ปัญหาในการค้นหาโอเปอเรเตอร์เพื่อให้เป็นไปตามรายการของตัวแปรบูลีน NP สมบูรณ์หรือไม่

สิ่งนี้คล้ายกับ SAT ยกเว้นว่าเรารู้การกำหนดของตัวแปรแต่ละตัว แต่ไม่ทราบการกำหนดของตัวดำเนินการบูลีนใด ๆ ในกรณีนั้นการค้นหาการกำหนดของแต่ละโอเปอเรเตอร์เพื่อให้นิพจน์ประเมินค่าบูลีนที่กำหนดเป็นปัญหา NPC หรือไม่

ที่จริงแล้วฉันสงสัยว่าการค้นหาการมอบหมายของตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ให้เป็นไปตามนิพจน์ทางคณิตศาสตร์จำนวนเต็มหรือไม่ (เช่น$1$ o p 1 = 10) NP นั้นสมบูรณ์หรือไม่$op_1$ $3$ $op_2$ $7$ $op_3$ $op_4$

ด้วยการบวกและการลบฉันคิดว่าปัญหาพาร์ติชันซึ่งเป็น NP-hard ช่วยลดปัญหาที่สองของคุณ

รับชุดS = { s 1 , s 2 , … , s n }เราสร้างปัญหา$S = \{s_1, s_2, \ldots, s_n\}$

s 1 o P 1 s 2 o P 2 s 3 o พี3 ... o P n - 1 s n = 0 $s_1$ $op_1$ $s_2$ $op_2$ $s_3$ $op_3$ $\ldots op_{n-1}$ $s_n = 0$

หากมีวิธีแก้ไขอยู่เราสร้างสองชุด:

$S_1 = \{s_1\}\cup \{s_i | op_{i-1} = +\}$

$S_2 = \{s_i | op_{i-1} = -\}$

ชุดสองชุดนี้ต้องมีผลรวมเท่ากันโดยการตั้งค่าของปัญหาดั้งเดิมของเราดังนั้นปัญหาของพาร์ติชันจะได้รับการแก้ไข นี่แสดงให้เห็นว่าไม่เพียง แต่จะเกิดขึ้นกับการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงกับปัญหานี้ แต่ในความเป็นจริงแล้ว NP ยากที่จะตัดสินว่ามีวิธีการแก้ปัญหาอยู่ (อย่างน้อยก็สำหรับการบวกและการลบ)

สำหรับชุดของการดำเนินการที่ไม่อนุญาตให้สร้างจำนวนเต็มลบให้พูดการคูณและการเพิ่มมันไม่ชัดเจนนัก นอกจากนี้สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard เพียงเล็กน้อยเท่านั้น อาจมีการลดที่ให้ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่านี้

คำตอบสั้น ๆ รุ่นผู้ประกอบการของSATสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ - อย่างน้อยถ้าเราถือว่าวงจรโดยพลการของประตูสองอินพุตโดยไม่มีพัดลมออกให้เลือกตัวเลือกประตูที่ต้องการ

คำตอบที่ยาว ฉันถือว่าปัญหาบูลีนในรูปแบบต่อไปนี้:

2 TREE-OPSAT ได้รับการป้อนข้อมูลx ∈ { 0 , 1 } nสำหรับn ⩾ 2และประตูชุดGประกอบด้วย 2 อินพุตประตูหนึ่งในการส่งออกจะมีอยู่วงจรCประกอบด้วยประตูในGซึ่งยอมรับx , ที่อยู่, ซึ่งเป็น พอใจเมื่อได้รับอินพุตx (บิตแม็พของxกับใบไม้ของวงจรCตามลำดับ)$x \in \{0,1\}^n$$n \geqslant 2$$\mathcal G$$C$$\mathcal G$ $x$$x$$x$$C$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราไม่ได้กำหนดโครงสร้างเฉพาะในวงจรC (นอกเหนือจากการเป็นต้นไม้คู่) ไม่อนุญาตให้มีพัดลม (เพื่อให้แต่ละบิตของxใช้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น) และประตูอาจไม่สมมาตร ด้วยการอนุญาตให้ใช้เกทสองบิตเท่านั้นฉันจึงไม่รวมประตูNOT (แต่อาจจำลองได้ด้วยการมีหลายประตูที่เกี่ยวข้องซึ่งกันและกันด้วยการปฏิเสธเช่นAND / NANDและฉันยังไม่รวมเกตที่ส่งค่าคงที่โดยไม่มีอินพุต ดังนั้นจำนวนประตูในวงจรจะเป็นn - 1เสมอสำหรับอินพุตn- bit เพื่อความกะทัดรัดฉันจะอ้างถึง2-TREE-OPSATด้านล่างเพียง$C$$x$$n-1$$n$OPSAT ; แม้ว่าการวิเคราะห์ปัญหาอาจกลายเป็นเรื่องยากมากขึ้นสำหรับวงจรที่อนุญาตให้k-อินพุตประตู ( k-TREE-OPSAT ) โดยพลการหรืออนุญาตให้ใช้พัดลม (ซึ่งเราอาจเรียกk-FANOUT-OPSAT )

