สมการหลักและแบบฟอร์มผลรวมผู้ประกอบการ

12

ฉันเป็นคนที่มีทัศนศาสตร์ควอนตัมมากกว่าคนที่มีข้อมูลควอนตัมและจัดการกับสมการหลักเป็นหลัก ฉันสนใจในแบบฟอร์มผลรวมของผู้ประกอบการและฉันต้องการได้รับข้อผิดพลาดในแบบฟอร์มนี้สำหรับระบบควอนตัมขนาดเล็กที่ฉันกำลังจำลอง

การจับ: ระบบควอนตัมได้รับแรงผลักดันจากเขตข้อมูลภายนอก (แบบคลาสสิก) ที่จำลองด้วยฟังก์ชันไซน์และอัตราการทำให้หมาด ๆ อยู่ในระดับต่ำดังนั้นฉันจึงไม่สามารถประมาณคลื่นหมุนได้เพื่อกำจัดการพึ่งพาเวลานี้ ระบุว่าฉันต้องแก้สมการหลักโดยการรวมกันและผลลัพธ์ของการรวมแต่ละครั้งที่ไม่ได้ข้อมูลเพียงพอที่จะหาข้อผิดพลาดเหล่านี้และฉันต้องทำงานเพื่อกู้เมทริกซ์ superoperator ที่ทำงานบนความหนาแน่นเวกเตอร์ มดลูก เช่นฉันอาหารสมต้นแบบเมทริกซ์ความหนาแน่น vectorised มีรายการเดียวที่ 1 และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์และสร้างเมทริกซ์เช่นเดียวกับที่เป็นเวลาโดยเฉพาะอย่างยิ่งτฉันมาถูกทางแล้ว (ตรวจสุขภาพจิต)? ชัดเจนยิ่งขึ้นถ้า $t$ $\tau$ เป็นรูปแบบเวกเตอร์ (ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบคอลัมน์เวกเตอร์) ของเมทริกซ์ความหนาแน่นที่มีรายการเดียวของ 1 ในตำแหน่ง , ที่ที่ได้รับการพัฒนาเป็นเวลาจากนั้นเมทริกซ์ ที่จะใช้รูปแบบเวกเตอร์ของเมทริกซ์ความหนาแน่นจากถึงจะได้รับเป็น $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ † $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

คำถาม:ให้ superoperator นี้ที่ทำ $\mathbf{M}$ วิธีการที่ฉันจะได้รับผู้ประกอบการสำหรับอูเทียบเท่าประกอบการรวมของที่อยู่ในรูปแบบที่มีประโยชน์หรือไม่ เช่นระบบที่เป็นปัญหาคือ qubit หรือ qutrit และอีก qubit หรือ qutrit ฉันต้องการที่จะสามารถรวมผลการดำเนินงานในรูปแบบของผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ของการฝึกอบรมการปั่นในแต่ละช่องถ้าเป็นไปได้ $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

คำถามด้านข้าง: Is เมทริกซ์ชอย? $\mathbf{M}$

หมายเหตุสุดท้าย:ฉันได้รับการยอมรับจาก Pinja ตามที่ฉันใช้กระดาษ Pinja ที่แนะนำ ฉันได้ให้คำตอบด้วยตัวเองด้านล่างซึ่งเติมรายละเอียดไว้

quantum-information

— qubyte
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงอะไรโดย "ระบบที่เป็นปัญหาคือ qubit หรือ qutrit และอีก qubit หรือ qutrit" - "ระบบอื่น" คืออะไร? คุณกำลังพูดถึงสิ่งที่จำเป็นต้องใช้ในการใช้ช่องสัญญาณนี้โดยใช้ยูนิต + การติดตามออกไปไหม ในกรณีดังกล่าวโปรดทราบว่าขนาดของ ancilla สามารถมีขนาดสูงสุด D ^ 2 ดังนั้น qubits จะไม่ทำ

