ตัวอย่างที่ความเท่าเทียมกันนั้นง่าย แต่การหาตัวแทนระดับยาก

สมมติว่าเรามีคลาสของวัตถุ (พูดกราฟสตริง) และความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันในวัตถุเหล่านี้ สำหรับกราฟนี่อาจเป็นกราฟมอร์ฟิซึม สำหรับสตริงเราสามารถประกาศสองสตริงที่เทียบเท่ากันได้ถ้าเป็นแอนนาแกรมของกันและกัน

ฉันสนใจในการคำนวณตัวแทนสำหรับคลาสที่เทียบเท่า นั่นคือฉันต้องการฟังก์ชั่น f () เช่นนั้นสำหรับวัตถุสองอย่างใด x, y, f (x) = f (y) iff x และ y เทียบเท่า (*)

สำหรับตัวอย่างของแอนนาแกรม f (s) สามารถเรียงลำดับตัวอักษรในสตริงได้เช่น f ('cabac') = 'aabcc' สำหรับกราฟมอร์ฟมอร์ฟิซึมเราสามารถใช้ f (G) เป็นกราฟ G 'ที่ isomorphic ถึง G และเป็นกราฟแรกของ lexicoraphically ที่มีคุณสมบัตินี้

ตอนนี้คำถาม: มีตัวอย่างที่ปัญหาของการพิจารณาว่าองค์ประกอบสองอย่างที่เทียบเท่ากันคือ "ง่าย" (เวลาแก้ปัญหาโพลี) ในขณะที่การหาตัวแทนเป็นเรื่องยาก (เช่นไม่มีอัลกอริทึมเวลาโพลีเพื่อคำนวณ f () ที่เป็นไปตาม *))

$x$$y$$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

ง่ายต่อการทดสอบว่าตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันนั้นเทียบเท่าหรือไม่: คำนวณ gcd ของพวกเขาทดสอบว่ามันไร้สาระหรือไม่ทดสอบว่า gcd นั้นน้อยกว่าปัจจัยร่วมหรือไม่

แต่มันไม่ชัดเจนว่าจะคำนวณหาฟังก์ชั่นตัวแทนในเวลาพหุนามและถ้าคุณเพิ่มข้อกำหนดที่จะต้องเทียบเท่ากับแล้วฟังก์ชันตัวแทนใด ๆ จะช่วยให้เราสามารถแยกผลิตภัณฑ์ส่วนใหญ่ของสองช่วงเวลาได้ เป็นตัวแทนของตัวเอง)f ( x ) $f$$f(x)$$x$

สองจำนวนเต็ม modเทียบเท่าถ้า mod nถ้าใครสามารถคำนวณคลาสตัวแทนสำหรับฟังก์ชันนี้ได้อย่างง่ายดายการแฟสามารถทำได้ในเวลาพหุนามน่าจะเป็นn x 2 ≡ y 2$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

โดยทั่วไปตัวอย่างเช่นจะบ่งบอกว่าNP สมมติว่าคือความสัมพันธ์แบบสมมูลที่สามารถถอดรหัสได้ในเวลาพหุนาม จากนั้นโดยการค้นหาพจนานุกรมโดยใช้ oracle เราสามารถค้นหาองค์ประกอบ lexicographically น้อยที่สุดในชั้นเทียบเท่าของสตริงใด ๆ ถ้าสิ่งนี้จะกลายเป็นเวลาพหุนามดังนั้นคุณสามารถใช้สตริงที่เทียบเท่าน้อยที่สุดในพจนานุกรมเป็นตัวแทนของคลาส การสังเกตครั้งนี้เกิดจาก Blass and Gurevich [1]R N P P = N $P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

ตัวอย่างเช่นนี้ยังหมายถึง (และด้วยเหตุนี้ในอนุภาค, )P ≠ U $UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

คำถามที่คุณถามคือสิ่งที่เราใช้แทนในบทความของเรากับ Lance Fortnow [2] บทความนั้นยังรวมถึงผลลัพธ์ที่ฉันได้กล่าวไว้ที่นี่เช่นเดียวกับตัวอย่างของฟังก์ชันแฮชที่ Peter Shor ชี้ให้เห็นอีกตัวอย่างที่เป็นไปได้และผลลัพธ์และคำถามที่เกี่ยวข้อง$PEq =? Ker(FP)$

