การนับจำนวนของพื้นที่หนาที่ทับซ้อนกันเป็นสี่เหลี่ยม

ปล่อย $S$เป็นหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นหน้าที่ของ$\beta$จำนวนสูงสุดคืออะไร $\beta$- ไขมันภูมิภาคแยกออกเป็นสองส่วนที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางอย่างน้อย 1ซึ่งสามารถตัดกันได้$S$?

ด้านล่างนี้เราให้ข้อมูลเกี่ยวกับ $\beta=1$จำนวนสูงสุดคือ 7 สิ่งที่เกี่ยวกับ $\beta = 2, 3, \ldots, n$?

เรียกคืนคำจำกัดความของไขมันสำหรับพื้นที่ในระนาบ ได้รับภูมิภาค$R$ให้วงกลม $C_1$ ของรัศมี $r_1$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ใน $R$และปล่อยให้แวดวง $C_2$ ของรัศมี $r_2$ เป็นวงกลมที่เล็กที่สุดที่มี $R$. ความอุดมสมบูรณ์ของ$R$ ได้รับจาก $\frac{r_2}{r_1}$และเราพูดอย่างนั้น $R$ คือ $\beta$- ไขมันสำหรับ $\beta = \frac{r_2}{r_1}$.

ตัวอย่างเช่นถ้า $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$จากนั้นภูมิภาคคือวงกลมหน่วยและมี 7 วงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางอย่างน้อย 1 ซึ่งสามารถทับซ้อนกันได้ $S$โดยไม่ทับซ้อนกัน ในภาพด้านล่างเราได้วาดสี่เหลี่ยมหน่วยและวงกลมวงกลม 7 หน่วยซึ่งทับซ้อนกับสี่เหลี่ยม

ฉันคิดว่าจำนวนสูงสุดของภูมิภาคที่แยกออกจากกันของจำนวนไขมันที่ซ้อนกันในตารางควรเกี่ยวข้องอย่างยิ่งกับการบรรจุแบบวงกลม

รูปร่างที่แย่ที่สุดสำหรับภูมิภาคคือ "ball & chain" ด้านล่างนี้เป็นภาพภูมิภาคสำหรับ$\beta=2$ มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 1

.

และสิ่งเหล่านี้สามารถบรรจุได้ในระยะ 1 ของหน่วยตารางเห็นได้ชัดว่าแน่นกว่าที่ฉันบรรยาย

โปรดทราบว่าพื้นที่ลูกบอลและโซ่จริงถูกกำหนดโดยพื้นที่สีเขียวและวงกลมด้านนอกเป็นเพียงแนวทางในการอธิบายความจริงที่ว่าภูมิภาคเหล่านี้มีความอุดมสมบูรณ์ 2 ในความเป็นจริงส่วนโซ่ของภูมิภาคสามารถ "โค้ง" เพื่ออนุญาต ภูมิภาคอื่น ๆ ที่จะถูกบรรจุ