พิสูจน์ทฤษฎีบทของโซนได้ง่ายขึ้นหรือไม่?

ทฤษฎีบทของโซนบอกว่าถ้าเราแทงการเรียงตัวของเส้น n กับอีกเส้นหนึ่งความซับซ้อนทั้งหมดของโซนของมันชุดของทั้งหมด 0-, 1- และ 2 หน้าติดกับมันคือ O (n) ค่าคงที่ที่แท้จริงคืออะไรอย่างน้อย 6n ตามที่ระบุไว้ในตำราต่าง ๆ และการพิสูจน์คือการเหนี่ยวนำด้วยเหตุผลการชาร์จที่ระมัดระวัง

ฉันถูกถามคำถามนี้ในชั้นเรียนและไม่มีคำตอบ:

มีข้อพิสูจน์ทางทฤษฎีของโซนที่เป็นทางเลือกและใช้งานง่ายกว่าหรือไม่?

ตอนนี้ฉันรู้ว่าหลายคนพบว่าการเหนี่ยวนำค่อนข้างง่ายและจะถูกทำให้ขุ่นเคืองโดยนัยของฉันและยินดีที่จะแก้ไขข้างต้นเป็นเพียง "ทางเลือก" สำหรับพวกเขา แต่มีข้อพิสูจน์เช่นนี้หรือไม่? หรือแม้แต่หลักฐานจากหนังสือ ?

สิ่งนี้ไม่สะอาด แต่เป็นการเตรียมการที่ดีสำหรับสิ่งที่ก้าวหน้ากว่าและเป็นตัวอย่างที่ดีของสิ่งที่เป็นนามธรรม ...

หนึ่งสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ลำดับ Davenport-Schinzel พิจารณาภูมิภาคเหนือเส้นโซนของคุณ ทุกเส้นกลายเป็นรังสีและในความเป็นจริงแล้วมีสองรังสีในขณะที่เราพิจารณาด้านซ้ายและด้านขวาว่าแตกต่างกัน สแกนขอบเขตของโซนนี้จากซ้ายไปขวาเขียนว่าคุณพบรังสีใด นี่เป็นลำดับที่กำหนดไว้เหนือสัญลักษณ์ 2n และรูปแบบ abab นั้นผิดกฎหมาย ด้วยเหตุนี้ความยาวของลำดับจึงไม่เกิน 2 (2n) -1 = 4n-1 นำไปใช้กับโซนด้านล่างบรรทัดหมายถึงขอบเขตของรูปแบบ 8n

ตอนนี้พิสูจน์ว่าลำดับของสัญลักษณ์ที่ไม่มี ... a..b..a..b ... เนื่องจากการเรียงลำดับของสัญลักษณ์ n มีความยาว 2n-1 เป็นเรื่องง่าย จริง ๆ พิจารณาลักษณะที่ปรากฏที่ต่อเนื่องกันของอักขระสองตัวที่ใกล้เคียงที่สุดในลำดับนี้ เห็นได้ชัดว่าในระหว่างตัวละครทั้งสองนี้ตัวละครแต่ละตัวที่ปรากฏจะต้องไม่ซ้ำกัน พิจารณาตัวละครตัวนั้นและสังเกตว่าถ้ามันปรากฏที่ใดก็ได้ในสายอักขระเราจะได้รับลำดับที่ต้องห้าม ด้วยเหตุนี้ตัวละครนี้จึงปรากฏขึ้นหนึ่งครั้งในสตริง ลบออกและลบอักขระพิเศษหากจำเป็นหากคุณสร้างอักขระที่เหมือนกันสองตัวติดต่อกัน กล่าวคือการลบอักขระออกจากสตริงทำให้สั้นลง 2 ดังนั้นความยาวสูงสุดของสตริงคือ 2n-1

ฉันพบว่าการเหนี่ยวนำค่อนข้างง่ายและฉันรู้สึกไม่พอใจกับความหมายของคุณ แต่อะไรคือข้อโต้แย้งในการชาร์จ?

Wlog สันนิษฐานว่าเส้นที่กำหนดโซนนั้นเป็นแนวนอน (หมุนอย่างอื่น) และเส้นนั้นอยู่ในตำแหน่งทั่วไป (อื่นรบกวนและทำให้โซนซับซ้อนขึ้น) ลบหนึ่งบรรทัด n อื่น ๆ จำแนกขอบของโซนผลลัพธ์เป็นขอบเขตซ้ายหรือขวาทั้งนี้ขึ้นอยู่กับว่าโซนนั้นอยู่ทางขวาหรือซ้ายตามลำดับ (ขอบบางอันมีทั้งขอบซ้ายและขวา แต่ถูกนับเป็นสองเท่าในขอบเขตที่ซับซ้อน) จากสมมติฐานเชิงอุปนัยมีขอบเขตซ้ายสุด 3n-3 (กรณีฐาน n = 0 เป็นเรื่องไม่สำคัญ) การแทรกบรรทัดที่ลบใหม่จะเพิ่มขอบเขตด้านซ้ายมากที่สุด 3 อัน (หนึ่งตัวบนบรรทัดนั้นและอีกสองตัวแยกขอบเขตซ้ายที่เก่ากว่า) ดังนั้นจำนวนขอบเขตซ้ายทั้งหมดคือสูงสุด 3n สมมาตรจำนวนของขอบเขตที่ถูกต้องคือสูงสุด 3n ดังนั้นความซับซ้อนโดยรวมของโซนจึงเท่ากับ 6n

หลักฐานการชาร์จถูกวางเป็นแบบฝึกหัด (พร้อมกับคำแนะนำทีละขั้นตอน) ในหน้า 13 ของเอกสารประกอบคำบรรยายเรขาคณิตของ David Mount: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf