มีการพิสูจน์อัลกอริธึมที่ไม่สร้างสรรค์

ฉันจำได้ว่าฉันอาจได้พบกับการอ้างอิงถึงปัญหาที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถแก้ไขได้ด้วยความซับซ้อนที่เฉพาะเจาะจง แต่ไม่มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันเพื่อเข้าถึงความซับซ้อนนี้จริง ๆ

ฉันพยายามดิ้นรนทำสิ่งนี้ให้เป็นจริง วิธีการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์สำหรับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมจะมีลักษณะอย่างไร

มีปัญหาดังกล่าวจริงหรือไม่? พวกเขามีคุณค่าในทางปฏิบัติมากมายหรือไม่?

พิจารณาฟังก์ชั่น (นำมาจากที่นี่ )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

แม้จะมีรูปลักษณ์แล้วก็ตามสามารถคำนวณได้โดยอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ ทั้ง$f$

1. เกิดขึ้นสำหรับทุก ๆ nหรือ$0^n$$n$
2. มีเพื่อให้0 kเกิดขึ้น แต่0 k + 1ไม่$k$$0^k$$0^{k+1}$

เราไม่รู้ว่ามันคืออะไร (ยัง) แต่เรารู้ว่าด้วย$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. และ$f_\infty(n) = 1$
2. ]$f_k(n) = [n \leq k]$

ตั้งแต่ , Fคือคำนวณ - แต่เราไม่สามารถพูดในสิ่งที่ ฉคือ$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

นี้อาจจะไม่ตรงกับสิ่งที่คุณหมาย แต่เซท Pettie และ Vijaya Ramachandran ของขั้นต่ำที่เหมาะสมซึ่งประกอบไปด้วยขั้นตอนวิธีต้นไม้ที่อยู่ในความรู้สึกบางอย่างที่ไม่สร้างสรรค์

มันเป็นคำถามเปิดไม่ว่าจะมีอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นเพื่อคำนวณต้นไม้ที่ทอดขั้นต่ำในเวลาเชิงเส้น (หมายถึง ) Pettie และ Ramachandran อธิบายขั้นตอนวิธีการที่ MSTS คำนวณในเวลาเชิงเส้นถ้าเช่นอัลกอริทึมที่มีอยู่$O(n+m)$

สัญชาตญาณขั้นตอนวิธีการของพวกเขาลดใด ๆเช่น -vertex ของปัญหา MST เพื่อO ( n / k )กรณีขนาดเล็กที่มีO ( k )จุดในเส้นเวลาที่ (พูด) k = O ( เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบn ) . จากนั้นพวกเขาคำนวณต้นไม้เปรียบเทียบที่ดีที่สุดที่คำนวณต้นไม้ทอดต่ำสุดของกราฟk-เวอร์เท็กซ์ใด ๆโดยการแจงนับกำลังดุร้าย; แม้ว่าสิ่งนี้จะใช้เวลาแทนเลขชี้กำลังในรูปแบบkอย่างชัดเจนโดยเฉพาะ$n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$เวลา ในที่สุดพวกเขาแก้ไขอินสแตนซ์เล็ก ๆ โดยใช้แผนผังการตัดสินใจที่ดีที่สุดนี้$O(\log\log n)$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง Pettie และ Ramachandran สร้างอัลกอริธึม MST ที่ดีที่สุดโดยทางอ้อมโดยการสร้างอัลกอริทึมที่สร้างอัลกอริทึม MST ที่ดีที่สุด

นี่คือสองตัวอย่าง

1. ขั้นตอนวิธีการบางรายที่ใช้ทฤษฎีบทโรเบิร์ตมัวร์ ทฤษฎีบทกล่าวว่ามีสิ่งกีดขวางที่แน่นอนสำหรับแต่ละกรณี แต่ไม่มีวิธีการหาเซต จำกัด ดังกล่าว ดังนั้นแม้ว่าเราจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าอัลกอริธึมมีอยู่แล้วคำแถลงที่ชัดเจนของอัลกอริธึมจะขึ้นอยู่กับเซต จำกัด สิ่งกีดขวางที่เราไม่รู้ว่าจะหาได้อย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่งเรารู้ว่ามีอัลกอริธึม แต่เราไม่รู้วิธีการค้นหา

