ตรวจจับรูปหลายเหลี่ยมเกือบสองชนิดได้ง่าย

ฉันสนใจในความซับซ้อนของการตัดสินใจว่ารูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่แบบง่ายนั้นให้ความเรียบง่ายเกือบทั้งสองอย่างเป็นทางการหรือไม่: ไม่ใช่แบบง่ายๆหรือแบบไขว้กัน เนื่องจากข้อกำหนดเหล่านี้ยังไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางให้ฉันเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางอย่าง

• $P$$p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}$$p_i$$p_i p_{i+1\bmod n}$

• รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่ายถ้าจุดยอดทั้งหมดแตกต่างกันและขอบตัดกันที่จุดปลายเท่านั้น รูปหลายเหลี่ยมนั้นเรียบง่ายถ้ามันเป็นโฮมโมมอร์ฟิคกับวงกลมและขอบทุกด้านมีความยาวเป็นบวก อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้วจุดยอดและขอบของรูปหลายเหลี่ยมอาจตัดกันโดยพลการหรืออาจเกิดขึ้นพร้อมกันก็ได้ ¹$n$

• พิจารณาเส้นทางรูปหลายเหลี่ยมและที่จุดตัดเป็นจุดย่อยทั่วไปของทั้งสอง (อาจเป็นจุดเดียว) เราบอกว่าและข้ามถ้าปลายทางของพวกเขาสำรองในขอบเขตของพื้นที่ใกล้เคียงที่พบ subpath ที่B รูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวเองข้ามถ้ามันมีสอง subpaths ข้ามและ ที่ไม่ใช่ตัวเองข้ามเป็นอย่างอื่น ²$A$$B$$A$$B$ $A(0), B(0), A(1), B(1)$$A\cap B$

• รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่ายนิดหน่อยถ้ามันเป็นข้อ จำกัด ของลำดับของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายหรืออย่างเท่าเทียมกันหากมีการรบกวนเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยพลการของจุดยอดที่ทำให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่าย รูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่ายทุกจุดที่ไม่สามารถข้ามได้ อย่างไรก็ตามรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ข้ามตัวเองนั้นไม่ง่ายนัก

ตัวอย่างเช่นพิจารณาหกจุดแสดงด้านล่าง$a,b,p,q,x,y$

• รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่าย ดูรูปด้านซ้าย$abpqyz$

• รูปหลายเหลี่ยมง่ายนิดหน่อย; รูปกลางแสดงรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายที่อยู่ใกล้เคียง อย่างไรก็ตามรูปหลายเหลี่ยมนี้ไม่ง่ายเพราะมันเข้าชมสามครั้ง$papbpqyqzq$$p$

• รูปหลายเหลี่ยมเป็นการข้ามตนเองเนื่องจาก subpathsและ cross ดูตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับสัญชาตญาณบางอย่าง$papbpqzqyq$$bpqz$$yqpa$

• ในที่สุดรูปหลายเหลี่ยม (ซึ่งลมสองรอบรูปหลายเหลี่ยมกลาง) ไม่ข้ามตัวเอง แต่มันไม่ง่ายอย่างอ่อนแอ สัญชาตญาณจำนวนการเปลี่ยนของรูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นในขณะที่จำนวนเลี้ยวง่ายเหลี่ยมใด ๆ จะต้อง1 (การพิสูจน์อย่างเป็นทางการต้องมีการวิเคราะห์เคสบางส่วนส่วนหนึ่งเนื่องจากจำนวนการหมุนไม่ได้กำหนดชัดเจนสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มี$papbpqyqzqpapbpqyqzq$$\pm 2$$\pm 1$มุม!)$0^\circ$

อัปเดต (13 ก.ย. ):ในรูปด้านล่างรูปหลายเหลี่ยมไม่ได้ข้ามตัวเองและมีการเปลี่ยนหมายเลข 1แต่มันไม่ง่ายอย่างอ่อนแอ รูปหลายเหลี่ยมเนื้อหาที่มีการผสมข้ามพันธุ์หลายsubwalks ที่ไม่ง่ายแต่ก็ไม่เคยมีใครข้ามsubpaths ง่าย (ฉันพูดว่า "เนื้อหา" เพราะมันไม่ชัดเจนว่าจะกำหนดได้อย่างไรเมื่อการเดินสองทางที่ไม่ง่าย!)$abcabcxyzxpqrxzyx$

ดังนั้นในที่สุดนี่คือคำถามที่แท้จริงของฉัน:

• เราสามารถระบุได้อย่างรวดเร็วว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดนั้นไม่ใช่การข้ามตัวเองหรือไม่

• เราสามารถระบุได้อย่างรวดเร็วว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดนั้นง่ายหรือไม่?

