รูปแบบการเรียกซ้ำของคำสั่ง Godel เป็นไปได้หรือไม่?

การอ้างอิงตนเองของปัญหา P / NP บางครั้งมีการเน้นเป็นอุปสรรคต่อการแก้ไขดูตัวอย่างเช่นกระดาษของ Scott Aaronson เป็น P กับ NP อิสระอย่างเป็นทางการ ? หนึ่งในการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลายอย่างสำหรับ P / NP จะเป็นการสาธิตว่าปัญหานั้นเป็นอิสระจาก ZFC หรือเป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

เป็นไปได้ว่าการอ้างอิงตนเองของปัญหาสามารถก่อให้เกิดความท้าทายที่ลึกกว่าในการพิสูจน์ความเป็นอิสระตัวอย่างเช่นถ้าข้อความเกี่ยวกับความพิสูจน์ได้พิสูจน์ตัวเองไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือไม่สามารถให้เหตุผลได้

สมมติว่าเราเรียกทฤษฎีบท T Godel_0 ว่าเป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในแง่ของทฤษฎีบทของ Godel โทรหา T Godel_1 หากข้อความ "T is Godel_0" เป็นจริง แต่ไม่สามารถแก้ไขได้ โทรหา Godel_i หากข้อความว่า "T is Godel _ {(i-1)} นั้นเป็นจริง

เรารู้ว่างบ Godel_0 อยู่และเป็นตัวอย่างไม่กี่ได้รับพบว่า "ในป่า" ที่ไม่ได้สร้างขึ้นอย่างชัดเจนเพื่อการนี้เช่นเดียวกับในบทความนี้

คำถามของฉันคือ: มีงบ Godel_1 ขึ้นไปหรือไม่ ข้อความเช่นนี้เป็นผลตามธรรมชาติของทฤษฎีบทของ Godel หรือไม่?

สิ่งที่เกี่ยวกับคำแถลงเกี่ยวกับสิ่งที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างแน่นอน: นั่นคือสิ่งที่ทุก ๆk > 0, Godel_k คือ T?

ฉันสามารถถามคำถามที่คล้ายกันเพื่อความเป็นอิสระอย่างเป็นทางการแม้ว่าฉันจะสงสัยว่าคำตอบคือ "ไม่"

เพื่อกลับไปยังคำถาม P vs. NP ให้ฉันถามว่ามีแม้แต่คำใบ้ว่าทฤษฎีบทของ Godel นั้นเกี่ยวข้องกับคำถามของการแบ่งแยกชั้นเรียนหรือไม่ มีการระบุถึงข้อความที่เป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความเคารพต่อคลาสความซับซ้อน - นอกจากนี้แน่นอนว่าการเชื่อมต่อที่ชัดเจนระหว่างปัญหาการหยุดชะงักและทฤษฎีบทของ Godel?

ตามที่คนอื่น ๆ ชี้ให้เห็นมีปัญหาทางเทคนิคบางอย่างกับคำสั่งของคำถามของคุณ หากต้องการยืดออกให้เริ่มจากการหลีกเลี่ยงการใช้คำว่า "ไม่สามารถพิสูจน์ได้" โดยไม่ต้องมีคุณสมบัติและชัดเจนเกี่ยวกับชุดสัจพจน์ของคุณที่ T ควรจะพิสูจน์ได้ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราสนใจข้อความ T ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้จาก PA ซึ่งเป็นสัจพจน์ของเลขคณิต Peano อันดับหนึ่ง

สิ่งแรกที่น่ารำคาญก็คือ "T is true" นั้นไม่สามารถแสดงได้ในภาษาอันดับหนึ่งของคณิตศาสตร์โดยทฤษฎีบทของ Tarski เราสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งนี้ได้โดยการทำงานใน metatheory ที่มีพลังมากพอที่จะกำหนดความจริงของข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ แต่ฉันคิดว่าสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณนี่เป็นเส้นทางที่ซับซ้อนโดยไม่จำเป็น ฉันคิดว่าคุณไม่ได้สนใจความจริง แต่อย่างใด นั่นคือฉันสงสัยว่าคุณจะพอใจกับการกำหนด T ให้เป็น Godel_0 ถ้า T เป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA และกำหนด T ให้เป็น Godel_1 ถ้า T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA แต่ "T พิสูจน์ไม่ได้ใน PA" ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA และการกำหนด T ให้เป็น Godel_2 หาก T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA และ "T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA" ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA แต่ "T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA" ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA "ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA"