2. ตัวอย่างที่ดีกว่าถึงแม้ว่าธรรมชาติจะน้อยกว่าโดยการใช้ PEM หรือสัจพจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ นี่คือความแข็งแกร่งในแง่ที่ว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการดำรงอยู่อย่างสร้างสรรค์ของอัลกอริธึมจะหมายถึงสัจพจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ (คล้ายกับตัวอย่างเคาน์เตอร์ที่อ่อนแอของ Brouwer ) ตัวอย่างดังกล่าวแข็งแกร่งขึ้นเพราะไม่เพียง แต่บอกว่าเราไม่ทราบว่าตอนนี้อัลกอริทึมชัดเจน (หรือวิธีการหาอัลกอริทึมใด ๆ ) แต่ยังไม่มีความหวังในการทำเช่นนั้น

   ตัวอย่างเช่นเราสามารถใช้PEMเพื่อพิสูจน์อัลกอริทึมที่มีอยู่ในขณะที่เราไม่ทราบว่าหนึ่งและวิธีที่สร้างสรรค์ในการค้นหาหนึ่งจะหมายถึงสัจพจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ ขอยกตัวอย่างง่ายๆ

   ลังเลปัญหาคือนิด decidable สำหรับแต่ละการแก้ไขเครื่องทัวริง (TM แต่ละอย่างใดอย่างหนึ่งหยุดหรือไม่หยุดและในแต่ละกรณีมี TM ว่าผลคำตอบที่เหมาะสม) แต่วิธีการที่เราสามารถหาขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องโดยไม่ต้องแก้ ( รุ่นที่เหมือนกันของ) ปัญหาการหยุดหรือไม่

   อีกอย่างเป็นทางการเราไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างสร้างสรรค์ที่ได้รับการ TM มี TM H Tที่ตัดสินใจลังเลปัญหาสำหรับM อย่างเป็นทางการยิ่งขึ้นข้อความต่อไปนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างสร้างสรรค์:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   ที่นี่คือ TM ที่มีรหัสe (ในการเป็นตัวแทนถาวรของ TM), { e } ↓หมายถึง{ e }หยุดและ{ f } ↑หมายถึง{ f }ไม่หยุด$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

ใช่.

ณ จุดหนึ่งใน (1) ทฤษฎีบทการนับกราฟที่มีน้ำหนักเชิงซ้อน homomorphism สำหรับขนาด จำกัด โดเมนใด ๆ , Cai, Chen, และ Lu เพียงพิสูจน์การมีอยู่ของการลดเวลาพหุนามระหว่างสองปัญหาการนับผ่านการแก้ไขพหุนาม ฉันไม่รู้คุณค่าเชิงปฏิบัติใด ๆ สำหรับอัลกอริทึมดังกล่าว

ดูส่วนที่ 4 ของเวอร์ชัน arXiv บทแทรกของคำถามคือเลมม่า 4.1 เรียกว่า "เลมม่าพินแรก"

วิธีหนึ่งในการสร้างข้อพิสูจน์ที่สร้างสรรค์นี้คือการพิสูจน์ผลลัพธ์ของ Lovaszรุ่นที่มีความซับซ้อนได้แก่ :

สำหรับทุก , Z H ( G , W , ฉัน) = Z H ( G , W , J ) IFF มีอยู่ automorphism ฉของGดังกล่าวว่าF ( ฉัน) = J$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

ที่นี่คือจุดยอดในH , iและjคือจุดยอดในG , และZ H ( G , w , i )คือผลรวมของโฮโมมอร์ฟิซึมกราฟที่มีน้ำหนักเชิงซ้อนทั้งหมดจากGถึงHพร้อมกับข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่ฉันต้องทำแผนที่ เพื่อW$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen และ Pinyan Lu, กราฟโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีค่าเชิงซ้อน: ทฤษฎีบทการแบ่งขั้ว ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

ผลเริ่มต้นบางส่วนจาก 80 ปลาย:

• Fellows and Langston, " เครื่องมือที่ไม่เป็นทางการสำหรับการพิสูจน์ความสามารถในการถอดรหัสพหุนามเวลา ", 1988

• บราวน์เฟลโลว์แลงสตัน " พหุนามเวลา - ตนเอง - reducibility: แรงจูงใจทางทฤษฎีและผลการปฏิบัติ ", 1989

