รูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ภายในปัญหาการวางนัยทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยม

ฉันต้องการขออภัยในการโพสต์ทั้งหมดด้านล่าง เลือกฟอรัมที่ไม่ถูกต้องเพื่อโพสต์สิ่งนี้ใน แต่เดิม อย่างไรก็ตามแทนที่จะทำให้สิ่งนี้เป็นของเสียที่สมบูรณ์ฉันได้ทำคำถามใหม่เพื่อเป็นปัญหา "ทฤษฎีคอมพิวเตอร์ศาสตร์" ที่แท้จริง

ปัญหา: สร้างอัลกอริธึมที่ใช้ชุดของจุดสั่ง n ในระนาบ 2D ที่สร้างรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยม A ที่อาจเป็นหรือไม่เป็นเว้าและอาจสร้างรูปหลายเหลี่ยม B ใหม่ด้วยจุด m ดังนี้:

1. คะแนนทั้งหมดใน A อยู่ใน B
2. 3 <= m <n
3. B คือรูปหลายเหลี่ยมในชุดของ Bs ทั้งหมดที่มีพื้นที่เล็กที่สุด
4. B ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย (เช่นไม่มีการตัดกันด้วยตนเอง)
5. อินพุตไปยังอัลกอริทึมคือรูปหลายเหลี่ยม A และ "m"
6. อนุญาตให้มีการแบ่งส่วนใน B โดยบังเอิญในกลุ่ม A

ตัวอย่างอินพุตและเอาต์พุตที่คาดหวัง:

1. ถ้า A คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ m คือ 3 ดังนั้น B จะเป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ผิวที่เล็กที่สุดที่มี A
2. ถ้า A คือหกเหลี่ยมและ m คือ 4 ดังนั้น B จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีพื้นที่ผิวที่เล็กที่สุดที่มี A

โชคดีสำหรับทุกคนที่ลองใช้ปัญหานี้ ฉันสามารถสัญญากับคุณได้ว่าสิ่งนี้จะยากมากโดยเฉพาะตอนนี้ว่าวิธีแก้ปัญหาจะต้องเหมาะสมที่สุด

ฉันไม่ทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมของคุณเป็นอย่างไร แต่บางทีอัลกอริทึม Ramer – Douglas – Peuckerรุ่นที่เรียบง่ายนั้นเพียงพอแล้ว:

• สำหรับส่วนที่นูนออกมาให้คำนวณพื้นที่$A_j$ ของสามเหลี่ยม $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ เกิดขึ้นโดยสามจุดติดต่อกัน
• สำหรับแต่ละส่วนเว้าให้คำนวณพื้นที่$B_k$ ของสามเหลี่ยมสองอัน $P_i P'_i P_{i+1}$ และ $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ ที่เกิดขึ้นจากการขยายจุดสองจุด $P_i, P_{i+2}$ และจุดกึ่งกลาง $P_{i+1}$
• คำนวณ $min\{A_j,B_k\}$ และลบจุดที่เกี่ยวข้อง (และจุดเปลี่ยนหากการดำเนินการเสร็จสิ้นในส่วนเว้า);
• วนซ้ำจนกระทั่ง $n-m$ ลบคะแนนแล้ว

เส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม ($A_j$ สามเหลี่ยมสีเขียว $B_k$สามเหลี่ยมสีแดง) ทางด้านขวาเส้นขอบหลังจากการกำจัดของสองจุด

สำหรับอัลกอริทึมที่ซับซ้อนมากขึ้นคุณสามารถค้นหา " เทคนิคการสรุปทั่วไปรูปหลายเหลี่ยม " แม้ว่าเงื่อนไขแรกของคุณ (คะแนนใน A อยู่ใน B) หมายถึงการดำเนินการปรับขนาดเพิ่มเติมบางอย่าง

ฉันเขียนกระดาษนานมาแล้วที่มีรายละเอียดอัลกอริทึมเชิงเส้นเวลาสำหรับการค้นหาสามเหลี่ยมพื้นที่ที่เล็กที่สุดล้อมรอบชุดจุด (หรือรูปหลายเหลี่ยม):

J. O'Rourke, Alok Aggarwal, Sanjeev Maddila, Michael Baldwin, "อัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับการค้นหาสามเหลี่ยมล้อมรอบที่น้อยที่สุด" J. Algorithms , 1986, 7 : 258--269 ลิงค์

งานของเราตามด้วยอัลกอริทึมทั่วไป:

"พื้นที่ขั้นต่ำที่ จำกัด รูปหลายเหลี่ยม" Alok Aggarwal, JS Chang และ Chee K. Yap, คอมพิวเตอร์ที่มองเห็น , เล่ม 1, หมายเลข 2 (1985), 112-117 ลิงค์

คุณสามารถใช้ Google Scholar เพื่อติดตามเอกสารในภายหลังที่อ้างถึงสิ่งเหล่านี้เพื่อค้นหาการปรับปรุงและงานที่เกี่ยวข้อง