การดำรงอยู่ของ "การฝึกอบรมการระบายสี"

แก้ไข:ขณะนี้มีคำถามติดตามที่เกี่ยวข้องกับโพสต์นี้

---

คำนิยาม

ปล่อย $c$ และ $k$เป็นจำนวนเต็ม เราใช้สัญลักษณ์$[i] = \{1,2,...,i\}$.

Aเมทริกซ์กล่าวกันว่าเป็น$c \times c$$M = (m_{i,j})$$c$-to- colouring matrix$k$หากการเก็บรักษาต่อไปนี้:

• เรามีสำหรับทั้งหมด ,$m_{i,j} \in [k]$$i, j \in [c]$
• สำหรับทุกกับและเรามีell}$i,j,\ell \in [c]$$i \ne j$$j \ne \ell$$m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

เราเขียนถ้ามีอยู่ค -to- kสีเมทริกซ์$c \leadsto k$$c$$k$

---

โปรดทราบว่าองค์ประกอบแนวทแยงนั้นไม่เกี่ยวข้อง เราสนใจ แต่องค์ประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงของ$M$เท่านั้น

มุมมองทางเลือกต่อไปนี้อาจเป็นประโยชน์ ปล่อย$R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$เป็นเซตขององค์ประกอบที่ไม่เป็นแนวทแยงมุมในแถว$\ell$และให้$C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$เป็นชุดขององค์ประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงในคอลัมน์\$\ell$ตอนนี้$M$คือ$c$ -to- $k$เมทริกซ์การระบายสี iff

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ สำหรับ$\ell \in [c]$ทั้งหมด นั่นคือแถว$\ell$และคอลัมน์$\ell$จะต้องประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างกัน (ยกเว้นแน่นอนที่เส้นทแยงมุม)

มันอาจจะหรืออาจจะไม่เป็นประโยชน์ในการพยายามที่จะตีความเป็นชนิดพิเศษของฟังก์ชันแฮชจากไป[k]$M$$[c]^2$$[k]$

ตัวอย่าง

นี่คือ -to-สีเมทริกซ์:$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

โดยทั่วไปเป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับเรามียกตัวอย่างเช่นและ4 หากต้องการดูสิ่งนี้เราสามารถใช้โครงสร้างต่อไปนี้ (เช่น Naor & Stockmeyer 1995)$n \ge 2$

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

Letและให้2n ปล่อยให้เป็น bijection จากถึงเซตของ -subsets ทั้งหมดของนั่นคือและทั้งหมดของฉันสำหรับแต่ละด้วย , เลือกพล$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

โปรดทราบว่า\ มันตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบว่าการก่อสร้างนั้นเป็นเมทริกซ์การระบายสี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีและell)$f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

คำถาม

การก่อสร้างข้างต้นดีที่สุดหรือไม่? ถ้าอย่างนั้นเรามีสำหรับไหม?

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

เป็นที่ทราบกันดีว่าการก่อสร้างด้านบนนั้นมีความแน่นเชิง asymptotically จำเป็นต้องล็อกค) สิ่งต่อไปนี้เช่นจากผลของ Linial (1992) หรือจากการใช้ทฤษฎีแรมซีย์อย่างตรงไปตรงมา แต่สำหรับฉันมันยังไม่ชัดเจนว่าการก่อสร้างนั้นยังแน่นอยู่กับค่าคงที่หรือไม่ การทดลองเชิงตัวเลขบางอย่างแนะนำว่าโครงสร้างด้านบนอาจเหมาะสมที่สุด$k = \Omega(\log c)$

แรงจูงใจ

คำถามนี้เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของอัลกอริทึมแบบกระจายอย่างรวดเร็วสำหรับการระบายสีกราฟ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราจะได้รับต้นไม้กำกับ (ขอบทั้งหมดมุ่งเน้นไปทางโหนดราก) และคิดว่าเราจะได้รับที่เหมาะสม -colouring ของต้นไม้ ขณะนี้มีขั้นตอนวิธีการกระจายที่คำนวณที่เหมาะสมสีของต้นไม้ในรอบการสื่อสารซิงโครและถ้าหากk$c$$k$$1$$c \leadsto k$

การก่อสร้างนั้นเหมาะสมที่สุดในแง่ที่ไม่สามารถถือได้ อันที่จริงมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าค -to- kสีเมทริกซ์ที่มีอยู่และถ้าหากมีคย่อย₁ , ... , _คของชุด {1, ... , k } เช่นว่าไม่มีที่แตกต่างกันฉันและเจ Satisfy _ฉัน ⊆ เจ (สำหรับทิศทาง“ เฉพาะเมื่อ” ให้ใช้A _i = R ( M , i ) สำหรับเมทริกซ์การระบายสีc -to- k$\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$น . สำหรับทิศทาง“ ถ้า” ให้ตั้งค่าm _ij ∈ A _i ∖ A _j .) ตระกูลที่ไม่มีอีกชุดหนึ่งเรียกว่าตระกูล Spernerและเป็นทฤษฎีบทของ Sperner ที่จำนวนชุดสูงสุดในตระกูล Sperner บน จักรวาลขนาดkเป็นrfloor} นี่ก็หมายความว่าrfloor}$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

สำหรับซีมโทติคที่เข้มงวดขึ้นเล็กน้อยมันสามารถพิสูจน์ได้ว่า:

ถ้าดังนั้น$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

สมมติว่ามีสีของ matrix โดยใช้สีตอนนี้สีแต่ละแถวในเมทริกซ์โดยชุดของสีที่มีอยู่ ที่ช่วยให้สีของแถวที่ใช้ย่อยของ[k]แถวที่ต่างกันต้องมีสีต่างกัน มิฉะนั้นสมมติว่าสำหรับแถวมีสีเดียวกับแถวJนั่นหมายความว่าสีของมีอยู่ที่ทั้งสองแถวและที่คอลัมน์ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่าเราเริ่มด้วยการระบายสี มันตามมาว่า$c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$$j$$c \leq 2^k$