[ แก้ไขเพิ่ม : เราสามารถปรับตัวนี้จะต้องพิจารณาปัญหาทั่วไปมากขึ้นของการแก้ไขปัจจุบันของคำถามของคุณในการที่เราพยายามที่จะทำแผนที่ที่กำหนดx ∈ { 0 , 1 } *เป็นค่าเป้าหมายข∈ { 0 , 1 }โดยการสับเปลี่ยนบทบาทของ0และ1ในการวิเคราะห์ด้านล่าง นี้มีผลของการสับเปลี่ยนบทบาทของและและOR , NANDและNOR , ฯลฯ ] $x \in \{0,1\}^\ast$$b \in \{0,1\}$$0$$1$$\def\et{\wedge}\def\ou{\vee}\def\AND{\mathop{\text{AND}}}\def\NAND{\mathop{\text{NAND}}}\def\OR{\mathop{\text{OR}}}\def\NOR{\mathop{\text{NOR}}}\def\EQUAL{\mathop{\text{EQUAL}}}\def\PARITY{\mathop{\text{PARITY}}}$

สำหรับทางเลือกที่คงที่ของปัญหาของการเลือกต้นไม้ที่เหมาะสมกับประตูที่เหมาะสมนั้นไม่แตกต่างจากการแยกตรรกะ: ใช้การเทียบเท่าเช่น เราอาจทำการลดลงระหว่างคอลเลกชันที่เกี่ยวข้องกับชุดประตูที่ซับซ้อนมากขึ้นเพื่อชุดประตูที่เรียบง่าย (และทรงพลัง); อาจพูดถึงประตูหนึ่งชุดสามารถเลียนแบบประตูอื่นที่ไม่ใช่ของชุดได้โดยเลือกองค์ประกอบของอย่างชาญฉลาดซึ่งมีผลเหมือนกัน (เมื่อนำเสนอด้วยอินพุตที่เฉพาะเจาะจง) เป็นประตู . โดยเฉพาะอย่างยิ่งการรวมกันบางอย่างของประตู (เช่น ) สามารถจำลองการทำงานคงที่ยอมx ∈ { 0 , 1 } n OR ( x , y $x \in \{0,1\}^n$≡(และ(x,y)∨ความเท่าเทียมกัน ( x , y ) ) G G ∉ G { OR , NAND }

เราดำเนินการโดยพิจารณาชุดประตูรวมถึงประตูประเภทต่างๆหลังจากนั้นไม่รวมประตูเหล่านั้นจากการวิเคราะห์ในภายหลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดประตูที่เกี่ยวข้องกับประตูใดประตูหนึ่งเดียวจะนำไปสู่ปัญหาที่เข้าใจยาก เราจะดำเนินการตามลำดับของจำนวนสายสองบิตที่ตอบสนองประตูที่เป็นปัญหาเริ่มจากประตูคงที่ไปที่ประตูคงที่G 1 $G$$1$$0$

1. สำหรับชุดประตูใด ๆซึ่งมีประตูคงเราก็อาจจะสร้างวงจรโดยใช้ประตูที่อยู่คนเดียวซึ่งในกรณียอมรับใด ๆxG G ( x , y ) = 1 C C $\mathcal G$$G(x,y) = 1$$C$$C$$x$

2. หรือและ NAND สำหรับชุดประตูใด ๆซึ่งมี : ถ้าประตูอื่นทั้งหมดตอบสนองดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะเลือกประตูอื่นใดยกเว้นในการสร้างวงจรCวงจรเพียงประตูยอมรับสตริงใด ๆ ยกเว้น0 มิเช่นนั้นจะมีเกทเช่นนั้นนั้นมีความซ้ำซาก ดังนั้นตัวอย่างของOPSATกับนั้นง่าย และหมายเหตุประกอบคล้ายสมัครGG หรือ G ∈ G G ( x , y $\mathcal G$$\OR$$G \in \mathcal G$⟹หรือ ( x , y ) หรือ C หรือ x ∈ 0 ∗ G ∈ G { G , OR } หรือ ∈ G NAND ∈ $G(x,y) \implies \OR(x,y)$$\OR$$C$$\OR$$x \in 0^\ast$$G \in \mathcal G$$\{G, \OR\}$$\OR \in \mathcal G$$\NAND \in \mathcal G$

3. ประตูเหมือนที่มีความหมาย พิจารณาประตูซึ่งผลศูนย์ถ้า(1,0) สำหรับสิ่งต่อไปนี้การวิเคราะห์ที่คล้ายกันจะใช้สำหรับประตูY พิจารณาสตริง n หากสิ้นสุดในให้ย่อยลงในสตริงย่อยของแบบฟอร์ม ; ในแต่ละเช่นเราซ้ำใช้จากขวาไปซ้ายซึ่งผลผลิตออกสำหรับแต่ละw_j(สำหรับซับสตริงที่มีความยาว 1 เราใช้วงจรเล็ก ๆ น้อย ๆ นั่นคือปล่อยอินพุตนั้นไว้อย่างเดียว) ในทำนองเดียวกันถ้าG ( x , Y ) = ¬ x ∨ Y ( x , Y ) = ( 1 , 0 ) G ' ( x , Y ) = x ∨ ¬ Y x ∈ { 0 , 1 } n x 0 x W J = 1 * 0 w j G 0 w j x 1 x $G(x,y) = \neg x \ou y$$(x,y) = (1,0)$$G'(x,y) = x \ou \neg y$
   
   $x \in \{0,1\}^n$$x$$0$$x$$w_j = 1^\ast 0$$w_j$$G$$0$$w_j$$x$ปลายในสลายลงในสตริงของแบบฟอร์มและซ้ำใช้จากซ้ายไปขวาในแต่ละ , ที่ทำให้การส่งออกสำหรับแต่ละw_jดังนั้นเราอาจจะช่วยลดปัญหาการสร้างวงจรที่มีความพึงพอใจทั้งโดยหรือที่คือจำนวนของสตริงหรือ1 สำหรับเราอาจยอมรับการใช้ประตูโดยใช้ซ้ำจากซ้ายไปขวา นี่เป็นเพียงกรณี$1$$x$j = 0 ∗ 1 G w j 1 w j 0 m 1 m m 1 ∗ 0 0 ∗ 1 m ⩾ 2 G G m = 1 x ∈ 1 ∗ 0 x = 1 ∗ 0 G 1 ∗ 0 0 G H ∈ G H ( 1 , 0 ) = 1 { G , $w_j =0^\ast 1$$G$$w_j$$1$$w_j$$0^m$$1^m$$m$$1^\ast0$$0^\ast 1$$m \geqslant 2$$G$$G$$m = 1$ซึ่งกรณีที่มีปัญหาเป็นปัจจัย0 สำหรับ , วงจรใด ๆ ที่ประกอบไปด้วยประตูเท่านั้นจะให้ผลสตริงที่สั้นกว่าในรูปแบบ , ในที่สุดให้สตริงเดี่ยวบิต : เพื่อไม่ให้วงจรของประตูพอใจ ข้อมูลนี้ หากยังมีประตูซึ่ง ,นั้นมีความซ้ำซาก; หรือถ้ามีเกทซึ่งเราอาจลดเงื่อนไขของแบบฟอร์ม$x \in 1^\ast 0$
   
   $x= 1^\ast 0$$G$$1^\ast 0$$0$$G$$H \in \mathcal G$$H(1,0) = 1$} H ∈ G H ( 1 , 1 ) = 0 11 ∗ 0 ( 1 ∗ 0 ) ∗ H x x ∈ 1 ∗ 0 $\{G,H\}$$H \in \mathcal G$$H(1,1) = 0$$11^\ast 0$สตริงของแบบฟอร์มโดยใช้ไปสองบิตแรกของxมิฉะนั้นไม่มีวงจรสามารถสร้างที่รับ0 ดังนั้นสำหรับชุดเกทใด ๆ ที่มีเกทคล้ายกับนัย OPSATจึงเป็นเรื่องง่าย$(1^\ast 0)^\ast$$H$$x$$x \in 1^\ast 0$
   
   $\mathcal G$

4. การปฏิเสธของการคาดการณ์ พิจารณาประตู¬ π 1 ( x , Y ) = ¬ xและY เราพิจารณาการวิเคราะห์ที่มีนั้นคล้ายคลึงกัน ด้วยตัวเองสามารถยอมรับสตริงใด ๆ ในสำหรับโดยการลดบิตสุดท้ายของเป็นบิตเดียวแล้วจึงใช้ ; และสามารถยอมรับสำหรับโดยการลดสุดท้าย$\neg \pi_1(x,y) = \neg x$¬ π 2 ( x , Y ) = ¬ Y ¬ π 1 ¬ π 2 ¬ π 1 0 ( 0 | 1 ) n - 1 n ⩾ 2 n - 1 ¬ π 1 1 ( 0 | 1 ) n - 1 n ⩾ 3 n - 2 ¬ π 1 ( ¬ π 1$\neg \pi_2(x,y) = \neg y$$\neg \pi_1$$\neg \pi_2$$\neg \pi_1$$0(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 2$$n-1$$\neg \pi_1$$1(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 3$$n-2$บิตบิตเดียวแล้วใช้วงจรx_3) เพียงปัจจัยการผลิตที่วงจรไม่สามารถยอมรับแล้วหรือ ; การพิจารณาว่าประตูเสริมใด ๆ ยอมรับสิ่งเหล่านี้หรือไม่ ดังนั้นOPSATจึงง่ายสำหรับการปฏิเสธการคาดการณ์x 1 , x 2 ) , x 3 ) ¬ π 1 10 $\neg \pi_1(\neg \pi_1(x_1, x_2),x_3)$$\neg \pi_1$$10$$11$

5. PARITY และความเท่าเทียมกัน พิจารณาประตูy) เกทที่ตั้งค่าเห็นได้ชัดว่าสามารถตอบสนองได้อย่างแม่นยำโดยสตริงด้วยจำนวนคี่ 1s; เราพิจารณาถึงประโยชน์ของการเพิ่มประตูอื่น ๆPARITY ( x , Y ) = ( x ∨ ¬ Y ) ∧ ( ¬ x ∨ Y ) G = { PARITY } x ∈ { 0 , 1 } $\PARITY(x,y) = (x \ou \neg y) \et (\neg x \ou y)$$\mathcal G = \{\PARITY\}$$x \in \{0,1\}^n$

