NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

33

ใน "ในชะตาเมื่อเทียบกับการไม่นิยมและปัญหาที่เกี่ยวข้อง" (พรอ. IEEE FOCS หน้า 429-438, 1983), พอล Pippenger, Szemerédiและร็อตเตอร์พิสูจน์ให้เห็นว่า
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$ .

นี่ตอบคำถามของฉันด้วย k = 1 มีสิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับ k ที่มีค่าคงที่อื่นหรือไม่

cc.complexity-theory

— บรูโน่
แหล่งที่มา

26

ไม่รู้จักขอบเขตล่างที่ไม่มีเงื่อนไขใด ๆ สำหรับ $k \geq 2$ ในรุ่น multitape TM (หรือรุ่นใดที่แข็งแกร่งกว่ารุ่น)

$NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$ $c \geq 1$ $k$ $NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$ $TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$ เป็นคลาสของภาษาที่เครื่องรู้จักโดยใช้เวลา $n^k$ และ space $n^{k/c}$ พร้อมกัน เห็นได้ชัดว่า $TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$ แต่ไม่ทราบว่ามีความเท่ากันหรือไม่

หากคุณสมมติว่าเป็น $k \geq 2$ นั่น $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ คุณจะได้รับผลที่น่าสนใจ $P=NP$ จะเห็นได้ชัด แต่ก็ยังแสดงให้เห็นว่า ${\sf NL} \neq {\sf P}$ P} สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้อาร์กิวเมนต์ "การซื้อขายแลกเปลี่ยน" โดยพื้นฐานแล้วสำหรับทุก ๆ $k$ และทุกภาษา $L \in {\sf NL}$ มีค่าคงที่ $c$ และบางส่วนสลับเครื่องที่รับรู้ $L$ และทำการสลับ $c$ , คาดเดา $O(n)$ บิตต่อการสลับจากนั้นสลับไปยังโหมดกำหนดขึ้นและ ทำงานในเวลา $n^k$ (สิ่งนี้ตามมาจากการเล่นกับสิ่งปลูกสร้างในFortnow "การแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาเพื่อความพึงพอใจ" (1997) . ตอนนี้ถ้าดังนั้นการสลับทั้งหมดสามารถลบออกได้ด้วยค่าใช้จ่ายเพียงเล็กน้อยเท่านั้นและคุณก็จบลง กับการคำนวณที่ตระหนักถึงLดังนั้นP} อาจไม่มีการจำลองแบบสลับกันอยู่ แต่ถ้าคุณสามารถแยกแยะมันออกได้คุณจะมีขอบเขตล่างที่คุณค้นหา (หมายเหตุ: ฉันเชื่อว่าอาร์กิวเมนต์ข้างต้นยังอยู่ในเอกสารของ Kannan ด้วย) $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$ $c$ $TIME(n^k)$ $L$ ${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

11

ในขณะที่ไม่ใช่สิ่งที่คุณถามอย่างชัดเจน rj lipton แสดงความคิดเห็นในบล็อกของเขาเกี่ยวกับความยากลำบากพื้นฐานของผลลัพธ์ในพื้นที่นี้และวิธีการทั่วไปของ "padding" ใช้ไม่ได้ [1] & ชี้ให้เห็นว่าผลลัพธ์ PPST ตามที่คุณอ้างถึงเมื่อเร็ว ๆ นี้ ขยายออกเล็กน้อย (โดยปัจจัยลอการิทึม) โดย Santhanam [2] เช่น

D T I M E (n \sqrt{l o g^{*} (n)}) \neq N T I M E (n \sqrt{l o g^{*} (n)})

$\mathsf{DTIME}\left( n \sqrt{log^*(n)}\right) \neq \mathsf{NTIME}\left(n \sqrt{log^*(n)}\right)$

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392

— vzn
แหล่งที่มา

1

เอกสารฉบับปี 2001 ของ Rahul Santhanam อย่างเป็นทางการคือdx.doi.org/10.1109/CCC.2001.933895 (และแทบจะไม่นานมานี้)

— András Salamon

ลิปตันใช้วลี "อีกไม่นาน" ในบล็อกของเขาที่อ้างถึง มันเป็น "ล่าสุด" กับผล PPST 2526

— vzn