แก้ปัญหาสากลที่มีประสิทธิภาพ?

กำหนด "ปัญหา" ที่จะเป็นอัลกอริทึมยอมรับจำนวนธรรมชาติและกลับ 0 หรือ 1 ซึ่งผลตอบแทน1อย่างน้อยหนึ่งn ∈ N nดังกล่าวใด ๆเรียกว่า "ทางออก" ถึงA$A$$1$$n \in \mathbb{N}$$n$$A$

กำหนด "universal problem solver" เป็นอัลกอริทึมยอมรับปัญหาและส่งคืนหนึ่งในโซลูชัน ตัวอย่างเช่นคุณสามารถทำงานได้โดยวนลูปทั้งหมดและเรียกใช้อินพุตของพวกเขาจนกว่าจะได้ผลลัพธ์1 รายการ (จะต้องหยุดที่อินพุตที่ถูกต้องเท่านั้น)$U$$U$$1$

ฉันสนใจที่จะสำรวจขอบเขตประสิทธิภาพของเครื่องมือแก้ปัญหาสากล

ได้รับแก้ปัญหาสากลและปัญหาแสดงว่าเสื้อ( U , )เวลาที่ใช้ในUการส่งออกการผลิตเมื่อรับข้อมูล$U$$A$$t(U, A)$$U$$A$

ตัวแก้ปัญหาสากลเรียกว่า "มีประสิทธิภาพ" เมื่อเราใช้ตัวแก้ไขปัญหาสากล$U$$V$

นี่คือขึ้นอยู่กับVแต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ$t_V$$V$$A$

มีตัวแก้ปัญหาสากลที่มีประสิทธิภาพหรือไม่?

แก้ไข: ฉันรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนคำจำกัดความของ "ปัญหา" และ "แก้ปัญหาสากล" เป็นสิ่งที่สง่างามกว่าเล็กน้อยและเทียบเท่า "ปัญหา" เป็นอัลกอริทึมที่ไม่มีอินพุตส่งคืน 0 หรือ 1 (ซึ่งหยุด) "universal problem solver" เป็นอัลกอริทึมที่ยอมรับปัญหาและส่งคืนผลลัพธ์ มันเป็นเครื่องจักรทัวริงสากลไม่มากก็น้อย

นิยามเก่าสามารถลดลงได้นิยามใหม่เนื่องจากได้รับปัญหาในความรู้สึกเก่า ๆ ที่เราสามารถสร้างBปัญหาในความรู้สึกใหม่ที่เพิ่งมีผลบังคับใช้เล็กน้อยเก่าความรู้สึกปัญหาสากลแก้ไป(แก้ที่อธิบายไว้ในข้อความดังกล่าวข้างต้น )$A$$B$$A$

นิยามใหม่สามารถลดลงได้นิยามเก่าตั้งแต่ได้รับปัญหาในความหมายใหม่ที่เราสามารถสร้างปัญหาในความรู้สึกเก่าที่เพิ่งคำนวณBและเปรียบเทียบการป้อนข้อมูลเพื่อผล$B$$A$$B$

ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ของตัวแก้ปัญหาสากลที่ใช้ความรู้สึกใหม่คืออัลกอริธึมที่ใช้งานอินพุต

ไม่มีตัวแก้ปัญหาสากลที่มีประสิทธิภาพ โดยสังหรณ์ใจ U ควรมี runtime (เกือบ) ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการตัดสินใจใด ๆ ที่ตัดสินใจได้ ในขณะที่ทฤษฎีการเร่งความเร็วบอกว่ามีปัญหาการตัดสินใจที่แน่นอนซึ่งไม่มีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุด (แม้แต่ในแง่ที่ไม่รุนแรง) เพื่อทำให้เป็นระเบียบนี้:

เวลาที่ความเร็วสูงขึ้นทฤษฎีบท (ดูตัวอย่าง [1])): สำหรับทุกคำนวณ (และซุปเปอร์เชิงเส้น) ฟังก์ชั่นมีอยู่ชุด decidable Sเช่นว่าถ้าS ∈ D T ฉันM E ( T )แล้วS ∈ D T ฉันM E ( T ' )สำหรับที'ความพึงพอใจกรัม( T ' ( n ) ) < T ( n )$g$$S$$S \in DTIME(t)$$S \in DTIME(t')$$t'$$g(t'(n)) < t(n)$

$U$$g(n)=2^{2n}$$A$$S$$A_i$$A_i = A(i)$$\tilde U(i)=U(A_i)$$A$$A_i$$O(\log i)$$B$$S$$2^{ 2 TIME(B)} < TIME(\tilde U)$$2^{TIME(B)} < TIME(\{U(A_i)\})$

$V$$A_i$$B(i)$$A(i)$$B(i)$

$\forall c \; \exists A_i \;\; t(U, A_i) > t(V, A_i) +c$

$U$

[1] Oded Goldreich, ความซับซ้อนในการคำนวณ, มุมมองแนวคิด, ทฤษฎีบท 4.8 ตอนที่ 4.2.1.2 ก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกัน

$t(U,A) < s_V t(V,A) + t_V$$s_V$$1$

$A$$s_V$