ปัญหาแรกสามารถแก้ไขได้ในเวลาดังต่อไปนี้ เนื่องจากมีจุดยอดจึงมีsubpaths O ( n 2 )จุดยอดเป็นจุดยอด เราสามารถทดสอบว่า subpath เฉพาะใด ๆ นั้นง่ายในเวลาO ( n 2 ) (โดยใช้กำลังดุร้าย) สำหรับคู่ของ subpaths จุดสุดยอดถึงจุดสุดยอดแต่ละคู่เราสามารถทดสอบว่าพวกเขาข้ามในเวลาO ( n )หรือไม่ แต่นี่ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้$O(n^5)$$n$$O(n^2)$$O(n^2)$$O(n)$

ฉันไม่รู้ว่าปัญหาที่สองสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่ ฉันคิดว่าฉันสามารถคำนวณตัวเลขการหมุนที่กำหนดไว้อย่างดีสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่แบบง่าย ๆ ได้ (เว้นแต่การรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นเพียงเส้นทางเดียวในกรณีนี้รูปหลายเหลี่ยมนั้นต้องเรียบง่ายอย่างอ่อน) ดูคำตอบของฉันด้านล่าง อย่างไรก็ตามรูปหลายเหลี่ยมตัวอย่างใหม่ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าการไม่ข้ามตัวเองและการหมุนหมายเลข 1 นั้นไม่ได้แปลว่าง่าย

เราสามารถตรวจสอบว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดนั้นเป็นเรื่องง่ายในเวลาโดยการตรวจสอบทุกคู่ของขอบสำหรับการแยกหรือในเวลาO ( n log n )โดยใช้อัลกอริทึม sweepline มาตรฐานหรือแม้กระทั่งในเวลาO ( n )โดยใช้ Chazelle อัลกอริธึมการหาสม (ถ้ารูปหลายเหลี่ยมที่ป้อนเข้านั้นไม่ง่ายอัลกอริธึมการคำนวณแบบสามเหลี่ยมใด ๆ จะทำให้เกิดข้อยกเว้นอนันต์ลูปหรือสร้างผลลัพธ์ที่ไม่ใช่การคำนวณที่ถูกต้อง) แต่อัลกอริธึมเหล่านี้ไม่สามารถแก้ปัญหาที่ฉันถามได้ $O(n^2)$$O(n\log n)$$O(n)$

---

¹ Branko Grünbaum รูปหลายเหลี่ยม: สเตอร์ที่ถูกต้องและเป็นธรรม Poinsot แต่สัจธรรม Beiträge zur Algebra und Geometrie 53 (1): 57–71, 2012

²ดูตัวอย่าง: Erik D. Demaine และ Joseph O'Rourke เรขาคณิตพับขั้นตอนวิธีการ: การเชื่อมโยง, Origami, รูปทรงหลายเหลี่ยม สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2550

ดูเหมือนว่าคำถามแรกมีอัลกอริทึม (แม้ว่านี่จะไม่เหมาะสมเช่นกัน) สมมติว่ามีการข้ามกุญแจสำคัญในการค้นหาดูเหมือนว่าขอบที่จะต้องพบคือทันทีที่ด้านใดด้านหนึ่งของทางเดินย่อยทั่วไป ดังนั้นเรามองไปที่ขอบคู่ต่อเนื่องทุกคู่ จำนวนเหล่านี้มีกำลังสอง หากเราพบคู่ของคู่ของขอบที่มีจุดขคและงจฉดังกล่าวที่ขอบขคและจฉเหมือนกันแล้วเราทำตาม subpath เรื่องธรรมดาที่จะสิ้นสุดและตรวจสอบขอบที่ทิ้งไว้ หากพวกเขาฟอร์มข้ามพร้อมกับ$O(n^3)$$abc$$def$$bc$$ef$และงอีแล้วเราจะทำมิฉะนั้นเราไปคู่ถัดไป ต่อไปนี้ subpath ทั่วไปที่การดำเนินการเชิงเส้นเวลามากที่สุดเพื่อให้ขั้นตอนวิธีการทั้งหมดเป็น O ( n 3 )$ab$$de$$O(n^3)$

