กราฟที่การระบายสีจุดสุดยอดอยู่ใน P แต่เซตที่เป็นอิสระคือ NP สมบูรณ์

มีตัวอย่างของคลาสของกราฟที่มีปัญหาการระบายสีจุดสุดยอดใน P แต่ชุดอิสระเป็นปัญหาคือ NP สมบูรณ์หรือไม่

ข้อความทั่วไปที่ชัดเจนกว่านี้ (พร้อมการพิสูจน์อย่างง่าย) คือปัญหาต่อไปนี้สมบูรณ์แล้ว:

อินพุต: กราฟ G, 3 สีของ G, จำนวนเต็ม k

คำถาม: G มีขนาดชุด k ที่เป็นอิสระหรือไม่?

สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการลดลงของชุดอิสระ สังเกตว่าถ้าเราเอากราฟ G เลือกขอบและแบ่งมันสองครั้ง (เช่นแทนที่ edge {u, v} ด้วยพา ธ u, x, y, v โดยที่ x และ y มีดีกรีสอง) จากนั้นจำนวนเอกราชของ G เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน (คุณสามารถเพิ่มหนึ่งใน x หรือ y ให้กับชุดใด ๆ ที่เป็นอิสระใน G และสิ่งที่ตรงกันข้ามก็ไม่ยากเช่นกัน) ดังนั้นคำถามถ้ากราฟ G ที่มีขอบ m มีขนาดชุด k อิสระเท่ากับคำถาม ไม่ว่าจะเป็น G 'ซึ่งเป็นผลมาจากการแบ่งขอบทั้งหมดใน G สองครั้งมีชุดขนาดอิสระ k + m แต่โปรดทราบว่ามันง่ายที่จะได้ 3 สีของ G 'โดยการแบ่ง G' ออกเป็นสามชุดอิสระดังนี้: หนึ่งประกอบด้วยจุดยอดที่ยังอยู่ใน G และอีกสองชั้นแต่ละคนมีหนึ่งในสอง " subdivider" จุดยอดสำหรับแต่ละขอบ ดังนั้นขั้นตอนนี้จะสร้างกราฟ G 'ด้วยสี 3 สีเช่นนั้นการคำนวณจำนวนความเป็นอิสระของมันจะทำให้คุณมีจำนวนอิสระของกราฟดั้งเดิม G

สมมุติว่าการอ้างอิง "ปัญหา NP-complete บนกราฟภาพถ่ายลูกบาศก์ 3 มิติที่เชื่อมต่อกันและแอปพลิเคชันของพวกเขา" โดย Uehara (กระดาษที่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อน) พิสูจน์ให้เห็นว่าชุดอิสระนั้นสมบูรณ์แล้วคือ NP-complete แต่ด้วยทฤษฎีบทของGrötzschพวกมันมักจะมี 3 สีและการทดสอบสีที่มีจำนวนน้อยกว่า 3 นั้นง่ายในกราฟใด ๆ

กราฟวงกลมมีคุณสมบัติที่ตรงกันข้าม: สำหรับพวกเขาการระบายสีเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ แต่ปัญหาชุดอิสระนั้นง่าย

นี่ไม่ใช่คำตอบใหม่ แต่เป็นการชี้แจงการอ้างอิงแรกและง่ายต่อการรับสำหรับความแข็งของชุดอิสระในกราฟสามเหลี่ยมลูกบาศก์อิสระแบบสามเหลี่ยม: หมายเหตุโดย Owen Murphy, คอมพิวเตอร์เซตอิสระในกราฟที่มีเส้นรอบวงใหญ่ , คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 35 (1992) 167-170 พิสูจน์ว่า

$n$$cn^k$$c>0$$k, 0\le k < 1$

$c$$c>0$

การลดลงของ @BartJansen เป็นกรณีพิเศษในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเมอร์ฟี

สำหรับคุณสมบัติตรงข้ามกราฟเส้นดูเหมือนจะเป็นธรรมชาติมากกว่ากราฟวงกลมตามที่ระบุไว้โดย @DavidEppstein สำหรับกราฟเส้นนั้น COLORING นั้นสมบูรณ์แบบ NP แต่ชุดอิสระนั้นง่ายมาก