[1] Blass กและซค์วายEquivalence ความสัมพันธ์คงที่และรูปแบบปกติ SIAM J. Comput 13 (4): 682-689, 1984

[2] Fortnow, L. และ Grochow, JA Complexity Classes ของปัญหาความเท่าเทียมกันกลับมาอีกครั้ง แจ้ง. และคำนวณ 209 (4): 748-763 2011 นอกจากนี้ยังมีอยู่บนarXiv

"ตัวแทน" จะต้องอยู่ในชั้นเทียบเท่าหรือไม่

หากเป็นเช่นนั้นให้ใช้ฟังก์ชันแฮชที่ cryptographically strongพร้อมกับความต้านทานการชน$f$

ให้ถ้า\, มันง่ายที่จะทดสอบว่ามีสองสิ่งที่เทียบเท่ากันหรือไม่ แต่ถ้าให้คุณสามารถหา preimage มาตรฐานของจากนั้นคุณสามารถหาสองสตริงและที่\, นี่ควรจะเป็นเรื่องยาก (นั่นคือความต้านทานการชน)f ( x ) = f ( y $x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$h x y f ( x ) = f ( y $f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$

แน่นอนว่านักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีฟังก์ชันแฮชที่มีการเข้ารหัสที่แข็งแกร่งและมีการต้านทานการชน แต่มีผู้สมัครจำนวนมาก

ขั้นแรกให้สิ่งที่คุณถามจริง ๆ แล้วเรียกว่า invariant ที่สมบูรณ์ รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับหรือปกติยังกำหนดให้เทียบเท่ากับสำหรับทุกx(การขอ "ตัวแทน" ค่อนข้างคลุมเครือเนื่องจากผู้เขียนบางคนอาจหมายถึงสิ่งนี้เพื่อรวมเงื่อนไขของแบบฟอร์มมาตรฐาน)$f(x)$$x$$x$

ประการที่สองโปรดยกโทษให้การส่งเสริมตนเองที่ไร้ยางอาย แต่นี่เป็นหนึ่งในคำถามที่ Fortnow และฉันทำงาน [1] เราแสดงให้เห็นว่าหากความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันซึ่งสามารถตัดสินใจได้ในก็มีค่าคงที่ที่สมบูรณ์ในแล้วสิ่งเลวร้ายก็จะเกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันจะบ่งบอกถึง{} ถ้าเป็นรุ่นที่สัญญาของคำสั่งนี้ถือ (ดูทฤษฎีบท 4.6) แล้วและ{}$\mathsf{P}$$\mathsf{FP}$$\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$$\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$

ตอนนี้ถ้าคุณต้องการรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ (ตัวแทนของแต่ละระดับความเท่าเทียมที่อยู่ในระดับความเท่าเทียมกัน) เราจะแสดงสิ่งที่เลวร้ายยิ่งขึ้น นั่นคือถ้าทุก ๆ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันใน decidable ในพหุนามมีเวลารูปแบบมาตรฐานโพลี - เวลาจากนั้น:

• จำนวนเต็มสามารถแยกตัวประกอบในเวลาโพลีน่าจะเป็น
• การปะทะกันฟรีฟังก์ชันแฮชที่สามารถได้รับการประเมินในไม่อยู่$\mathsf{FP}$
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$P H = B P P (ดังนั้น )$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$

นอกจากนี้ยังมีออราเคิลไปทั้งสองวิธีสำหรับงบเหล่านี้ส่วนใหญ่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเนื่องจากเราและ Blass and Gurevich

ถ้าแทนที่จะเป็นตัวแทน "ใด ๆ " คุณจะถามองค์ประกอบน้อยที่สุดในระดับเทียบเท่าในการค้นหาองค์ประกอบเล็กที่สุดในระดับเทียบเท่าอาจเป็น -hard (ในความเป็นจริง -hard) - แม้ว่า ความสัมพันธ์มีรูปแบบบัญญัติพหุนามเวลา [2]$NP$$P^{NP}$

