ของ, ผู้พิสูจน์, เพื่อพิสูจน์ (ด้วยความน่าจะเป็นสูง) ไปยังเอนทิตี้อื่น, ผู้ตรวจสอบ, ที่รู้ "ความลับ" (วิธีแก้ปัญหาของปัญหา NP- บางส่วน, สแควร์รูทแบบแยกส่วนของตัวเลขจำนวนหนึ่ง บันทึกหมายเลขบางส่วนและอื่น ๆ …) โดยไม่ต้องให้ข้อมูลใด ๆ เลยเกี่ยวกับความลับ (ซึ่งเป็นเรื่องยากในแวบแรกเนื่องจากแนวคิดแรกสำหรับการพิสูจน์ว่าคุณทราบความลับคือการบอกความลับจริง ๆ และการสื่อสารใด ๆ ที่อาจส่งผลให้ ผู้ตรวจสอบที่เชื่อว่าคุณรู้ว่าความลับสามารถเพิ่มความรู้ของผู้ตรวจสอบเกี่ยวกับความลับได้เท่านั้น)