   • ชุดเกทใด ๆ ที่มีทั้งและหรือ สามารถจำลองวงจรที่มี หรือประตู (ตามลำดับ) สำหรับอินพุตคงที่ซึ่ง ได้แก่ กรณีที่ง่ายของOPSATพาริตีและNOR ( x , y ) = ¬ ( x ∨ y ) หรือ$\PARITY$$\AND$$\NOR(x,y) = \neg(x \ou y)$$\OR$$\NAND$
   • อย่างใดอย่างหนึ่งหรือสามารถนำมาใช้ในการจำลองการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือในสตริงสองบิตของความเท่าเทียมกันแม้เพื่อที่เราอาจจะลดประตูชุดกับสิ่งเหล่านี้ ประตูและไปยังกรณีก่อนหน้าπ 1 ( x , y ) = x π 2 ( x , y ) = y และNOR $\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$\AND$$\NOR$$\PARITY$
   • PARITY เท่ากับ = ¬ $\PARITY$พร้อมกับนั้นไม่สำคัญ$\EQUAL = \neg \PARITY$
   • ถ้าเราเสริมด้วยประตูเราสามารถรับสายอักขระคู่เสมอยกเว้นสำหรับโดยใช้กับ -substring ของและจากนั้นใช้วงจรส่วนที่เหลือ ในทำนองเดียวกันร่วมกับสามารถยอมรับสตริงใด ๆ ยกเว้นผู้ที่อยู่ในรูปแบบ(11) การเสริมทั้งและทำให้เราสามารถสร้างวงจรที่รับอินพุตทั้งหมดยกเว้นและPARITY G 01 = ¬ x ∧ Y x ∈ ( 11 ) * 0 * G 01 01 x PARITY PARITY G 10 = x ∧ ¬ Y x ∈ 0 * ( 11 ) * PARITY G 01 G 10 x ∈ 0 * x = $\PARITY$$G_{01} = \neg x \et y$$x \in (11)^\ast 0^\ast$$G_{01}$$01$$x$$\PARITY$$\PARITY$$G_{10} = x \et \neg y$$x \in 0^\ast (11)^\ast$$\PARITY$$G_{01}$$G_{10}$$x \in 0^\ast$$x = 11$11
   • ในที่สุดถ้าเราเสริมด้วยค่าคงที่เราสามารถรับอินพุตใด ๆ ยกเว้นหรือโดยใช้เกตเพื่อ สตริงย่อยหรือลดขนาดกรณีพาริตีคี่PARITY Z ( x , y ) = 0 x ∈ ( 11 ) ∗ x ∈ 0 ∗ G 01 $\PARITY$$Z(x,y) = 0$$x \in (11)^\ast$$x \in 0^\ast$$G$$01$$10$

   ดังนั้นOPSATเป็นเรื่องง่ายสำหรับการใด ๆมี\การวิเคราะห์ที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับ gate สำหรับ gate: เนื่องจาก , วงจร ของ gates จะนับความเท่าเทียมกันของจำนวน s ในอินพุต จากนั้นเราอาจจะลดการวิเคราะห์สำหรับกับที่ของโดยการแลกเปลี่ยนและ1G PARITY เท่ากับPARITY เท่าเทียมกัน ( x , Y ) = ¬ PARITY ( x , Y ) = ¬ PARITY ( ¬ x , ¬ Y ) เท่ากับ 0 เท่ากับPARITY 0 $\mathcal G$$\PARITY$
   
   $\EQUAL$$\PARITY$$\EQUAL(x,y) = \neg \PARITY(x,y) = \neg \PARITY(\neg x, \neg y)$$\EQUAL$$0$$\EQUAL$$\PARITY$$0$$1$

6. ประตูฉาย ประตูและถ่ายด้วยตนเองสามารถสร้างวงจรที่ยอมรับสตริงที่เริ่มต้นหรือสิ้นสุดในตามลำดับเท่านั้น พิจารณาผลของการเพิ่มเกทกับเกตอื่น (การวิเคราะห์ที่คล้ายกันกับ )π 1 ( x , y ) = x π 2 ( x , y ) = y 1 π 1 π $\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$1$$\pi_1$$\pi_2$

   • การอนุญาตให้ทั้งและอนุญาตให้สร้างวงจร "ตัวเลือก" ซึ่งเพียงแค่ส่งออกบิตใด ๆ จากอินพุต; เหล่านี้สามารถยอมรับใด ๆและเสริมพวกเขาด้วยประตูใด ๆที่ช่วยให้วงจรความพึงพอใจที่จะสร้างขึ้นสำหรับการใด ๆxπ 1 π 2 x ≠ 0 n G G ( 0 , 0 ) = 1 $\pi_1$$\pi_2$$x \ne 0^n$$G$$G(0,0) = 1$$x$
   • หากเราเสริมกับหรือเราอาจจำลองหรือประตูเกทที่มีความหมายเหมือนกันสำหรับอินพุตคงที่ OPSATได้รับการแก้ไขสำหรับทั้งสองกรณีนี้π 1 NOR G 01 = ¬ x ∧ y $\pi_1$$\NOR$$G_{01} = \neg x \et y$$\OR$
   • หากเราเสริมด้วย , , ค่าคงที่หรือการรวมกันของพวกเราจะไม่ได้รับการยอมรับเพิ่มเติมดังนั้นเราจึง ยังคงสามารถยอมรับสตริงที่ขึ้นต้นด้วยเท่านั้นπ 1 และG 10 = x ∧ ¬ Y Z ( x , Y ) = 0 $\pi_1$$\AND$$G_{10} = x \et \neg y$$Z(x,y) = 0$$1$