[1] Lance Fortnow และ Joshua A. Grochow มีการทบทวนคลาสที่ซับซ้อนของปัญหาความเท่าเทียมกัน แจ้ง. และคำนวณ 209: 4 (2554), 748-763 นอกจากนี้ยังมีarXiv: 0907.4775v2

[2] Andreas Blass และ Yuri Gurevich ความสัมพันธ์สมมูลค่าคงที่และรูปแบบปกติ SIAM J. Comput 13: 4 (1984), 24-42

ต่อไปนี้เป็นความพยายามของคำตอบอื่นที่เราคลายข้อกำหนดใน "ตัวแทน"; ไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของคลาสสมมูล แต่เป็นฟังก์ชันที่ระบุคลาสที่เทียบเท่า

สมมติว่าคุณมีกลุ่มที่คุณสามารถทำการทดสอบความเป็นสมาชิกกลุ่มย่อยได้ นั่นคือการได้รับคุณสามารถตรวจสอบว่าอยู่ในกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยg_k h g g 1 , … , g $g_1, g_2, \ldots, g_k$$h$$g_1, \ldots, g_k$

ใช้คลาสการเทียบเท่าของคุณเป็นชุดขององค์ประกอบที่สร้างกลุ่มย่อยเดียวกัน ง่ายต่อการตรวจสอบว่าสองชุดสร้างกลุ่มย่อยเดียวกันหรือไม่ อย่างไรก็ตามยังไม่ชัดเจนว่าคุณจะสามารถหาตัวระบุที่ไม่ซ้ำกันสำหรับทุกกลุ่มย่อยได้อย่างไร ฉันสงสัยว่านี่เป็นตัวอย่างจริง ๆ ถ้าคุณถือว่ากลุ่มกล่องดำที่มีการทดสอบการเป็นสมาชิกกลุ่มย่อย อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่ามีกลุ่มที่ไม่ใช่ oracle ที่ปัญหานี้ดูเหมือนว่าจะยากหรือไม่$g_1, g_2, \ldots, g_k$

นี่คือตัวอย่างที่วางแผนไว้ วัตถุเป็นคู่โดยที่คือสูตร SAT และเป็นการกำหนดค่าที่เสนอให้กับตัวแปร พูดถ้าและ (a)และทั้งสองเป็นไปตามที่ได้รับมอบหมายหรือ (b)และทั้งสองไม่พอใจการมอบหมาย นี่คือการสะท้อนแสงสมมาตรและสกรรมกริยา แต่ละ unsatisfiableมีชั้นสมมูลหนึ่งประกอบด้วยทั้งหมดX) แต่ละอันน่าพอใจมีคลาสทั้งหมดโดยที่$(H,X)$$H$$X$$(H,X) \sim (H',X')$$H=H'$$X$$X'$$X$$X'$$H$$(H,X)$$H$$(H,X)$$X$ เป็นงานที่น่าพอใจและอีกชั้นหนึ่งกับคนที่ไม่พอใจ

ตรวจสอบว่าเป็นเรื่องง่ายเนื่องจากเราเพียงแค่ตรวจสอบว่าแล้วถ้าตอบสนองแล้วถ้าตอบสนองHแต่การคำนวณสมาชิกบัญญัติของคลาสที่กำหนดกับพอใจโดย$(H,X) \sim (H',X')$$H=H'$$X$$H$$X'$$H$$(H,X)$$H$$X$ดูเหมือนจะยากเกินไป (ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์ความแข็งได้ดีที่สุด) เราสามารถสร้างโซลูชันพิเศษสำหรับอินสแตนซ์ SAT ได้อย่างง่ายดายดังนั้นการรู้วิธีแก้ปัญหาหนึ่งโดยทั่วไปจะไม่ช่วยให้เราค้นหาโซลูชันอื่น ๆ ได้ (แก้ไข: สิ่งที่ฉันหมายถึงคือฉันไม่ได้คาดหวังว่าอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการหาวิธีแก้ไขปัญหาเพิ่มเติมที่ได้รับการแก้ปัญหาแรกเพราะเราสามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหา SAT โดย "ปลูก" เป็นวิธีแก้ไขปัญหาเพิ่มเติม อัลกอริทึมดูความคิดเห็น)