จากนามธรรมของรายการที่สอง:

ความก้าวหน้าขั้นพื้นฐานล่าสุดในทฤษฎีกราฟได้ทำให้เครื่องมือที่ไม่เป็นโครงสร้างแบบใหม่ที่มีประสิทธิภาพซึ่งสามารถนำไปใช้กับการรับประกันการเป็นสมาชิกใน P เครื่องมือเหล่านี้ไม่มีการสร้างในสองระดับที่แตกต่างกัน: พวกเขาไม่ได้ผลิตอัลกอริทึมการตัดสินใจ และพวกเขาไม่เปิดเผยว่าอัลกอริทึมการตัดสินใจดังกล่าวสามารถช่วยเหลือในการสร้างโซลูชันได้หรือไม่ เราทบทวนและแสดงให้เห็นถึงการใช้เครื่องมือเหล่านี้สั้น ๆ และอภิปรายงานที่น่าเกรงขามในการค้นหาอัลกอริทึมการตัดสินใจแบบพหุนามเวลาที่สัญญาไว้เมื่อเครื่องมือใหม่เหล่านี้ใช้

ตัวอย่างของตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุดของปัญหา (ของคุณค่าเชิงปฏิบัติที่น่าสงสัย) ซึ่งเราสามารถแสดงได้:

1. สำหรับแต่ละปัญหานั้นมีอัลกอริทึมที่จะแก้ไข
2. ว่าไม่มีวิธีสร้างอัลกอริทึมเหล่านี้ (โดยทั่วไป)

กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ ครอบครัวของเรามีปัญหา (จากคำถามนี้ ) สำหรับแต่ละเครื่องทัวริง :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. สำหรับแต่ละอันนี้เป็นเซต จำกัด และทำให้สามารถตัดสินใจได้$M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

จาก "ทฤษฎีการประมูลแบบสองมิติและกราฟขั้นตอนวิธีการบรรยายเรื่องทฤษฎีไมเนอร์" สำหรับโมฮัมหมัดทาจิฮาจิอะไคยาของบทเรียนโดย Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura และ Siamak Tazari

คุณสมบัติของกราฟที่ปิดเล็กน้อยสามารถถูกกำหนดโดยกลุ่มผู้เยาว์ต้องห้ามที่มีขอบเขต จำกัด

น่าเสียดายที่ผลลัพธ์ของพวกเขาคือ“ โดยเนื้อแท้” ที่ไม่สร้างสรรค์เช่นไม่มีอัลกอริทึมที่สามารถกำหนดได้ว่าผู้เยาว์คนใดที่จะถูกแยกออกสำหรับคุณสมบัติกราฟที่ได้รับการปิดเล็กน้อย ยิ่งไปกว่านั้นจำนวนผู้เยาว์ต้องห้ามอาจสูง: ตัวอย่างเช่นสำหรับกราฟที่ฝังอยู่บนพรูมากกว่า 30,000 ผู้เยาว์ต้องห้ามเป็นที่รู้จัก แต่รายการนั้นไม่สมบูรณ์

[ ... ]

คุณสมบัติของกราฟที่ปิดเล็กน้อยสามารถตัดสินใจได้ในเวลาพหุนาม (แม้ในลูกบาศก์เวลา)

อัลกอริทึมLovász local lemma - "อัลกอริธึมLovász local lemma ให้วิธีอัลกอริธึมในการสร้างวัตถุที่เชื่อฟังระบบของข้อ จำกัด ที่มีการพึ่งพา จำกัด ... เพื่อหลีกเลี่ยงเหตุการณ์เลวร้าย " ในสมมติฐาน / ข้อ จำกัด บางประการเกี่ยวกับการแจกแจงอัลกอริทึมที่สร้างขึ้นจะได้รับจาก Moser / Tardos [1] บทแทรกท้องถิ่น Lovasz ดูเหมือนจะมีความเชื่อมโยงลึก ๆ กับทฤษฎีความซับซ้อนเช่นดู [2]

[1] หลักฐานที่สร้างสรรค์ของนายพลโลอาซาซเล็มม่าท้องถิ่นโดยโมเซอร์, Tardos

[2] เลมม่าท้องถิ่น Lov´asz และความพึงพอใจ Gebauer, โมเซอร์, Scheder, Welzl