ตัวอย่างที่โดดเด่นของแนวคิดรากที่สองในการวิเคราะห์ความซับซ้อน

k = $\max \left\{k, n/k\right\}$$k=\sqrt n$

• baby-step อัลกอริทึมยักษ์ขั้นตอนสำหรับการคำนวณลอการิทึมไม่ต่อเนื่องใน$O(\sqrt n)$ ,
• ช่วง 2D แบบคงที่นับใน$O(\sqrt n)$เวลาและ$O(n)$หน่วยความจำ
• คิวลำดับความสำคัญด้วยสารสกัดจากนาทีใน$O(\sqrt[k] n)$และลดลงใน-KEY $O(1)$ ,
• การระบายสีกราฟ 3 สีด้วย$O(\sqrt n)$ในเวลาพหุนาม

เพียงเพื่อชื่อไม่กี่

แม้ว่าอัลกอริทึมดังกล่าวมักจะไม่ดีนัก แต่นักเรียนเข้าใจง่ายและแสดงให้เห็นอย่างรวดเร็วว่าขอบเขตไร้เดียงสานั้นไม่เหมาะสม นอกจากนี้โครงสร้างข้อมูลแบบสแควร์รูทความคิดบางครั้งใช้งานได้ดีกว่าคู่แบบอิงฐานสองของต้นไม้เนื่องจากความเป็นมิตรกับแคช นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันให้ความสนใจกับหัวข้อนี้มากในขณะที่สอน

ฉันสนใจตัวอย่างที่เด่นกว่านี้ ดังนั้นฉันกำลังมองหาอัลกอริทึม (สง่างามกว่า) ใด ๆ โครงสร้างข้อมูลโพรโทคอลการสื่อสาร ฯลฯ ซึ่งการวิเคราะห์อาศัยแนวคิดสแควร์รูท เส้นกำกับของพวกเขาไม่จำเป็นต้องดีที่สุด

Chazelle, Liu และ Magen ของกระดาษSublinear Geometric Algorithms (STOC 2003, SICOMP 2006) มีแอพพลิเคชั่นที่ชาญฉลาดหลายอย่างของการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มต่อไปนี้ Gärtnerและ Welzl [ DCG 2001 ] เคยใช้รูปแบบการหลอกลวงแบบเดียวกันนี้ซึ่งอ้างถึง CLR รุ่นแรก (1990)

สมมติว่าเราได้รับการเรียงลำดับรายการตัวเลขที่เชื่อมโยงวงกลมเรียงลำดับไว้ในบล็อกของหน่วยความจำที่ต่อเนื่องกัน นั่นก็คือเรามีสองอาร์เรย์และเอ็นอีx T [ 1 .. n ]ที่$Key[1..n]$$Next[1..n]$

• เก็บชุดของตัวเลข nตามลำดับโดยพลการ ;$Key[1..n]$$n$
• หากเป็นจำนวนมากที่สุดในชุดดังนั้นK e y [ N e x t [ i ] ]เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดในชุด มิฉะนั้นK อีY [ N E x T [ ผม] ]เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดในชุดที่มีขนาดใหญ่กว่าK อีY [ ผม ]$Key[i]$$Key[Next[i]]$$Key[Next[i]]$$Key[i]$

จากนั้นเราสามารถหาตัวตายตัวแทนของตัวเลขที่กำหนดในO ( $x$เวลาที่คาดหวังมีดังนี้:$O(\sqrt{n})$

• เลือกตัวอย่างแบบสุ่มขององค์ประกอบของอาร์เรย์KEปี ให้Key[j]เป็นตัวอย่างที่ใหญ่ที่สุดที่มีขนาดเล็กกว่าx(หรือตัวอย่างที่ใหญ่ที่สุดหากตัวอย่างทั้งหมดมากกว่าx)$\sqrt{n}$$Key$$Key[j]$$x$$x$

• ติดตามตัวชี้จากK อีY [ J ]จนกว่าเราจะเห็นมากขึ้นจำนวนกว่าหรือเท่ากับx (หลังจากการตัดรอบหากทุกตัวอย่างมีขนาดใหญ่กว่าx )$Next$$Key[j]$$x$$x$

การประยุกต์ใช้บทแทรกที่ค่อนข้างง่ายของ Yao แสดงให้เห็นว่าขอบเขตเวลาที่คาดว่าเหมาะสมที่สุด อัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นสำหรับปัญหานี้ต้องใช้เวลาΩ(n)ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด$O(\sqrt{n})$$\Omega(n)$

มีรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ในม.กราฟ -edge และที่พวกเขาสามารถพบได้ในO ( ม. 3 / 2 )เวลา มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ แต่ฉันคิดว่าหนึ่งในสิ่งแรกสุดคือItai และ Rodeh (STOC 1977)ที่ให้อัลกอริทึมที่ผ่านการทำซ้ำของการแสดงเวลาเป็นเส้นตรงซึ่งแต่ละอันจะกำจัดป่าที่ขยายออกจากกราฟ ในการวนซ้ำเริ่มต้นเมื่อฟอเรสต์ที่เหลือมีองค์ประกอบn - kเป็นอย่างน้อยอัลกอริทึมจะลบอย่างน้อยk edge ต่อขั้นตอนและในการวนซ้ำครั้งสุดท้ายเมื่อมีมากที่สุด$O(m^{3/2})$$m$$O(m^{3/2})$$n-k$$k$ส่วนประกอบ n - kค่าสูงสุดคือ kและลดขนาดอย่างน้อยหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ดังนั้นจำนวนการวนซ้ำทั้งหมดจึงมากที่สุด m / k + kและการเลือกการแลกเปลี่ยนที่ถูกต้องจะให้ขอบเขตโดยรวมของ O ( $n-k$$k$$m/k+k$ในการทำซ้ำและO(ม. 3 / 2 )ในเวลา$O(\sqrt m)$$O(m^{3/2})$