การวิเคราะห์นี้อาจไม่แน่นเนื่องจากจำนวนครั้งที่มีการติดตาม subpath ทั่วไปที่มีความยาวเป็นเส้นตรงนั้นไม่ได้เป็นเชิงเส้นในจำนวนคู่ ควรมีจำนวนคงที่เท่านั้น ในทำนองเดียวกันถ้าความยาวของ subpath ทั่วไปที่ยาวที่สุดเป็นค่าคงที่เราก็โอเคในแง่ของระยะเวลาที่ติดตาม subpaths ทั่วไป ผมจะคาดหวังว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดที่เกิดขึ้นเมื่อมีการ subpath เดียวของความยาวเป็นเรื่องปกติของO($O(\sqrt{n})$เส้นทางย่อย จากนั้นจะมีการโต้ตอบO(n)และในแต่ละการโต้ตอบO($O(\sqrt{n})$$O(n)$กำลังติดตามขอบ ดังนั้นแม้จะยังคงจำนวนของขอบที่ตามมาคือo(n2)และขอบเขตที่ให้ไว้โดยจำนวนคู่ ดังนั้นฉันเดาว่าเป็นความจริงที่ถูกผูกไว้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้คือO(n2)$O(\sqrt{n})$$o(n^2)$$O(n^2)$

ตามคำแนะนำของ Pat Morin นี่คือแนวคิดของฉันในการคำนวณจำนวนเลี้ยว ขออภัยถ้านี่เป็นสิ่งที่เลอะเทอะ ฉันยังคงต่อสู้กับปีศาจสัญกรณ์ ยิ่งกว่านั้นความคิดเห็นของ Pat ต่อคำตอบของ Chris แสดงให้เห็นว่าฉันเพิกเฉยต่อคดีที่สำคัญบางอย่าง แต่ฉันจะโพสต์ไว้ที่นี่ในกรณีที่คนอื่นเห็นว่ามีประโยชน์

สำหรับดัชนีใด ๆให้θ ( P ฉัน ) = θ ( P ฉัน- 1 , หน้าผม , หน้าผม+ 1 )แสดงถึงมุมภายนอกลงนามที่จุดสุดยอดหน้าฉัน ; นี่คือมุมทวนเข็มนาฬิการะหว่างรังสี→ หน้าฉัน- 1 P ฉันและ→ หน้าฉันหน้าฉัน+ 1 , ปกติในช่วง- เธ≤ θ $i$$\theta(p_i) = \theta(p_{i-1}, p_i, p_{i+1})$$p_i$$\overrightarrow{p_{i-1}p_i}$$\overrightarrow{p_ip_{i+1}}$เธ (เลขคณิตดัชนีทั้งหมดคือ mod nโดยปริยาย)จำนวนการเลี้ยวของ Pหมายถึง T u r n ( P ) = $-\pi \le \theta_i \le \pi$$n$$P$ ผมขอเรียกว่าจุดสุดยอดหน้าฉันเดือยถ้าภายในมุมที่หน้าฉันจะมีค่าเท่ากับ0 มุมภายนอกθiที่เดือยไม่ชัดเจน มันอาจจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งπหรือ-π โดยทั่วไปแล้วจำนวนการหมุนของPถูกกำหนดอย่างดีถ้าหากPไม่มีเดือย (และไม่มีจุดยอดซ้ำpi

$$Turn(P) = \frac{1}{2\pi} \sum_{i=0}^{n-1} \theta(p_i).$$ $p_i$$p_i$$0$$\theta_i$$\pi$$-\pi$$P$$P$ ) ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่า T u r n ( P )เป็นจำนวนเต็มถ้ามันถูกนิยามไว้อย่างดี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง T U r n ( P ) = ± 1ถ้า Pเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่าย$p_i=p_{i+1}$$Turn(P)$$Turn(P) = \pm 1$$P$