สิ่งนี้เพียงพอที่จะทำให้คำถามของคุณแม่นยำ แต่น่าเสียดายที่มีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย ใช้ T = "PA สอดคล้องกัน" จากนั้น T เป็นจริงเพราะ PA สอดคล้องกันและ T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA โดยทฤษฎีบทที่สองของ Goedel ไม่สมบูรณ์ นอกจากนี้ "T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA" ยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA ด้วยเหตุผลที่ค่อนข้างโง่:คำสั่งใด ๆของรูปแบบ "X ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA" ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA เพราะ "X ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA" "(เนื่องจากระบบที่ไม่สอดคล้องกันพิสูจน์ทุกอย่าง ) ดังนั้น T คือ Godel_n สำหรับทุกคน แต่ฉันไม่ได้สิ่งนี้ตามที่คุณต้องการ

เราสามารถลอง "แก้ไข" คำถามของคุณเพื่อหลีกเลี่ยงเรื่องไร้สาระเช่นนั้นได้ แต่ให้ฉันพยายามที่จะพูดถึงสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นคำถามที่คุณตั้งใจ ฉันเชื่อว่าคุณกำลังพูดถึงความแข็งแกร่งเชิงตรรกะที่จำเป็นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยความยากลำบากทางจิตวิทยาจากการพิสูจน์มัน นั่นคือคุณตีความผลลัพธ์ของแบบฟอร์ม "T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน X" โดยบอกว่า T นั้นไม่สามารถเข้าใจได้ มีการคาดคะเนอย่างมหึมาอยู่ที่นั่นและเราลงโทษมนุษย์ให้ทุบ PA-whips หรือ ZFC-whips หรือสิ่งที่มีอยู่ในสัตว์ดุร้ายเหล่านั้นพยายามที่จะทำให้เชื่อง แต่ฉันไม่คิดว่า "T ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน X" ควรตีความว่าเป็นความหมาย "T เป็นไปไม่ได้ที่จะให้เหตุผล" ค่อนข้างเป็นเพียงการวัดคุณสมบัติทางเทคนิคเฉพาะเกี่ยวกับ T คือความแข็งแกร่งเชิงตรรกะของมัน ดังนั้นหากคุณกำลังพยายามหาสัตว์ประหลาดüber-monster ฉันไม่คิดว่าการค้นหาสิ่งที่ไม่เพียงพิสูจน์ไม่ได้ แต่มีปัญหาที่พิสูจน์ไม่ได้ ฯลฯ เป็นทิศทางที่ถูกต้อง

ในที่สุดเกี่ยวกับคำถามของคุณเกี่ยวกับว่าการพิสูจน์ไม่ได้ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับความสามารถในการแบ่งแยกของความซับซ้อนหรือไม่นั้นมีความเชื่อมโยงบางอย่างระหว่างความสามารถในการคำนวณและการไม่สามารถพิสูจน์ได้ในบางระบบของขอบเขตคณิตศาสตร์ เรื่องนี้มีการกล่าวถึงในบทความโดย Aaronson ที่คุณอ้างถึง; เห็นหนังสือคุกและเหงียนฐานรากตรรกะของความซับซ้อนหลักฐาน

ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับคำจำกัดความของ Godel_1 คุณลองทำมันให้เป็นระเบียบมากขึ้นได้ไหม?

คุณสามารถเข้ารหัสสูตร "T is Godel_0" ได้อย่างไร เพื่อที่คุณจะต้องเข้ารหัสอย่างใดว่า "T เป็นความหมายเชิงความหมาย" โดยไม่ต้องอ้างถึงความคิดของการพิสูจน์ คุณจะทำเช่นนั้นได้อย่างไร

มีคำสั่ง Godel_n สำหรับแต่ละ n คุณอาจสนใจ The Unprovability of Consistency ซึ่งเป็นหนังสือของ George Boolos เขากำหนดตรรกะโมดอลซึ่งกล่องหมายถึง "สามารถพิสูจน์ได้" เพชรหมายถึง "สอดคล้อง" แล้วดำเนินการตรวจสอบพฤติกรรมของประโยคประเภท Godel (เขาเขียนหนังสือติดตามผล The Logic of Provability เช่นกัน)