   ดังนั้นสำหรับประตูอื่น ๆ ที่เราอาจเสริม (หรือ ) ด้วยเราจะได้เซตที่ไม่น่าไว้ไม่ได้รับการยอมรับอำนาจเพิ่มเติมเพียงแค่ (หรือ ) หรืออาจลดลงเป็นกรณีที่ง่ายๆ . ดังนั้นตัวอย่างของOPSAT ที่มีหรือนั้นง่ายπ 1 π 2 π 1 π 2 π 1 ∈ G π 2 ∈ $\pi_1$$\pi_2$$\pi_1$$\pi_2$$\pi_1 \in \mathcal G$$\pi_2 \in \mathcal G$

7. ประตูเดลต้าฟังก์ชั่น พิจารณาประตูสองบิตที่มีเพียงอินพุตเดียวที่ตอบสนองพวกเขา: , , , และY วงจรทำเฉพาะกับประตูสามารถยอมรับได้เฉพาะสตริง : เสริมพวกเขาด้วยประตูเดลต้าฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่ช่วยให้พวกเขาเพื่อจำลองทั้ง ,หรือซึ่งมีการแก้ไขกรณี; ข้อสังเกตที่คล้ายกันนำไปใช้กับ\เช่นกันชุดเกทสามารถใช้เพื่อจำลองและNOR G 10 ( x , Y ) = x ∧ ¬ Y G 01 ( x , Y ) = ¬ x ∧ Y และ1 * เท่ากับเธ1 π 2 NOR { G 01 , G 10 } PARITY G 10 G 01 Z ( x , y ) = 0 G 10 G $\AND$$\NOR$$G_{10}(x,y) = x \et \neg y$$G_{01}(x,y) = \neg x \et y$$\AND$$1^\ast$$\EQUAL$$\pi_1$$\pi_2$$\NOR$$\{G_{01}, G_{10}\}$$\PARITY$ประตู. เราจึงอาจมุ่งเน้นทั้งประตูหรืออาจจะเสริมด้วยประตู0 เรามุ่งเน้นที่โดยมีกรณีของใกล้เคียงกัน วงจรที่สร้างจากเพียงอย่างเดียวสามารถสร้างขึ้นเพื่อยอมรับยกเว้นสตริงโดยใช้วงจรโดยพลการไปยังบิตสุดท้ายจากนั้นจึงใช้วงจรx_3)) เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถยอมรับสตริงได้โดยหรือโดย ; และเราสามารถแสดงโดยการเหนี่ยวนำว่าใด ๆ$G_{10}$$G_{01}$$Z(x,y) = 0$$G_{10}$$G_{01}$
   
   G 10 1 ( 0 | 1 ) n - 1 11 n - 2 G 10 ( x 1 , G 10 ( x 2 , x 3 ) ) 11 G 10 Z G 10 1 Z G 10 x ∈ 1 ( 0 | 10 | 11 ) ( 0 | 1 ) $G_{10}$$1(0|1)^{n-1}$$11$$n-2$$G_{10}(x_1, G_{10}(x_2, x_3))$$11$$G_{10}$$Z$$G_{10}$วงจรที่ยอมรับสตริงจะต้องมีผลระหว่างกลางของประตูในสาขาซ้ายสุดทั้งหมดที่ให้ , จนถึงอินพุตซ้ายสุดเอง ไม่ได้รับประโยชน์เพิ่มเติมจากการเพิ่มประตู ดังนั้นวงจรสามารถยอมรับได้เฉพาะ1$1$$Z$$G_{10}$$x \in 1(0|10|11)(0|1)^\ast$

8. ในที่สุดวงจรที่ประกอบขึ้นเป็นประตูเท่านั้นไม่ยอมรับอินพุต$Z$

แต่ละประตูให้สูงขึ้นในระดับที่ดีที่กำหนดและโดยทั่วไปมีขนาดค่อนข้างใหญ่ของปัจจัยการผลิตที่จะยอมรับกับประตูเพิ่มเติมพุ่งไปทำเป็นปัญหาเราพบว่า2 TREE-OPSATอยู่ในP