นี่เป็นคำถามเปิดอย่างน้อยสำหรับกราฟ ฉันเชื่อว่าความคืบหน้าล่

Babai และ Kucera "การติดฉลากแบบกราฟของ Canonical ในเวลาเฉลี่ยเชิงเส้น" FOCS, 1979

ซึ่งให้อัลกอริธึมเชิงเส้น (คาดว่า) เวลาสำหรับกราฟบัญญัติซึ่งถูกต้องกับความน่าจะเป็น$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิกิพีเดีย โปรดทราบว่าอัลกอริทึมของ Babai รุ่น Derandomized หมายความว่าไม่มีตัวอย่างดังกล่าวสำหรับกราฟ

ทดสอบว่ามีวงจรขนาดวงจรเท่ากันหรือไม่$\leq N$

ในการตรวจสอบว่าคุณจะต้องประเมินที่จุดอินพุตเท่านั้น ในการกำหนดตัวแทนชั้นเรียนเราอาจต้องทดสอบวงจรที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับมีขนาดใหญ่พอนี่เป็นการยากกว่าการทดสอบวงจรเท่ากัน2 n 2 Ω ( N log N )$C_1 \sim C_2$$2^n$$2^{\Omega(N \log N)}$$N$

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงจากทฤษฎีเซตอธิบาย:

ขอให้เรานิยามความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมบนโดย $\sim$$\mathbb R$

นี่เป็นความสัมพันธ์แบบ "ง่าย" โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันสามารถวัดได้

แต่การหาตัวแทนจำนวนมากเพื่อหาชุด Vitaliซึ่งต้องใช้สัจพจน์ของทางเลือกและไม่สามารถวัดได้

ให้วัตถุในจักรวาลของคุณเป็นสามเท่า (โดยที่เป็นปัญหาความพึงพอใจในตัวแปร ,คือ 0 หรือ 1 และคือ bitstring ของความยาวที่ b นั่นคือคือการมอบหมายให้กับที่ตอบสนองถ้าเป็น 1 หรือไม่ได้ตอบสนองถ้าเป็น 0 $\Phi, b, i)$$\Phi$$x_0, \ldots, x_{k-1}$$b$$i$$k$$\Phi(i)=b$$i$$x_0, \ldots, x_k$$\Phi$$b$$\Phi$$b$

วัตถุสองชิ้นนั้นเทียบเท่ากันหากพวกมันมีเหมือนกัน ง่ายต่อการตรวจสอบ$\Phi$

ปล่อยให้วัตถุตัวแทนเป็นพจนานุกรมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในหมู่ทั้งหมดในระดับความเท่าเทียมกัน

ตัวแทนพบปัญหา NP-complete: มันจะแก้ปัญหา SAT เพราะถ้าพจนานุกรมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดมีดังนั้นจึงไม่น่าพอใจ ถ้ามันมีมันก็น่าพอใจ$b=0$$\Phi$$b=1$

ดูเหมือนว่าปัญหาที่สมบูรณ์แบบของ NP ส่วนใหญ่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยวิธีนี้ มันเป็นเรื่องของการวางใบรับรองความเป็นสมาชิกไว้ในการเข้ารหัสองค์ประกอบ

ฉันคิดว่านี่อาจเป็นปัญหาการบ้านซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันไม่ได้โพสต์โซลูชันก่อนหน้านี้ ฉันควรจะทำ; ฉันสามารถใช้คะแนนเหล่านั้นที่ @ david-eppstien ได้รับ ความดีรู้เขาไม่ต้องการพวกเขา

ฉันคิดว่าคุณสามารถประสบความสำเร็จได้อย่างง่ายดายสำหรับปัญหาแทบทุกประเภทที่คุณอธิบาย

ตัวอย่างเล็กน้อย: สมมติว่าวัตถุเป็นสตริงและใด ๆเทียบเท่ากับตัวเองเท่านั้น การพิจารณาว่าองค์ประกอบสองอย่างที่เทียบเท่ากันนั้นง่ายหรือไม่ (เป็นเพียงความเสมอภาค) อย่างไรก็ตามคุณสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชั่น hard injective ที่คุณชื่นชอบf ( $x$$f()$