SAT-solver ที่ใช้ DPLL นั้นมีประสิทธิภาพเพียงใดใน PHP ที่น่าพอใจ

เรารู้ว่า DPLL ที่ใช้ SAT-solvers ล้มเหลวในการตอบอย่างถูกต้องในกรณีที่ไม่น่าพอใจของ (หลักการของหลุมนกพิราบ) เช่น "มีการทำแผนที่แบบฉีดจากถึง ": $\mathrm{PHP}$ $n+1$ $n$

P H P_{n}^{n + 1} := (\underset{i \in [n + 1]}{⋀} \underset{j \in [n]}{⋁} p_{i, j}) \land (\underset{i \neq i^{'} \in [n + 1]}{⋀} \underset{j \in [n]}{⋀} (\neg p_{i, j} \lor \neg p_{i^{'}, j}))

$\mathrm{PHP^{n+1}_{n}} := \left(\bigwedge_{i\in[n+1]} \ \bigvee_{j\in[n]} \ p_{i,j}\right) \wedge \left(\bigwedge_{i\neq i'\in[n+1]} \ \bigwedge_{j\in[n]} \ (\lnot p_{i,j} \vee \lnot p_{i',j})\right)$

ฉันกำลังค้นหาผลลัพธ์เกี่ยวกับวิธีการทำงานของอินสแตนซ์ที่น่าพอใจของเช่นบน "มีการทำแผนที่แบบฉีดจากถึง " $\mathrm{PHP}$ $n$ $n$

พวกเขาพบการมอบหมายที่น่าพอใจอย่างรวดเร็วในกรณีเช่นนี้หรือไม่?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Kaveh
แหล่งที่มา

โดย "ล้มเหลวในการตอบอย่างถูกต้อง" คุณหมายถึง "หมดทรัพยากรในค่าขนาดใหญ่พอ n" หรือไม่

— วีเจย์ D

@Kaveh คุณอนุญาตการทำซ้ำคำสั่งและ / หรือการทำซ้ำของตัวแปรในประโยคเดียวกันหรือไม่? ขอบคุณ

— Tayfun จ่าย

@VijayD ผมหมายถึงขั้นตอนวิธีการไม่ได้กลับเป็นคำตอบที่ถูกต้องในเวลาพหุนามสำหรับขนาดใหญ่พอที่n

ฉันหวังว่าจะมีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่าอัลกอริทึมที่ใช้ DPLL จะทำงานในเวลาพหุนามในครอบครัวนี้

n

$n$

— Kaveh

@Geekster ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไร ฉันมีสูตรเฉพาะตระกูล คุณกำลังถามว่ามีการทำซ้ำในสูตรนั้นหรือไม่?

— Kaveh

สำหรับตัวอย่างที่น่าพอใจของนักแก้ปัญหา SAT ที่ใช้ DPLL จะให้การมอบหมายที่น่าพอใจในเวลาเชิงเส้น $PHP$

เพื่อดูว่าทำไมให้สังเกตว่าการเข้ารหัส CNF ของอินสแตนซ์ที่ไม่น่าพอใจของด้วยอย่างไร $PHP$ หลุมและนกพิราบเป็น sintactically เหมือนกับตัวอย่างของกราฟระบายสีที่ข้อมูลกราฟเป็นก๊กของจุด . $n$ $n + 1$ $k = n$ $n + 1$

ในทำนองเดียวกันการเข้ารหัส CNF ของอินสแตนซ์ที่น่าพอใจของมี hole และ pigeons นั้นเหมือนกันกับอินสแตนซ์ของ Graph Colouring ที่กราฟอินพุตเป็นกลุ่มหนึ่งของจุดยอด $PHP$ $n$ $n$ $k = n$ $n$

ตอนนี้การระบายสีกลุ่มของจุดยอดด้วยสีคือตรงไปตรงมา: สแกนจุดยอดและกำหนดให้กับหนึ่งในสีที่เหลือของพวกเขา (สีที่ได้รับมอบหมายแล้วจะถูกตัดออกโดยclique-nessของกราฟโดยใช้การแพร่กระจายหน่วย) . ไม่ว่าสีที่คุณเลือกจะเป็นสีใดจะดีและจะนำคุณไปสู่การมอบหมายที่น่าพอใจ $n$ $n$

จากมุมมองตัวแก้ปัญหา DPLL: ทุกครั้งที่จะพยายามเดาค่าบูลีนของตัวแปรค่าดังกล่าวจะถูกต้อง (ไม่ว่ามันจะเป็นอะไร) เพราะจะมีการมอบหมายที่น่าพอใจซึ่งแน่นอนว่าตัวแปรมี คาดเดาค่า การเผยแผ่หน่วยจะทำหน้าที่ที่เหลือโดยแนะนำตัวแก้ปัญหาตามเส้นทางที่น่าพอใจ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือป้องกันไม่ให้เดาค่าผิด) $v_i$ $v_i$

การค้นหาจะดำเนินการหนึ่งตัวแปรหลังจากที่อื่น ๆ เชิงเส้นแต่ละครั้งทำให้การคาดเดาที่ถูกต้อง

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

ขอบคุณนี่คือสิ่งที่ฉันคาดหวัง โดยวิธีการที่คุณรู้การอ้างอิงที่ระบุนี้ (เช่น "อัลกอริทึม DPLL แก้ตัวอย่างที่น่าพอใจของ PHP / GC ในเวลาเชิงเส้น")?

— Kaveh

ยินดี. ฉันไม่รู้การอ้างอิงใด ๆ ที่ระบุสิ่งนี้ฉันเพิ่งได้มาด้วยตัวเองผ่านการให้เหตุผลแบบดิบๆ ไม่ควรยากที่จะพิสูจน์อย่างเป็นทางการโดยอาศัยความจริงที่ว่านักแก้ปัญหา SAT ทุกคนใช้ฮิวริสติกที่สมเหตุสมผลทั้งในการเลือกตัวแปรถัดไปและในการคาดเดาค่าบูลีน ในความเป็นจริงมันจะต้องมีการสังเกตอย่างน้อยหนึ่ง heuristic ที่ไม่มีเหตุผลที่ป้องกันไม่ให้เราไปถึงวิธีการแก้ปัญหาในเวลาเชิงเส้น ในขณะที่มีฮิวริสติกที่สมเหตุสมผลจะให้เวลาเชิงเส้นแน่นอน

— Giorgio Camerani

ฉันเห็นด้วย. ฉันหวังว่าบางคนอาจจะกล่าวถึงสิ่งนี้เพื่อฉันสามารถอ้างอิงเมื่อฉันต้องการ ฉันต้องการรออีกสองสามวันและหากไม่มีใครให้การอ้างอิงฉันจะยอมรับคำตอบนี้ ขอบคุณอีกครั้ง. :)

— Kaveh

ความสุขของฉัน ;-) ไชโย!

— Giorgio Camerani