การตัดสินใจกราฟโฮโมมอร์ฟิซึม

การตัดสินใจกราฟโฮโมมอร์ฟิซึมโดยทั่วไปคือ NP-Complete

มีผลใดบ้างที่ศึกษาปัญหานี้เมื่อกราฟต้นแบบมีโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิต (เช่นการตัดสินใจโฮโมมอร์ฟิซึมจากเคย์ลีหรือเคย์ลีคอเซทกราฟไปยังกราฟอื่นที่มีโครงสร้างที่แน่นอนเช่นกัน)? นอกจากผลลัพธ์ที่ซับซ้อนฉันยังสนใจในเทคนิคพีชคณิตและ / หรือสเปกตรัมที่มีประโยชน์

ถ้าเป็นคลาสของกราฟที่มีความกังวลแบบ จำกัด ดังนั้นปัญหาโฮโมมอร์ฟิซึมจากกราฟในGคือพหุนามเป็นเวลาที่แก้ได้ สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นมาตรฐานทั่วไปได้มากขึ้นของ "กราฟที่แกนกลางล้อมรอบความว่องไว"$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$

Grohe พิสูจน์การสนทนา: ถ้าแกนของกราฟในมีจำนวนมาก treewidth แล้วปัญหา homomorphism จากGไม่ได้เป็นพหุนามเวลาแก้ไขได้ (สมมติว่าF P T ≠ W [ 1 ] ) ดังนั้นหากคุณ จำกัด กราฟด้านซ้ายไว้ที่กราฟของเคย์ลีย์ ฯลฯ สิ่งที่สำคัญก็คือว่าแกนมีขอบเขตการเคลื่อนที่อย่างรวดเร็วหรือไม่$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$$FPT\neq W[1]$

http://dl.acm.org/authorize?951212

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามของคุณอย่างสมบูรณ์: จากผลลัพธ์ของ Grohe สันนิษฐานว่ากราฟด้านขวามือเป็นกฎเกณฑ์โดยพลการ ดูเหมือนว่าคุณจะสนใจในผลลัพธ์ที่กราฟด้านขวาถูก จำกัด ไว้เฉพาะบางคลาสของกราฟ

การตัดสินใจว่า homomorphism กราฟนั้นง่ายกว่าการนับจำนวน homomorphism กราฟ (ถ่วงน้ำหนัก) หรือไม่

กรณีถ่วงน้ำหนัก

สำหรับกราฟเป้าหมายที่ไม่ได้บอกทิศทาง (นั่นคือจำนวนของกราฟที่มีน้ำหนักแบบโฮโมมอร์ฟิซึมจากกราฟอินพุตGถึงH ) นั่นคือทฤษฎีบทขั้วคู่$H$$G$$H$

Jin-Yi Cai, Xi Chen, Pinyan Lu homomorphisms กราฟที่มีค่าที่ซับซ้อน: ขั้วทฤษฎีบท

$H$

$H$$H$

$q$$q$$q$

กรณีที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนัก

กรณีที่ไม่มีน้ำหนักนั้นง่ายกว่ามาก ด้านล่างฉันระบุทฤษฎีบท 1.1 จากบทความต่อไปนี้

Martin Dyer, Catherine Greehill ความซับซ้อนของการนับ homomorphisms (รวมถึงลิงก์โดยตรงไปยัง PDF ฟรี)

ทฤษฎีบท 1:

$H$$H$$H$