— Norbert Schuch

ไม่ในขณะนี้มันเป็นเพียงแบบจำลองของเล่นที่ประกอบด้วยระบบควอนตัมขนาดเล็กสองระบบที่เชื่อมโยงกันและมีเวลา T1 และ T2 ที่แตกต่างกัน คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่ได้มีความกังวลอย่างจริงจัง มันเป็นจุดสนใจมากขึ้นเนื่องจากมันจะเป็นประโยชน์ในการทราบเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำสิ่งนี้ในอนาคต

— qubyte

ฉันจะได้รับคำถามนี้ย้ายไปยัง CS Theory มากกว่า Physics ได้ไหม?

— qubyte

อืม ... ฉันคิดว่านี่น่าจะดีกว่านี้ แต่ก็โอเค

— David Z

ขอบคุณ ขออภัยไม่ใช่แฟนตัวยงของ Physics.SE และฉันคิดว่าคำถามเชิงคุณภาพที่เน้นการวิจัยนั้นดีกว่าที่นี่ (หลังจากได้รับความมั่นใจ)

— qubyte

9

ฉันทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่คล้ายกันมากกับวิทยานิพนธ์ของฉันซึ่งฉันศึกษาพลวัตที่ไม่ใช่มาร์กอเรียนเกี่ยวกับ qubit ที่ขับเคลื่อนในสภาพแวดล้อมแบบ dissipative ความสนใจของฉันคือการตรวจสอบว่าสมการหลักที่ฉันได้รับเป็นค่าบวกอย่างสมบูรณ์ แต่นี่เป็นเพียงปัญหาด้านเดียวของคุณ คำถามกลายเป็นเรื่องไม่สำคัญมากหากไม่มี RWA ทำ แต่ฉันก็สามารถได้ผลลัพธ์โดยใช้ Ref [ J Mod เลือก 54, 1695 (2007) ] และใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่า qubit นั้นอ่อนแอควบคู่ไปกับสภาพแวดล้อม ฉันจะตีกลองของฉันและให้อ้างอิง ในบทความที่ฉันแสดงผลลัพธ์เหล่านี้บางส่วน[พี Haikka และ S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)]คุณอาจพบว่ามีประโยชน์

อา! มันกลับกลายเป็นว่าฉันได้ดู Andersson กระดาษหนึ่งสองสามวันตอนนี้ มันดูมีแนวโน้มมากและให้สูตรที่เป็นรูปธรรมมากที่สุด ฉันชอบที่จะมีวิธีในการแก้ไขปัญหา พูดตามตรงฉันต้องหาเวลาให้นั่งดูนี่สิ มันเป็นมากกว่าโครงการส่วนตัวในขณะนี้

— qubyte

7

การอ้างอิงที่ให้ไว้ในคำตอบของกลศาสตร์ควอนตัมเป็นกระบวนการมาร์คอฟ - ในบันทึกย่อออนไลน์ของถ้ำคาร์ลตันโดยเฉพาะ " แผนที่เชิงบวกสมบูรณ์แผนที่เชิงบวกและรูปแบบ Lindblad " - สำรวจแนวคิดทางกายภาพและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยชน์ในการตอบคำถาม

$M$ $M$ $M$ $M$ จะได้รับตัวเลขอย่างครบถ้วน

$M$

หากคำถามเช่นนี้สามารถตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย "เปลี่ยนข้อเหวี่ยงอัลกอริทึม" ดังนั้นควอนตัมฟิสิกส์จะเป็นวิชาที่น่าสนใจน้อยกว่ามาก! :)

— John Sidles
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่ฉันหวังไว้ไม่ใช่อย่างนั้น แต่คิดว่าน่าจะเป็น น่าเศร้าที่ระบบมีความสมมาตรที่เอาเปรียบเท่านั้นในกรณีที่ปล่อยออกมาอย่างเดียวโดยไม่มีการลดประชากร มีรูปแบบที่น่าดึงดูดใจอย่างมากของสมการต้นแบบ Lindblad ที่รวบรวมคำศัพท์ที่ไม่ใช่แบบของอูสในรูปแบบของมิลมิเนี่ยนที่ไม่ใช่ชาวเฮอมิตินซึ่งในกรณีที่ไม่มีการพึ่งพาอาศัยกันในเวลาใด ๆ ในมิลโตเนียน ตามเงื่อนไขของอูสที่เหลือ เรียบร้อย แต่ไม่มีความช่วยเหลือสำหรับฉัน

— qubyte

หนึ่งในการอ้างอิงในบันทึกของถ้ำคือ Wolf และ Cirac การหารช่องควอนตัม (arXiv: math-ph / 0611057) ซึ่งฉันแนะนำโดยไม่มีการรับประกันน้อยที่สุดในการเข้าใจปัญหาทางควอนตัม (มากและละเอียด) ที่บทความนี้กล่าวถึง! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

ผมคิดว่าสิ่งที่คุณอาจจะมองหาคือ: ความหนาแน่นของจริงเมทริกซ์ มันทำให้คุณมีสูตรสำหรับการแปลงระหว่างการเป็นตัวแทน superoperator ต่างๆ (รวมถึงการใช้พื้นฐานผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ของ Paulis) กระบวนการควอนตัมทดลองเอกซ์เรย์รายละเอียดการใช้ประโยชน์จากผล are here: ควอนตัมในกระบวนการเอกซ์เรย์ของควอนตัมฟูริเยร์แปลง โดยทั่วไป Havel ยังได้มาขั้นตอนวิธีการแปลงน้อยที่สุดการแสดง Kraus นี่: วิธีการแปลงหมู่ Lindblad, Kraus และเมทริกซ์เป็นตัวแทนของควอนตัมพลัง Semigroups

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
แหล่งที่มา

นี้เป็นที่น่าสนใจก็อาจจะเป็นสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ...

— qubyte

ฉันเพิ่งเห็นคุณเพิ่ม ขอบคุณนี่มีประโยชน์มาก ฉันเอาเวอร์ชันของ vec ของคุณมา แต่ตอนนี้ฉันใช้คอลัมน์ที่เรียงซ้อนกัน ขอบคุณWikipediaสำหรับสิ่งนั้น บางทีฉันควรใช้สัญลักษณ์ของคุณเพื่อความชัดเจน

— qubyte

4

ตามที่ระบุไว้ใน Pinja บทความโดย Andersson และคณะ ( arXiv ) ( DOI ) มีประโยชน์อย่างยิ่ง กระดาษมีรายละเอียดมากมายและในที่สุดฉันก็นั่งลงวันนี้เพื่อดูอย่างเหมาะสม เป็นตัวอย่างปัญหาฉันเลือกสอง qubits กับการแลกเปลี่ยนการแลกเปลี่ยนเพื่อตรวจสอบนี้ซึ่งเป็นรุ่นที่เล็กที่สุดของสิ่งที่ฉันกำลังพิจารณา ในการเริ่มต้นสมการหลักจะได้รับจาก

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

ถ้าเรากำลังจัดการกับสมการหลักในฐานะเมทริกซ์ที่ทำหน้าที่ในโอเปอเรเตอร์ความหนาแน่นเวกเตอร์ตามที่กล่าวถึงในคำถามแล้วสิ่งนี้สามารถแสดงเป็น

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

ซึ่งทำให้ L สามารถได้มาในสมการเมทริกซ์เดียว แต่นั่นเป็นหัวข้อที่เล็กน้อย

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

ในที่สุดส่วนที่ยอดเยี่ยม

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

ซึ่งจะทำงานในกรณีที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับการออกและ qutrits ตามที่คาดไว้ ฉันต้องตรวจสอบว่ามันใช้งานได้ในกรณีของการพึ่งพาเวลา

— qubyte
แหล่งที่มา