ตอนนี้สมมติว่ามีการเดินของแบบฟอร์มพี→ R ⇝ s ⇝ R →คิวที่หน้า≠ Qและเส้นทางR ⇝ sคือการพลิกกลับของเส้นทางs ⇝ R แล้วsเป็นเดือย; โทรrรากของs ในกรณีนี้ให้ฉันกำหนดมุมภายนอกที่sดังนี้ ~ θ ( s ) = เธ⋅ s กรัม$P$$p\mathord\to r\mathord\leadsto s\mathord\leadsto r\mathord\to q$$p\ne q$$r\mathord\leadsto s$$s\mathord\leadsto r$$s$$r$$s$$s$ (แต่ถ้า θ ( p , r , q ) = 0 ? ในฐานะที่เป็นแพ็ตสังเกตสิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้จริงอาจมีวิธี recursive บางประเภทในการกำหนด ˜ θ ( s

$$\tilde\theta(s) = \pi \cdot \mathop{sgn}\theta(p, r, q) = \begin{cases} \pi & \text{if } \theta(p, r, q) > 0\\ -\pi & \text{if } \theta(p, r, q) < 0 \end{cases}$$ $\theta(p,r,q)=0$$\tilde\theta(s)$ แม้ในกรณีนี้ แต่ฉันไม่รู้ว่ามันคืออะไร)

ถ้าเป็นอย่างอ่อนง่ายแล้วมีความเรียบง่ายn -gon ~ Pพลใกล้กับP ; tet ˜ sเป็นจุดยอดของ˜ P ที่ใกล้เคียงกับPมากที่สุด ในฐานะที่เป็น~ PวิธีPมุมภายในที่~ sใกล้ศูนย์ มันไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ (โดยการเหนี่ยวนำกับความยาวของR ⇝ s ) ที่มุมภายนอกθ ( ~ s )วิธี~ θ ( s )$P$$n$$\tilde{P}$$P$$\tilde{s}$$\tilde{P}$$P$$\tilde{P}$$P$$\tilde{s}$$r\mathord\leadsto s$$\theta(\tilde{s})$$\tilde\theta(s)$

ถ้าประกอบด้วยการเดินทั้งหมดตามด้วยการพลิกกลับของมันr ⇝ s ⇝ rแล้วมุมภายนอกที่สเปอร์สrและsยังคงไม่ชัดเจน แต่ในกรณีนี้ผมเชื่อว่าPคือไม่ค่อยง่ายถ้าหากเดินR ⇝ sไม่เป็นตัวเองข้าม (มีหลายกรณีที่ซับซ้อนกว่าที่ฉันไม่สามารถกำหนดหมายเลขเปลี่ยนที่เหมาะสมโดยเฉพาะถ้ารูปหลายเหลี่ยมเดินไปมาผ่านการเดินครั้งเดียว แต่ในทุกกรณีดังกล่าวปรากฏว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นง่ายหากอ่อนแอและหากว่า ไม่ข้าม)$P$$r\mathord\leadsto s\mathord\leadsto r$$r$$s$$P$$r\mathord\leadsto s$

มิฉะนั้นถ้าเรากำหนดสำหรับการใด ๆ ที่ไม่ใช่การกระตุ้นจุดสุดยอดหน้าฉันตอนนี้เรามีจำนวนที่ดีที่กำหนดเปลี่ยน~ T U R n ( P ) = Σ ฉัน~ θ ( พีฉัน ) / 2 π = T U R n ( ~ P )ซึ่งจะต้อง± 1ถ้าPเป็นอย่างอ่อนง่าย$\tilde\theta(p_i) = \theta(p_i)$$p_i$$\widetilde{Turn}(P) = \sum_i\tilde\theta(p_i)/2\pi = Turn(\tilde{P})$$\pm 1$$P$

ผมไม่มั่นใจว่าสามารถคำนวณได้ในเส้นเวลา ปัญหาหลักคือการที่เดินR ⇝ sตัวเองสามารถมีสเปอร์ส อัลกอริธึมไร้เดียงสาที่พบรากของเดือยแต่ละอันด้วยแรงเดรัจฉานจริงต้องใช้เวลาΘ ( n 2 )ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด; พิจารณาn -gon ที่มี subwalk ของความยาวΩ ( n )ที่เพียงแค่สลับระหว่างจุดสองจุด$\widetilde{Turn}(P)$$r\mathord\leadsto s$$\Theta(n^2)$$n$$\Omega(n)$